重要不等式的綜合應(yīng)用

● (杭州高級中學(xué) 浙江杭州 310003)

在數(shù)學(xué)研究中，有許多形式優(yōu)美而且具有重要應(yīng)用價(jià)值的不等式，一般稱其為重要不等式.本文著重探討均值不等式、柯西不等式和排序不等式，這是高中教材1B《不等式選講》中的內(nèi)容，是2009年浙江省高考自選模塊試題第3題考查的主要知識，占10分.這要求考生能利用3個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均——幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最大(小)值問題，了解基本不等式的推廣形式(n個(gè)正數(shù)的形式)；能利用三維的柯西不等式證明一些簡單的不等式，解決最大(小)值問題；了解排序不等式的基本形式及其應(yīng)用.

1 n元均值不等式

對于n個(gè)正數(shù)a1,a2,…,an，它們的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即

當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，取到等號.

應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)，務(wù)必注意3個(gè)要點(diǎn)：一正二定三相等.“一正”是指不等式中各項(xiàng)必須都是正數(shù)；“二定”是指不等式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和(或積)必須是常數(shù)；“三相等”是指等號成立條件必須存在.

圖1

BC2=AC2+AB2.

于是

又由GE>0，可得

設(shè)容器的容積為V，則

評注建立目標(biāo)函數(shù)、湊“定值”是利用均值不等式求最值的關(guān)鍵.本題也可利用求導(dǎo)進(jìn)行處理.

2 三維形式的柯西(Cauchy)不等式

若a1,a2,a3，b1,b2,b3是實(shí)數(shù)，則

當(dāng)且僅當(dāng)bi=0(i=1,2,3)或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai=kbi(i=1,2,3)時(shí)，等號成立.

柯西不等式揭示了2組實(shí)數(shù)(個(gè)數(shù)相等)的平方和與積和之間的關(guān)系，能解決以下3類問題.

(1)求多元極值問題.若要求的是最大值，則將所求極值的多元函數(shù)視為“積和”；若要求的是最小值，則將所求極值的多元函數(shù)視為“平方和”.

(2)證明不等式.關(guān)鍵是分析所求證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造2組實(shí)數(shù)，使“積和”或一組實(shí)數(shù)的“平方和”在求證不等式中出現(xiàn).

(3)求解方程組.利用柯西不等式取到等號的條件求解.

證明記S為△ABC的面積，則

由柯西不等式得

因此

故不等式成立.

評注本題求解的關(guān)鍵在于借助ax+by+cz為定值的條件，直接消去x,y,z.

3 排序不等式,又稱排序原理

設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn是2組實(shí)數(shù)，c1≤c2≤…≤cn是b1,b2,…,bn的任一排列，則

a1bn+a2bn-1+…+anb1≤

a1c1+a2c2+…+ancn≤

a1b1+a2b2+…+anbn,

即反序和≤亂序和≤順序和，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時(shí)，反序和等于順序和.

利用排序不等式證明不等式問題，首先要根據(jù)不等式的特點(diǎn)構(gòu)造2組實(shí)數(shù)，然后將2組實(shí)數(shù)進(jìn)行有序化處理，利用排序不等式解決“亂序和”的最值問題.

例3設(shè)a,b,c是正數(shù)，求證：

證明由于不等式關(guān)于a,b,c對稱，不妨設(shè)0

又由排序原理可得

2式相加再除以2，得

同理，由排序原理可得

2式相加再除以2，得

評注利用不等式關(guān)于a,b,c對稱的特點(diǎn)，對a,b,c進(jìn)行排序，構(gòu)造2組有序?qū)崝?shù)，是應(yīng)用排序不等式逐步調(diào)整的關(guān)鍵.

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，所積累的知識經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過加工，會(huì)得出有長久保存價(jià)值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型——模式，將其有意識地記憶下來，并作有目的地簡單編碼.當(dāng)遇到一個(gè)新問題時(shí)，可以辨認(rèn)它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想一個(gè)已經(jīng)解決的問題，以此為索引，在記憶貯存中提取出相應(yīng)的方法加以解決，這就是模式識別的解題策略.

均值不等式、柯西不等式和排序不等式是數(shù)學(xué)解題的重要模式，“模式識別”是解決不等式問題最重要的解題思想.對于同一個(gè)問題，從不同的角度去觀察，可以得到不同的解答.

證法1(柯西不等式)

同理可得

3式相加得

評注在應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)，等號成立的條件常常起到了很好的導(dǎo)向作用.

因?yàn)閬y序和≥反序和，所以

又

并結(jié)合當(dāng)a,b,c>0時(shí)，

可得

評注利用和諧化原則將各個(gè)分式中分子、分母的變量予以統(tǒng)一，有利于問題的簡化.

探究不改變問題的條件，能否求u的最大值？試說明理由.

因?yàn)橥蚝汀輥y序和，所以

評注證法1通過集中變量，成功地實(shí)現(xiàn)了放縮.

同理可得

1,

評注上述不等式放縮的技巧性很強(qiáng)，分式中分子與分母的變量不統(tǒng)一反而成了有利條件，使其等號恰好在邊界處達(dá)到.

考生應(yīng)根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特征，合理地選用模式，合理地進(jìn)行放縮，恰當(dāng)?shù)匾晖茝V，做到解一題，通一類，達(dá)到以少勝多、以質(zhì)取勝的效果.

2009年浙江省數(shù)學(xué)高考《自選模塊測試》試題3主要考查了柯西不等式和均值不等式，條件與目標(biāo)比較規(guī)范，考生容易入手，得分較高.預(yù)計(jì)2010年高考自選題的考查重點(diǎn)不會(huì)改變，但難度會(huì)略有增加，條件與目標(biāo)之間的過渡會(huì)設(shè)置更多的障礙，“湊”系數(shù)，活用柯西不等式和均值不等式，會(huì)是高考命題的一個(gè)方向，期望學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)能多加注意.

精題集粹

1．設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：

(2008年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

2．在實(shí)數(shù)集內(nèi)解方程組

3．已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+y+2z=1，設(shè)t=x2+y2+2z2.

(1)求t的最小值；

4．設(shè)a,b,c>0，a+b+c=1,求證：

5．(1)設(shè)a1,a2,a3是正實(shí)數(shù)，且滿足a1+a2+a3<1，證明：

(2)設(shè)a1,a2,a3為正實(shí)數(shù)，證明：

參考答案

1．證明因?yàn)閍,b,c為正實(shí)數(shù)，由平均不等式可得

即

所以

而

故

2．解由柯西不等式，得

(x2+y2+z2)[(-8)2+62-(-24)2]≥

(-8x+6y-24y)2.

(1)

因?yàn)?(x2+y2+z2)[(-8)2+62+(-24)2]=

(-8x+6y-24z)2=392，

所以

(x2+y2+z2)[(-8)2+62+(-24)2]=

(-8x+6y-24z)2.

即不等式(1)中只有等號成立，從而由柯西不等式中等號成立的條件，得

它與-8x+6y-24y=39聯(lián)立，解得

3．解(1)因?yàn)?/p>

(2)由

(x2+y2)·(12+12)≥(x·1+y·1)2，

得

解得

因?yàn)閍,b,c>0，a+b+c=1,所以

(2-b)+(2-c)]≥9，

得

即

(2)因?yàn)閍,b,c>0，a+b+c=1，由柯西不等式得

(2-c)]≥(a+b+c)2，

所以

5.證明(1)設(shè)a4=1-(a1+a2+a3)>0，不等式可變?yōu)?/p>

81a1a2a3a4≤(1-a1)(1-a2)(1-a3)(1-a4).

由于

以上4個(gè)式子相乘即可證得結(jié)論.

(2)因?yàn)?/p>

相加得

a1(a2+a3)+a2(a3+a1)+a3(a1+a2)，

所以

[a1(a2+a3)+a2(a3+a1)+a3(a1+a2)]·

(a1+a2+a3)2.

證畢.