概率與統(tǒng)計題型及高考走勢

● (湖州中學 浙江湖州 313000)

1 考查要求

概率與統(tǒng)計是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，由于它和實際生活聯(lián)系緊密，同時又是大學概率論與統(tǒng)計學的基礎(chǔ)，因此起到了承上啟下的作用.新課程強調(diào)數(shù)學的基礎(chǔ)性、現(xiàn)實性，重視素質(zhì)教育與高考的兼容性，概率統(tǒng)計的教學內(nèi)容又恰好是一個很好的載體，因此概率統(tǒng)計已持續(xù)成為高考的熱點之一.

概率與統(tǒng)計的考點主要有：隨機事件的概率、互斥事件有一個發(fā)生的概率、古典概型、幾何概型、抽樣方法、總體分布的估計.理科還有:相互獨立事件的概率與條件概率、獨立重復試驗與二項分布、兩點分布與超幾何分布、離散型隨機變量的分布列、期望和方差、正態(tài)分布等．

2 命題走勢

分析近幾年的數(shù)學高考試題可以發(fā)現(xiàn),本專題內(nèi)容的高考命題有以下趨勢：對于統(tǒng)計的考查要求不會很高，以小題的形式出現(xiàn)的可能性較大，主要考查抽樣方法、各種統(tǒng)計圖表等內(nèi)容，多為容易題和中檔題.對概率的考查文、理有別，理科會以解答題并設(shè)計多個小題的形式出現(xiàn)，在考查古典概型、幾何概型、互斥事件、相互獨立事件、獨立重復試驗等內(nèi)容的同時，將含離散型隨機變量的分布列、期望、方差和各種概率的計算融合在一起進行考查，常以考生熟悉的生活背景(如摸球、取數(shù)等)為載體，以排列組合和概率知識為工具，考查對概率事件的識別與概率計算；而文科要求相對較低，主要考查不用排列組合知識的古典概型和幾何概型的計算.

3 典例剖析

( )

(2009年山東省數(shù)學高考理科試題)

即

點評本題主要考查三角函數(shù)的值域和幾何概型計算等有關(guān)知識.當試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應考慮用幾何概型求解.在利用幾何概型求解時，關(guān)鍵是尋找試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域，有時需要設(shè)出變量，列出變量之間的關(guān)系式，在坐標系中表示出所需要的區(qū)域.

例2在1,2,3,…,9這9個自然數(shù)中，任取3個數(shù)．

(1)求這3個數(shù)中恰有1個是偶數(shù)的概率；

(2)設(shè)ζ為這3個數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)(例如：若取出的數(shù)為1,2,3，則有2組相鄰的數(shù)1,2和2,3，此時ζ的值是2),求隨機變量ζ的分布列及其數(shù)學期望Eζ．

(2009年浙江省數(shù)學高考理科試題)

分析由每個數(shù)被取到的可能性相等，且基本事件的總數(shù)是有限的，可知該題屬于古典概型，因此可借助排列組合知識或列舉的方法求解.

解(1)記“這3個數(shù)恰有1個是偶數(shù)”為事件A，則

(2)隨機變量ζ的取值為0,1,2，則

可得ζ的分布列如表1.

表1 ζ的分布列

因此ζ的數(shù)學期望為

點評解決古典概型問題的關(guān)鍵是要明確：①基本事件是什么？②試驗是否是等可能的？③基本事件總數(shù)是什么？④事件中包含多少個基本事件？

本題的關(guān)鍵是搞清ζ的取值，然后判定ζ對應值的概率是否為古典概型，并結(jié)合排列組合求解.

取球模型和取數(shù)模型是古典概型計算中的典型問題，許多實際問題都可以歸結(jié)到這些模型上，特別是產(chǎn)品的抽樣檢驗問題.

例3甲、乙2名跳高運動員一次試跳2米高度成功的概率分別是0.7,0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求：

(1)甲試跳3次，第3次才成功的概率；

(2)甲、乙2人在第1次試跳中至少有1人成功的概率；

(3)甲、乙各試跳2次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多1次的概率．

(2007年福建省數(shù)學高考文科試題)

分析因為甲、乙2人試跳是相互獨立的，所以應利用獨立事件求概率的方法解決.

解記“甲第i次試跳成功”為事件Ai，“乙第i次試跳成功”為事件Bi.依題意得P(Ai)=0.7，P(Bi)=0.6，且Ai，Bi(i=1,2,3)相互獨立．

0.3×0.3×0.7=0.063．

(2)記“甲、乙2人在第1次試跳中至少有1個人成功”為事件C,因為

P(A1)P(B1)=

0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6=

0.88.

(3)設(shè)“甲在2次試跳中成功i次”為事件Mi(i=0,1,2)，則

“乙在2次試跳中成功i次”為事件Ni(i=0,1,2)，則

因為事件“甲、乙各試跳2次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多1次”可表示為M1N0+M2N1，且M1N0，M2N1為互斥事件，所以所求的概率為

P(M1N0+M2N1)=P(M1N0)+P(M2N1)=

P(M1)P(N0)+P(M2)P(N1)=

0.067 2+0.235 2=0.302 4.

點評本題主要考查相互獨立事件、獨立重復試驗及互斥事件的概念及公式的應用.首先要注意在解決概率問題時要解答規(guī)范，有必要的文字敘述，不能只有數(shù)字和符號.

對于復雜事件的概率,可以考慮拆分為幾個簡單事件的概率問題求解，而拆分時往往會犯拆分不合理或以偏概全的錯誤，要引起關(guān)注.

在審題時要注意關(guān)鍵詞，如“至少有1個發(fā)生”、“至多有1個發(fā)生”、“恰好有1個發(fā)生”等問題的處理.同時也可結(jié)合對立事件的概率求法來求解，例如第(2)小題也可用這樣的解法：

例4購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費a元，若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得10 000元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有10 000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立．已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為1-0.999104．

(1)求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率p；

(2)設(shè)保險公司開辦該項險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應交納的最低保費(單位：元)．

(2008年全國數(shù)學高考理科試題Ⅱ)

分析由于各投保人是否出險相互獨立，所以出險人數(shù)服從二項分布；而盈利時，其利潤的期望值應不小于0，從而必須找出利潤與出險人數(shù)的關(guān)系式.

解各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是p，記投保的10 000人中出險的人數(shù)為ζ，則ζ～B(104,p)．

1-(1-p)104.

又P(A)=1-0.999104，所以p=0.001．

(2)該險種總收入為10 000a元，支出是賠償金總額與成本的和,因此支出為10 000ζ+50 000，利潤為

η=10 000a-(10 000ζ+50 000)，

利潤的期望為

Eη=10 000a-10 000Eζ-50 000.

由ζ～B(104,10-3)知，

Eζ=10 000×10-3，

從而Eη=104a-104Eζ-5×104=

104a-104×104×10-3-5×104.

又由Eη≥0,得

104a-104×10-5×104≥0,

即

a≥15(元)．

故每位投保人應交納的最低保費為15元．

點評本題主要考查了二項分布的概念.判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關(guān)鍵有：(1)獨立性，即在一次試驗中，事件發(fā)生與不發(fā)生二者必居其一；(2)重復性，即試驗獨立重復地進行了n次.

本題主要考查了利用概率知識求期望的決策問題，立意新穎.由于利用了隨機變量的一些性質(zhì)，因此運算大為簡化.這里用到的性質(zhì)有：若ζ～B(n,p)，則Eζ=np,E(aζ+b)=aEζ+b.

例5一個口袋中裝有大小相同的n個紅球(n≥5且n∈N)和5個白球，一次摸獎從中摸2個球，2個球的顏色不同則為中獎.摸1次中獎的概率為p,記3次摸獎(每次摸獎后放回)恰有1次中獎的概率為f(p).試問當n等于多少時，f(p)的值最大？

(2009年廣東省廣州市二模理科試題)

分析由于本題是“有放回”的摸球，因此可以用獨立重復試驗求概率的方法求出f(p)，然后再解決當n為何值時，f(p)為最大.

由于每次摸獎中獎的概率為p，因此3次摸獎中(每次摸獎后放回)恰有1次中獎的概率是

3p3-6p2+3p(0

因而f′(p)= 9p2-12p+3=3(p-1)(3p-1),

解得

n=20或n=1(舍去).

故當n=20時，3次摸獎(每次摸獎后放回)恰有1次中獎的概率最大.

點評本題是一道概率與函數(shù)、方程交匯的綜合性試題.在解題過程中，由于問題是求n的值，因此學生很自然地會把p關(guān)于n的表達式代入f(p)的解析式中去解n，顯然就解不下去了.而在以上解法中，先利用了導數(shù)求出f(p)取最大值時對應的p的值，再代入p關(guān)于n的表達式中解出n，方法比較合理.

在解古典概型問題時,特別要注意分清“有放回”與“無放回”、“有序”與“無序”等條件的影響.

精題集粹

1．某村有桃樹與蘋果樹若干，現(xiàn)在用分層抽樣的方法抽取了桃樹與蘋果樹總數(shù)的10%，其中桃樹50顆，蘋果樹80顆，則這個村的蘋果樹共有

( )

A．300顆 B．500顆

C．800顆 D．1 300顆

2．為了慶祝六一兒童節(jié)，某食品廠制作了3種不同的精美卡片，每袋食品隨機裝入1張卡片，集齊3種卡片可獲獎，現(xiàn)購買該種食品5袋，能獲獎的概率為

( )

3．在區(qū)間[0,1]上任意投3個點，由0至3點的3條線段，能構(gòu)成三角形與不能構(gòu)成三角形這2個事件的概率的大小為

( )

A.一樣大

B.能構(gòu)成三角形的概率大

C.不能構(gòu)成三角形的概率大

D.無法比較

5．設(shè)a,b∈(0,1)，則關(guān)于x的方程x2+2ax+b=0在(-∞,+∞)上有2個不同的零點的概率為________.

6．從1，2，3，4，5，6這6個數(shù)字中,任取2個數(shù)字相加,其和為偶數(shù)的概率是________.

(1)設(shè)X表示目標被擊中的次數(shù)，求X的分布列；

(2)若目標被擊中2次，A表示事件“第1部分至少被擊中1次或第2部分被擊中2次”，求P(A)．

(2009年遼寧省數(shù)學高考試題)

8．在一個盒子中，放有標號分別為1，2，3的3張卡片，現(xiàn)從這個盒子中，有放回地先后抽得2張卡片的標號分別為x,y，記ζ=|x-2|+|y-x|．

(1)求隨機變量ζ的最大值，并求事件“ζ取得最大值”的概率；

(2)求隨機變量ζ的分布列和數(shù)學期望．

參考答案

表2 X的分布列

(2)設(shè)Ai表示事件“第1次擊中目標時，擊中第i部分”，i=1，2;Bi表示事件“第2次擊中目標時，擊中第i部分”，i=1，2.依題意知，

P(A1)=P(B1)=0.1，

P(A2)=P(B2)=0.3，

于是所求的概率為

0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=

0.28.

8．解(1)x,y可能的取值為1,2,3，則

|x-2|≤1,|y-x|≤2，

從而

ζ≤3,

且當x=1,y=3或x=3,y=1時，ζ=3．因此，隨機變量ζ的最大值為3.又因為有放回抽2張卡片的所有情況有3×3=9種，所以

(2)ζ的所有取值為0,1,2,3.

當ζ=0時，只有x=2,y=2這1種情況；

當ζ=1時，有x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3這4種情況；

當ζ=2時，有x=1,y=2或x=3,y=2這2種情況．

從而隨機變量ζ的分布列如表3.

表3 ζ的分布列

因此，數(shù)學期望為