立體幾何中的證明與度量計算

● (青田中學(xué) 浙江青田 323900)

1 考點(diǎn)回顧

立體幾何在考查學(xué)生的觀察能力、思維能力和空間想象能力方面具有獨(dú)特的作用，歷來是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一．考查形式近年來一般是保持“兩小一大”的模式(個別省份“三小一大”模式)，考查的重點(diǎn)與熱點(diǎn)是以空間幾何體為載體考查空間線面關(guān)系的判斷、推理和論證，尤其是線線、線面、面面的平行和垂直的判斷、推理和論證，考查空間角、距離、面積、體積的概念及計算．轉(zhuǎn)化與化歸思想(如立體問題平面化、幾何問題代數(shù)化以及面面問題、線面問題、線線問題之間的互相轉(zhuǎn)化等)、數(shù)形結(jié)合思想、割補(bǔ)思想是解決立體幾何問題常用的思想方法．

空間向量的引入為處理立體幾何問題提供了新的視角，為解決三維空間中圖形關(guān)系與度量問題提供了一個十分有效的工具．利用空間向量的運(yùn)算可以簡化立體幾何中的有關(guān)證明和計算，為解決立體幾何中某些技巧性較大、隨機(jī)性較強(qiáng)的問題提供了一種新的簡便解法，尤其是通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可快捷地解決有關(guān)空間直線垂直、異面直線所成的角、線段長度、直線與平面所成的角和平面與平面所成的角等問題.因此理科“立體幾何解答題”常設(shè)計成“一題兩法，兩者兼顧”的模式，既可用傳統(tǒng)的幾何推理方法求解，也可以通過空間向量的計算方法來解決．

2 命題走勢

依據(jù)近年來尤其是新課程高考數(shù)學(xué)立體幾何問題的考查特點(diǎn)、題型演化與發(fā)展走向，預(yù)計2010年高考數(shù)學(xué)立體幾何問題的命題將呈現(xiàn)以下態(tài)勢.

(1)繼續(xù)堅(jiān)持以選擇題、填空題的形式來考查立體幾何的基礎(chǔ)知識的特點(diǎn)，如空間線面位置關(guān)系的判斷(并常常與命題、充要條件等知識相融合)、空間角與距離的求解、體積及面積的計算等．需要引起關(guān)注的是，新增內(nèi)容“三視圖”的出現(xiàn)，豐富了立體幾何試題的命題格局，預(yù)計2010年高考中與“三視圖”有關(guān)的問題在選擇題、填空題中仍將占有“一席之地”．

(2)繼續(xù)保持以解答題的形式考查立體幾何綜合知識的命題風(fēng)格，會堅(jiān)定不移地設(shè)置融“空間平行與垂直關(guān)系的判定與論證、空間角和距離的求解以及幾何體體積與面積計算”于一體的立體幾何綜合性大題，全面考查學(xué)生的直觀感知、空間想象和邏輯推理能力．值得注意的是：高考對立體幾何的考查呈現(xiàn)出“大題減負(fù)，小題加碼”之趨勢，在教學(xué)和復(fù)習(xí)中應(yīng)有清醒的認(rèn)識并加以足夠重視．

(3)考查內(nèi)容保持穩(wěn)定，題型結(jié)構(gòu)卻靈活多變，實(shí)現(xiàn)重點(diǎn)知識“?？汲Ｐ隆保疅o論是大題(解答題)，還是小題(選擇題、填空題)，考題會設(shè)計成常規(guī)性、探索性或開放性、應(yīng)用性問題；情境可以是靜態(tài)，也可以是動態(tài)(如展開或折疊等)；背景可以是簡單型或綜合型，乃至交叉型幾何體，其載體仍然大多為棱柱、棱錐、球以及由它們組合而成的多面體或簡單混合體．必須予以警覺的是，高考對立體幾何圖形背景的變化呈現(xiàn)出下列3種態(tài)勢：一是常見幾何體擺放不常規(guī)；二是從常規(guī)幾何體中截取一部分；三是構(gòu)造出并不常規(guī)的組合多面體乃至混合體．但以幾何體為載體來考查空間線面位置關(guān)系的判定以及角、距離、面積與體積的考查本色和主流方向卻一如既往，堅(jiān)持不渝．

(4)繼續(xù)正視文、理科學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的不同及數(shù)學(xué)能力的差異，對立體幾何這部分內(nèi)容考查時，命題時仍將采用“姊妹題”、“不同題”、“相同題的位置順序不同”等不同方式來區(qū)別對待，適度考查．文、理科立體幾何大題的考查要求將有明顯差異，文科突出的仍然是直觀感知與簡單的推理論證，而理科則對空間想象能力、邏輯推理能力仍將保持較高的要求．理科大題在設(shè)計時仍然會堅(jiān)持“幾何方法”與“空間向量”兼顧，統(tǒng)籌安排，有機(jī)結(jié)合，相得益彰．

(5)“命題真假判斷型試題”仍然將是高考立體幾何對線面位置關(guān)系考查的一種重要題型，在復(fù)習(xí)中應(yīng)予以充分地重視．解決此類問題的關(guān)鍵是每個命題的判斷都要到位，真命題需給出嚴(yán)格的推理說明，假命題能舉出反例．這類問題的題型編制形式較為靈活，可以是“四選一式”的單選選擇題，可以是正確(或錯誤)命題個數(shù)的單選選擇題，也可以是多選型的填空題，尤其是最后一種形式，對每個命題的判斷不能有絲毫的差錯，否則便會“一著不慎，一無所有”，對應(yīng)試者數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)及思維能力提出了很高的要求，具有較好的考查功能．

(6)“空間動態(tài)折疊問題”有可能繼續(xù)走俏．例如,2009年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題是一個動態(tài)折疊立體幾何問題，立意新穎，動態(tài)變換，給問題的求解增添新的難度，但同時也給學(xué)生解決問題提供了更加廣闊的思維空間，能有效地檢測學(xué)生的直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、空間想象、推理論證、運(yùn)算求解與分析和解決問題等能力，具有很好的考查功能和導(dǎo)向作用，成為整卷中的一個亮點(diǎn)，頗受各界的好評．這類立體幾何動態(tài)問題要求學(xué)生用運(yùn)動的觀點(diǎn)解決空間位置關(guān)系的判定與計算，對學(xué)生思維層面提出了更高的要求，與新課程的理念相吻合，將成為立體幾何考查的一種新題型．

圖1

3 典例剖析

例1如圖1，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論錯誤的是

( )

A．BD∥平面CB1D1

B．AC1⊥BD

C．AC1⊥平面CB1D1

D．異面直線AD與CB1所成的角為60°

(2007年四川省數(shù)學(xué)高考試題)

分析本題主要是以正方體為載體，考查空間線面的位置關(guān)系(主要是平行與垂直關(guān)系)、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力．

解由BD∥B1D1，可得BD∥平面CB1D1，故選項(xiàng)A正確；由三垂線定理或線面垂直均可證明AC1⊥BD，故選項(xiàng)B正確；同理可得AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C，故選項(xiàng)C正確.從而選D，實(shí)際上,易知異面直線AD與CB1所成的角為45°．

評注這是一個“命題真假判斷型試題”，向來是高考立體幾何中對線面位置關(guān)系考查時一種常見而且非常重要的題型．這里需要指出的是以正方體為模型突出考查空間想象能力的客觀型試題，一直是高考命題的熱點(diǎn)問題，且創(chuàng)新試題不斷．因此建議在立體幾何的教學(xué)和復(fù)習(xí)中，可圍繞正方體設(shè)計一個專題復(fù)習(xí)，具體內(nèi)容包括：正方體中的判斷、證明、計算等問題，探索性問題，計數(shù)問題，表面動點(diǎn)軌跡問題，構(gòu)造正方體模型解題等等．

例2一空間幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的體積為

( )

圖2

(2009年山東省數(shù)學(xué)高考試題)

分析本題主要考查了立體幾何中的空間想象能力.由“幾何體三視圖”能夠想象得到空間幾何體的“立體圖(直觀圖)”，從而判斷得出“幾何體的形狀”，并能準(zhǔn)確地計算出幾何體的體積.

評注解答本題的關(guān)鍵是由提供的三視圖通過想象還原出原幾何體的形狀，與幾何體的表面積和體積計算等結(jié)合起來進(jìn)行考查，這比由幾何體畫出三視圖的難度大多了，需要較強(qiáng)的空間想象能力和運(yùn)算能力．此時的空間想象能力主要表現(xiàn)為識圖、畫圖能力和對圖形的轉(zhuǎn)換能力，實(shí)現(xiàn)“幾何體、三視圖、直觀圖”之間的互相轉(zhuǎn)換．

圖3

例3如圖3，三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC,PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，點(diǎn)D,E分別在棱PB,PC上，且DE∥BC.

(1)求證：BC⊥平面PAC；

(2)當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時，求AD與平面PAC所成角的大?。?/p>

(3)是否存在點(diǎn)E,使得二面角A-DE-P為直二面角？并說明理由.

(2009年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算能力、推理論證能力、應(yīng)用向量知識解答問題的能力以及利用傳統(tǒng)的幾何法或向量法解決立體幾何問題的能力．

解法1(傳統(tǒng)的幾何法)

(1)由PA⊥底面ABC，得

PA⊥BC.

又∠BCA=90°，得

AC⊥BC，

因此

BC⊥平面PAC.

(2)由D為PB的中點(diǎn)，且DE∥BC，得

又由第(1)小題知，BC⊥平面PAC，于是DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E,故∠DAE是AD與平面PAC所成的角.因?yàn)镻A⊥底面ABC，得

PA⊥AB，

又PA=AB，得△ABP為等腰直角三角形，所以

在Rt△ABC中，∠ABC=60°，得

在Rt△ADE中，

(3)因?yàn)镈E∥BC，又由第(1)小題知，BC⊥平面PAC，所以DE⊥平面PAC.由

AE?平面PAC，PE?平面PAC，

得

DE⊥AE，DE⊥PE，

于是∠AEP為二面角A-DE-P的平面角.又由PA⊥底面ABC，可得

PA⊥AC，

即

∠PAC=90°，

因此在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AE⊥PC，這時∠AEP=90°，故存在點(diǎn)E使得二面角A-DE-P是直二面角.

評注(1)上述解法中的第(2)小題也可以采用如下解法：

設(shè)點(diǎn)D到平面PAC的距離為h，AD與平面PAC所成的角為θ，則

因?yàn)镈是PB的中點(diǎn)，BC⊥平面PAC，所以

從而

故

這里巧妙地利用了中點(diǎn)以及第(1)小題線面垂直的結(jié)論，快速地求出了點(diǎn)D到平面PAC的距離，繞開了找AD在平面PAC內(nèi)射影這一過程，使得求解簡捷而新穎.

(2)上述解法中的第(3)小題還可以采用如下解法：

由BC⊥平面PAC，DE∥BC,得

DE⊥平面PAC，

從而

DE⊥AE，DE⊥PE，

因此∠AEP為二面角A-DE-P的平面角.當(dāng)點(diǎn)E沿線段CP從C→P移動的過程中，∠AEP∈(∠ACP,π-∠APC).又∠ACP,∠APC均為銳角，所以必存在PC上一點(diǎn)E，使∠AEP=90°，即二面角A-DE-P是直二面角.

這里運(yùn)用了“運(yùn)動、變化”的觀點(diǎn)，分析了點(diǎn)E在線段PC上從C→P移動的過程中，所引起的二面角A-DE-P的平面角∠AEP大小的變化，其范圍在銳角與鈍角之間，從而得出在PC上一定存在使∠AEP=90°的點(diǎn)E.

圖4

從而

BC⊥AP.

又由∠BCA=90°，得

BC⊥AC，

從而

BC⊥平面PAC.

(2)由D為PB的中點(diǎn)，DE∥BC，得E為PC的中點(diǎn)，從而

又由第(1)小題知，BC⊥平面PAC，從而DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E,故∠DAE是AD與平面PAC所成的角.因?yàn)?/p>

所以

n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),

則

由假設(shè)n1·n2=0得

評注(1)用向量法不僅說明了點(diǎn)E的存在，并找到了點(diǎn)E的具體位置，顯現(xiàn)向量法在求解立體幾何問題時的不同功能.

圖5

例4如圖5，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為AA1，B1C的中點(diǎn)，DE⊥平面BCC1．

(1)證明：AB=AC；

(2)設(shè)二面角A-BD-C為60°,求B1C與平面BCD所成角的大小．

(2009年全國數(shù)學(xué)高考試題Ⅱ)

分析本題主要考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識，求解時可以選擇傳統(tǒng)的幾何法，也可以選用向量法進(jìn)行.

解法1(幾何法)(1)如圖6,取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，則EF從而EFDA.連結(jié)AF，則ADEF為平行四邊形，從而AF∥DE.又DE⊥平面BCC1，得AF⊥平面BCC1，從而AF⊥BC，即AF為BC的垂直平分線，所以AB=AC.

AB·AD=AG·BD,

得

圖6 圖7

解法2(向量法)(1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖7所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.設(shè)B(1，0，0)，C(0，b，0)，D(0，0，c)，則

令x=1,則

從而

得

所以B1C與平面BCD所成的角為30°.

評注(1)對于本題第(1)小題，也可取BC的中點(diǎn)F，證明四邊形AFED為平行四邊形，進(jìn)而證明AF∥DE，AF⊥BC，得AB=AC.

精題集粹

1．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB,E為AA1的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為

( )

(2009年全國數(shù)學(xué)高考理科試題Ⅱ)

2．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是

( )

A．30° B．45° C．60° D．90°

(2009年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

( )

(2008年海南、寧夏數(shù)學(xué)高考理科試題)

4．已知m，n是2條不重合的直線，α，β，γ是3個兩兩不重合的平面，給出下列4個命題：

①若m⊥α,m⊥β，則α∥β；

②若α⊥γ,β⊥α,則α∥β；

③若m?α，n?β,m∥n,則α∥β；

④若m，n是異面直線，m?α，m∥β,n?β，n∥α，則α∥β．

其中真命題是________．

5．設(shè)某幾何體的三視圖如圖8所示(尺寸的長度單位為m)，則該幾何體的體積為______m3．

圖8

(2009年遼寧省數(shù)學(xué)高考試題)

6．直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°，則此球的表面積等于________．

(2009年全國數(shù)學(xué)高考理科試題Ⅰ)

7．如圖9,在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2.以AC的中點(diǎn)O為球心、AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M，交PC于點(diǎn)N.

(1)求證：平面ABM⊥平面PCD；

(2)求直線CD與平面ACM所成角的大??；

(3)求點(diǎn)N到平面ACM的距離.

(2009年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖9 圖10

(1)求異面直線BF與DE所成角的大??；

(2)證明：平面AMD⊥平面CDE；

(3)求二面角A-CD-E的余弦值．

(2009年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題)

參考答案

1．C 2.C 3.C 4.①和④ 5.4 6.20π

7．(1)證明依題設(shè)知，AC是所作球面的直徑，則AM⊥MC．又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，PA⊥CD，CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，則CD⊥AM，從而AM⊥平面PCD，故平面ABM⊥平面PCD．

(2)解由第(1)小題知，AM⊥PD，又PA=AD，則M是PD的中點(diǎn),可得

則

即

NC∶PC=5∶9，

圖11

8．(1)解如圖11,由題設(shè)知，BF∥CE，所以∠CED(或其補(bǔ)角)為異面直線BF與DE所成的角.設(shè)P為AD的中點(diǎn)，連結(jié)EP，PC.因?yàn)镕EAP，所以FAEP，同理可得AB∥PC．又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD.而PC，AD都在平面ABCD內(nèi),故EP⊥PC，EP⊥AD.由AB⊥AD，可得PC⊥AD.設(shè)FA=a，則

EP=PC=PD=a,

故∠CED=60°，所以異面直線BF與DE所成角的大小為60°.

(2)證明因?yàn)镈C=DE,且M為CE的中點(diǎn)，所以DM⊥CE.連結(jié)MP，則MP⊥CE.又MP∩DM=M,故CE⊥平面AMD.而CE?平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.

(3)解設(shè)Q為CD的中點(diǎn)，連結(jié)PQ，EQ.因?yàn)镃E=DE,所以EQ⊥CD.因?yàn)镻C=PD,所以PQ⊥CD，故∠EQP為二面角A-CD-E的平面角.由第(1)小題可得，

則在Rt△EPQ中，