函數(shù)“四性問(wèn)題”備考與探究

● (杭州市第二中學(xué) 浙江杭州 310053)

引子先從一個(gè)高考題談起

已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，則

( )

A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是奇函數(shù)

C．f(x)=f(x+2) D．f(x+3)是奇函數(shù)

(2009年全國(guó)數(shù)學(xué)高考試題)

這是一道常規(guī)題，涉及函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性，若了解一些最基本的函數(shù)“四性”的結(jié)論，則此題不難獲解.但教學(xué)反饋表明，學(xué)生普遍不得要領(lǐng).大多數(shù)學(xué)生從條件僅能推得y=f(x)的圖像既關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)，再往下便一籌莫展.鑒于函數(shù)在高考中的重要地位，以及函數(shù)“四性”考題得分普遍欠佳的實(shí)際情況，筆者尋思有必要在備考中提高函數(shù)性質(zhì)復(fù)習(xí)的深度，增強(qiáng)對(duì)函數(shù)“四性”相互聯(lián)系的認(rèn)識(shí).本文就函數(shù)“四性”的備考與探究略作剖析，以期拋磚引玉.

1 考查要求與命題走勢(shì)分析

對(duì)函數(shù)“四性”，考綱要求多在理解這一層面:理解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.對(duì)于周期性，則更著重于理解三角函數(shù)的周期問(wèn)題；對(duì)于對(duì)稱(chēng)性，除掌握奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性外，對(duì)一般的軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題也都有所涉及，尤其對(duì)于f(a+x)=f(a-x)等對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，屢屢考查.從高考走勢(shì)看，函數(shù)“四性”重點(diǎn)考查單調(diào)性，近幾年尤其是利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)問(wèn)題似成考查趨勢(shì)，并且多為解答題.而對(duì)于函數(shù)“四性”的交叉聯(lián)系這幾年更多見(jiàn)于客觀小題，并且題目靈活、富有內(nèi)涵.

2 函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性探究

對(duì)于函數(shù)“四性”問(wèn)題，通常可從相應(yīng)的定義入手，解題關(guān)鍵是要熟悉和掌握一些基本性質(zhì)，并靈活處理“四性”的相互關(guān)系與綜合應(yīng)用.

2.1 抓住3條主線，理清奇偶性試題高考脈絡(luò)

奇偶性是函數(shù)中最基礎(chǔ)的性質(zhì)，分析近幾年的高考試題發(fā)現(xiàn)，通常奇偶函數(shù)的定義、性質(zhì)、與單調(diào)性結(jié)合問(wèn)題是高考奇偶性問(wèn)題的主考方面.

2.1.1 抓住奇偶定義

定義應(yīng)用基本可以分2個(gè)層面:一是直接用定義，再結(jié)合f(-x)+f(x)=0及f(x)-f(-x)=0這一變式；二是構(gòu)造函數(shù)，利用奇偶性解決求值、求參數(shù)范圍等問(wèn)題.

值得注意的是，很多時(shí)候當(dāng)f(x)在x=0有定義時(shí)，由f(0)=0求參數(shù)的值，往往顯得簡(jiǎn)捷.

2.1.2 抓住奇偶性質(zhì)

對(duì)奇偶函數(shù)的性質(zhì)，直觀的有:奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).除此以外，若能利用一些延伸性質(zhì)，如：f(x)為偶函數(shù)且f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，則f(x)在(-∞,0)上為單調(diào)減函數(shù)；奇+奇=奇，偶+偶=偶；若f(x)為奇函數(shù)，在(0,+∞)上有最大值M，則f(x)在(-∞,0)上有最小值-M；等等.若能靈活應(yīng)用，則解題時(shí)往往事半功倍.

M=1+p，m=1-p，

故

M+m=2.

注奇偶函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用是靈活的.很多時(shí)候需要對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行變形，才能發(fā)現(xiàn)其中的奧妙.

2.1.3 抓住奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系

歷年的高考題多將奇偶性與單調(diào)性綜合在一起考查，此時(shí)若能靈活應(yīng)用奇偶性的若干結(jié)論與性質(zhì)，會(huì)大大地簡(jiǎn)化解題.

例3已知定義在[-2,2]上的偶函數(shù)f(x)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若f(1-m)

分析一般而言，需對(duì)1-m與m所在區(qū)間進(jìn)行討論，相當(dāng)繁瑣.若考慮到

f(1-m)=f(|1-m|),f(m)=f(|m|)，

則

解得

注這類(lèi)考題利用奇偶性實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，避免了分類(lèi)討論，在高考中多有應(yīng)用.此外，應(yīng)注意定義域[-2,2]的限制，這是許多考生的失分點(diǎn)，應(yīng)給予關(guān)注.

2.2 理解周期實(shí)質(zhì)，掌握基本方法

函數(shù)的周期性問(wèn)題具有一定的靈活性，要求熟悉定義，善于配湊變換，同時(shí)還需適度了解幾個(gè)重要的周期模型.在高考中，周期問(wèn)題的重點(diǎn)還是三角函數(shù)周期的判定與運(yùn)用.

2.2.1 緊扣定義，“湊”出周期

若f(x+T)=f(x)(常數(shù)T≠0)對(duì)定義域中任一x均成立，則f(x)為周期函數(shù)，周期為T(mén).特別地，當(dāng)x∈R，k∈Z時(shí)，kT也為f(x)的周期.一般地，利用周期定義解題，多數(shù)時(shí)候需靈活配湊與替換.

例4已知定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足f(x)[f(x+2)+1]=f(x+2)-1，求證：f(x)是周期函數(shù).

分析題目中周期T不明，可以變形探究.

將原式變形得

將x換成x+2，得

再將x替換成x+4，則

于是

f(x+8)=f(x)，

故T=8.得證.

注此題由題設(shè)啟發(fā)先將x替換成x+2，再將x替換成x+4，善于從結(jié)構(gòu)中尋求替換是周期問(wèn)題的力招.

2.2.2 緊扣三角，把握重點(diǎn)

周期問(wèn)題的主角還是三角函數(shù)，尤其是轉(zhuǎn)化為求y=Asin(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的周期，其中降次擴(kuò)角、合一變換是最主要的變換手段.

例5求下列函數(shù)的周期：

(1)f(x)=|sinx+cosx|；

(2)因?yàn)?/p>

所以周期為π.

2.2.3 緊扣模式，定中求變

掌握一些基本的周期結(jié)論是非常必要的，譬如若函數(shù)f(x)滿足：

f(x+a)=f(x+b)(a≠b)；

f(x)=-f(x+a)(a≠0)；

f(a-x)=f(a+x)且f(b-x)=f(b+x)，

則f(x)是周期函數(shù)，且周期分別是|a-b|,2|a|,2|a|,2|a-b|.再如f(x)的圖像若關(guān)于點(diǎn)(a,0)、點(diǎn)(b,0)成中心對(duì)稱(chēng)，則周期為2|b-a|，等等.只有掌握基本模型，才能了解定式，從而定中求變.

例6設(shè)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上滿足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x),且在閉區(qū)間[0,7]上只有f(1)=f(3)=0，試求方程f(x)=0在[-2 005,2 005]上根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

分析由題意知，f(x)滿足周期函數(shù)的模式，其周期為10，這給題解提供了方向.

解f(10+x)=f[2+(8+x)]=

f[2-(8+x)]=f(-6-x)=

f[7-(13+x)]=

f[7+(13+x)]=f(20+x)，

所以f(x)的周期為10.由f(x)的圖像關(guān)于直線x=7對(duì)稱(chēng)可知，f(x)=0在(0,10)上有2個(gè)根，因此f(x)在(0,2 005]上有201×2=402個(gè)根；在[-2 005,0]上有200×2=400個(gè)根，故f(x)=0在[-2 005,2 005]上共有802個(gè)根.

2.3 靈活處理單調(diào)，突破考查重點(diǎn)

就函數(shù)性質(zhì)在高考中地位的重要性而言，莫過(guò)于函數(shù)的單調(diào)性.由于函數(shù)的單調(diào)性可與導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列、三角、參數(shù)范圍等內(nèi)容廣泛結(jié)合，因此常作為高考中檔題和高檔題著力考查的熱點(diǎn)與重點(diǎn).從單調(diào)性解題的基本方法而言，利用定義、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、圖形與導(dǎo)數(shù)是當(dāng)前高考的幾個(gè)主要方面.

2.3.1 定義是根本

例7已知函數(shù)f(x)=ax-bx(a>b>0)，若f(x)在[2,4]上的最大值為32，最小值為2，試求a和b的值.

解當(dāng)a>b>1時(shí)，

任取x1,x2∈[2,4]，且x11,所以

0

(1)

(2)

由式(1)，式(2)得

因此y=ax-bx在[2,4]上為增函數(shù).由題意知

即

解得

當(dāng)a>1>b>0時(shí)，y=ax-bx也為增函數(shù)，但此時(shí)無(wú)解.

當(dāng)1>a>b>0時(shí)，因?yàn)?≤x≤4，所以

ax-bx

即f(x)<0,從而f(x)的最小值不可能為2.

注從單調(diào)性定義出發(fā)，進(jìn)行證明、判斷、求范圍都是高考中最基本的方法，要予以重視.

2.3.2 復(fù)合是關(guān)鍵

先看一道經(jīng)典題：

例8已知y=loga(2-ax)是[0,1]上的減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2.3.3 圖像是輔助

圖1

下面的例9可以充分說(shuō)明圖像在單調(diào)性中的輔助作用.

例9已知f(x)=a|x-b|+2在[0,+∞]上單調(diào)遞增，求a,b的取值范圍.

分析掌握函數(shù)的圖形，尤其是一些基本圖形是必要的，題中的b決定轉(zhuǎn)折點(diǎn)，a決定傾斜方向，欲合題意，只能具備如圖1的條件：如此易得a>0,b≤0.

2.4 把握點(diǎn)軸對(duì)稱(chēng)，拓展對(duì)稱(chēng)內(nèi)涵

高考對(duì)稱(chēng)性考查多注重點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng)考查，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸成軸對(duì)稱(chēng)是最常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)結(jié)論，但這是不夠的，還須對(duì)一般的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng)、泛對(duì)稱(chēng)有所了解，并且熟悉一些常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)結(jié)論是十分必要的.

2.4.1 點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)M(a,b)成中心對(duì)稱(chēng)，則f(x)滿足f(x)+f(2a-x)=2b，反之亦然.利用解析幾何方法極易說(shuō)明.一般地，高考中更多時(shí)候會(huì)考查關(guān)于點(diǎn)(m,0)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，此時(shí)有f(x)+f(2m-x)=0.

例10若f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有f(x+8)=-f(-2-x)，且當(dāng)x≥3時(shí)，f(x)=x2-7x+4，求f(x)的解析式.

解因?yàn)閒(x)滿足

f(x+8)+f(-2-x)=0，

所以f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(3，0)成中心對(duì)稱(chēng).當(dāng)x<3時(shí)，-x+6≥3，從而

f(x)=-f(6-x)=

-[(6-x)2-7(6-x)+4]=

-x2+5x+2,

故

2.4.2 軸對(duì)稱(chēng)

分析由題意可知,f(x)圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng),于是

f(3)=f(-1)=4.

2.4.3 泛對(duì)稱(chēng)

高考對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題除了函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)、軸自對(duì)稱(chēng)以外，很多時(shí)候還有函數(shù)圖像的互對(duì)稱(chēng)、“鏡像”對(duì)稱(chēng)、“首尾”對(duì)稱(chēng)、對(duì)偶對(duì)稱(chēng)等，為方便起見(jiàn)我們稱(chēng)為泛對(duì)稱(chēng).

(2002年全國(guó)數(shù)學(xué)高考試題)

2.5 熟悉四性交叉，強(qiáng)化綜合能力

函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性并不是孤立存在的，它們之間是互相聯(lián)系的.在近幾年數(shù)學(xué)高考中,很多時(shí)候函數(shù)的性質(zhì)都是綜合出現(xiàn)在同一道題目中，這就要求學(xué)生熟悉它們的相互關(guān)系，提高綜合解題能力.

例13定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x)，且在[0，2]上單調(diào)遞增.若方程f(x)=m(m>0)在[-8,8]上有4個(gè)互不相同的根x1,x2,x3,x4，則x1+x2+x3+x4=________.

(2009年山東省數(shù)學(xué)高考試題)

分析由奇函數(shù)性質(zhì)且f(x-4)=-f(x),可得

f(x-4)=f(-x)，

則其對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2.又由

f[(x-4)-4]=-f(x-4)=f(x)，

可知周期為8.而f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，據(jù)此可構(gòu)造符合題意的圖形,如圖2.

圖2

若方程f(x)=m(m>0)在[-8,8]上有4個(gè)不同的根x1,x2,x3,x4，不妨令x1

x1+x2=-12，x3+x4=4，

所以

x1+x2+x3+x4=-8.

注本題將函數(shù)四性、函數(shù)圖像高度融合，題中結(jié)合了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.

精題集粹

1.函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，y=f(x)是增函數(shù)，若x1<0,x2>0，且|x1|<|x2|，則

( )

A.f(x1)-f(x2)>0 B.f(x1)-f(x2)<0

C.f(x1)+f(x2)>0 D.f(x1)+f(x2)<0

2.已知直線x=1是函數(shù)y=f(2x)圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸，那么f(3-2x)的圖像關(guān)于

( )

3.已知以T=4為周期的函數(shù)

其中m>0,若方程3f(x)=x恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是

( )

4.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則

( )

A．f(-25)

B．f(80)

C．f(11)

D．f(-25)

5.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，其圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng).當(dāng)x∈(-2,2)時(shí)，f(x)=1+x2，則當(dāng)x∈(-6,-2)時(shí)，f(x)=________.

7.f(x)=|x2-ax-a|在[0,1]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

參考答案

1.A 2.A 3.B 4.D

5.(x+4)2+1 6.9

7.(-∞,0)∪[2,+∞)

解得

于是

故

(2)由條件得f(x)=f(2-x).因?yàn)?/p>

f(-x)=f(x)=f(2-x)，

所以

f(x+2)=f(x)，

于是周期T=2.