基于損傷可識(shí)別性的傳感器優(yōu)化布置方法

孫小猛, 馮 新, 周 晶

(大連理工大學(xué)海岸和近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,遼寧大連 116024)

0 引 言

土木工程結(jié)構(gòu)的型式復(fù)雜、體量巨大,受現(xiàn)場(chǎng)條件和建造費(fèi)用的限制,只能在有限的位置上布設(shè)一定數(shù)目的傳感器來監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)的健康狀態(tài),因此如何將有限數(shù)目的傳感器布設(shè)在結(jié)構(gòu)的合適位置上并獲得結(jié)構(gòu)最接近真實(shí)的信息就成為結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)需要解決的關(guān)鍵問題之一.近年來,基于振動(dòng)模態(tài)測(cè)試的模型修正和指紋分析方法在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)和損傷識(shí)別中得到了廣泛應(yīng)用,然而其應(yīng)用仍以有限測(cè)點(diǎn)條件下結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的準(zhǔn)確獲取為基本前提.由此產(chǎn)生的傳感器優(yōu)化布置問題就需要同時(shí)滿足兩個(gè)方面的優(yōu)化目標(biāo):一方面,傳感器的優(yōu)化布置首先應(yīng)該保證可觀測(cè)的模態(tài)具有一定的準(zhǔn)確性和線性無關(guān)性;另一方面,傳感器的優(yōu)化布置又要使可觀測(cè)的模態(tài)參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的局部損傷和狀態(tài)退化足夠敏感.

近二三十年來,基于振動(dòng)模態(tài)測(cè)試的傳感器優(yōu)化布置研究逐漸受到重視,并且取得了許多重要的研究進(jìn)展.早期的研究主要從模態(tài)的可觀測(cè)性出發(fā),研究傳感器的優(yōu)化配置.文獻(xiàn)[1～7]通過使Fisher信息矩陣的某種范數(shù)、行列式或跡最大來優(yōu)選傳感器位置.Kammer[8]提出的有效獨(dú)立法(effective independence algorithm,簡(jiǎn)稱 EI法),從所有可能測(cè)點(diǎn)出發(fā),根據(jù)估計(jì)誤差的協(xié)方差最小來達(dá)到最佳估計(jì)的目的,通過計(jì)算有效獨(dú)立分布狀態(tài)向量,刪除對(duì)其秩貢獻(xiàn)最小的自由度,從而優(yōu)化Fisher信息陣而使感興趣的模態(tài)向量盡可能保持線性無關(guān),最終得到一組傳感器優(yōu)化測(cè)點(diǎn).Guyan[9]提出了一種模型縮減法,該方法通過縮減后的模型把那些對(duì)模態(tài)反應(yīng)起主要作用的自由度保留下來作為測(cè)點(diǎn)位置.Kim等[10]通過對(duì)待測(cè)模態(tài)矩陣進(jìn)行奇異值分解,刪除對(duì)Fisher信息矩陣貢獻(xiàn)小的測(cè)點(diǎn),盡量使目標(biāo)模態(tài)線性獨(dú)立,并給出了每次迭代刪除測(cè)點(diǎn)的允許數(shù)目.模態(tài)應(yīng)變能法選擇具有較大模態(tài)應(yīng)變能的自由度作為傳感器的位置[11].文獻(xiàn)[12、13]利用結(jié)構(gòu)振型矩陣轉(zhuǎn)置的QR分解選擇初始測(cè)點(diǎn),以模態(tài)置信矩陣的最大非對(duì)角元為目標(biāo)函數(shù),根據(jù)序列法來優(yōu)化傳感器測(cè)點(diǎn).以上基于模態(tài)可觀測(cè)性的傳感器優(yōu)化研究中,目標(biāo)函數(shù)不包含模態(tài)參數(shù)對(duì)局部損傷的敏感性信息,無法反映傳感器位置對(duì)結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的影響.為了滿足結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的要求,許多學(xué)者研究了以損傷識(shí)別為目的的傳感器優(yōu)化方法.Cobb等[14]和Shi等[15]基于結(jié)構(gòu)損傷靈敏度分析,建立了一種針對(duì)結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的傳感器優(yōu)化模型.然而,結(jié)構(gòu)損傷靈敏度Fisher信息矩陣的逆矩陣不一定存在.因此文獻(xiàn)[16、17]為了避免求損傷靈敏度Fisher信息矩陣的逆,分解每個(gè)自由度對(duì)Fisher信息陣的跡的貢獻(xiàn),來確定每個(gè)自由度含有損傷信息的多少,從而來選擇最佳測(cè)點(diǎn).

分析國內(nèi)外研究現(xiàn)狀可知,當(dāng)前的傳感器優(yōu)化布置研究分別基于兩種不同的優(yōu)化目標(biāo)單獨(dú)進(jìn)行.優(yōu)化目標(biāo)的不同必將導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果的不一致,即基于模態(tài)獨(dú)立性的優(yōu)化結(jié)果在某種程度上并不能滿足損傷可識(shí)別性最優(yōu)的條件,反之亦然.然而,在以往的研究中并未發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象.同時(shí),以往基于矩陣條件數(shù)最小的優(yōu)化算法與基于信息矩陣最大的優(yōu)化算法在實(shí)際計(jì)算中存在矛盾,當(dāng)矩陣條件數(shù)最小時(shí),信息矩陣卻未必能取得最大值,反之亦然.為了解決以上存在的問題,本文推導(dǎo)出一種可以同時(shí)滿足模態(tài)可觀測(cè)性與損傷可識(shí)別性為最優(yōu)的傳感器優(yōu)化模型,并發(fā)展一種協(xié)調(diào)Fisher信息矩陣最大與條件數(shù)最小的優(yōu)化算法,以期為結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的傳感器優(yōu)化布設(shè)提供理論依據(jù).

1 傳感器優(yōu)化模型

近年來,基于模態(tài)可觀測(cè)性或損傷可識(shí)別性的傳感器優(yōu)化布置方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于土木工程中,然而作者通過研究發(fā)現(xiàn),在相同條件下兩種方法的優(yōu)化結(jié)果不盡相同.前者的結(jié)果并不一定滿足損傷可識(shí)別性最優(yōu)的要求,而后者的結(jié)果也并不一定滿足目標(biāo)模態(tài)獨(dú)立性最優(yōu)的要求.因此發(fā)展一種以損傷可識(shí)別性與模態(tài)可觀測(cè)性相協(xié)調(diào)為目標(biāo)的傳感器優(yōu)化布置方法對(duì)結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)有著重要意義.

一個(gè)具有n自由度動(dòng)力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

其中M、C、K分別表示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣分別表示加速度反應(yīng)、速度反應(yīng)和位移反應(yīng),P(t)表示荷載.由動(dòng)力分析振型疊加法可知,當(dāng)出現(xiàn)損傷時(shí),結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)可以表示為其中Yd為結(jié)構(gòu)損傷時(shí)的反應(yīng),Υ為結(jié)構(gòu)未損狀態(tài)時(shí)的振型,ΔΥ為結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時(shí)的振型改變量,q為模態(tài)坐標(biāo)向量.

假設(shè)結(jié)構(gòu)為小阻尼系統(tǒng),結(jié)構(gòu)損傷只引起剛度的變化,而質(zhì)量和阻尼的特性不發(fā)生變化.根據(jù)文獻(xiàn)[15～18],如果結(jié)構(gòu)的剛度發(fā)生一個(gè)小的擾動(dòng),ΔΥi可以表示為損傷前結(jié)構(gòu)振型的線性組合,而且假定結(jié)構(gòu)剛度的變化是各單元結(jié)構(gòu)剛度變化的線性疊加,那么ΔΥi可以表示為

其中αk表示單元k的損傷系數(shù)(-1≤αk≤0),Kk表示單元k的剛度,ω為結(jié)構(gòu)的自振頻率,Si為第i階損傷靈敏度(damage sensitivity,DS),δi為結(jié)構(gòu)單元損傷向量.Si和δi可以表示如下:

將式(3)代入式(2)可得

β為一對(duì)角陣,且 β=diag{δ,…,δ}.令 Γ=(ΥS),θ=(qβq)T,式(4)可以寫成

定義 Γ為動(dòng)力反應(yīng)的靈敏度(dynamic response sensitivity,DRS),其包含了模態(tài)的獨(dú)立貢獻(xiàn)與損傷靈敏度信息.

考慮觀測(cè)噪聲的影響,損傷結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)可以近似表示為

其中w是觀測(cè)噪聲向量,是一個(gè)方差為Χ20的相互獨(dú)立的高斯白噪聲.待識(shí)別參數(shù)的真實(shí)值θ與其估計(jì)值 θ的協(xié)方差矩陣為

將式(6)代入式(7)可得

那么可以根據(jù)上式定義Fisher信息矩陣為

如果不考慮結(jié)構(gòu)損傷的影響,式(9)定義的Fisher信息矩陣將退化為如下的形式:

式(10)是Kammer[8]提出的有效獨(dú)立法中的傳感器優(yōu)化模型,它不包含結(jié)構(gòu)損傷靈敏度信息,僅僅反映了目標(biāo)振型中各自由度的貢獻(xiàn).如果僅考慮損傷對(duì)于振型改變的影響,Fisher信息矩陣可以退化為另外一種形式:

式(11)是Cobb等[14]和Shi等[15]所建議的傳感器優(yōu)化模型,它僅僅包含了振型的損傷靈敏度信息.式(11)的優(yōu)化模型隱含了這樣一個(gè)假定,即對(duì)于所有的自由度均可以得到最優(yōu)的目標(biāo)振型,然而對(duì)于大多數(shù)結(jié)構(gòu)而言,這一假定不一定成立.同時(shí),從式(4)可知,受損結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)應(yīng)該包含完好結(jié)構(gòu)的模態(tài)信息和結(jié)構(gòu)損傷靈敏度信息.因此本文定義的傳感器優(yōu)化模型式(9)與式(10)和(11)不同,是兩類信息的疊加:一類是未損傷結(jié)構(gòu)每個(gè)自由度的振型信息,另外一類是每個(gè)自由度的損傷靈敏度信息.

2 優(yōu)化算法

為了得到式(6)中待識(shí)別參數(shù)的良好估計(jì),必須使式(9)中的QΓ取最大值,因此應(yīng)使Fisher信息矩陣在某種范數(shù)意義下取最大值.然而式(6)中DRS矩陣Γ的條件數(shù)與范數(shù)有關(guān),它刻畫了方程組解的相對(duì)誤差大小,當(dāng)QΓ的某種范數(shù)取最大時(shí),Γ的條件數(shù)可能相對(duì)較大.因此為了使Fisher信息矩陣較大,同時(shí)使DRS矩陣具有較小的條件數(shù),本文將建立一種協(xié)調(diào)Fisher信息矩陣的2-范數(shù)最大和DRS矩陣條件數(shù)最小的優(yōu)化算法.

由矩陣范數(shù)的定義可知,QΓ的2-范數(shù)為

其中λmax(QΓ)為QΓ的最大特征值.那么,當(dāng)QΓ的2-范數(shù)取得極大值時(shí),QΓ就能夠取得最大.根據(jù)矩陣?yán)碚?矩陣的條件數(shù)很大,那么識(shí)別結(jié)果的精度將會(huì)很差,當(dāng)條件數(shù)接近1,得到的識(shí)別精度較高,反之較差.DRS矩陣的條件數(shù)可以表示為

矩陣的奇異值分解不僅可以判斷其向量是否線性相關(guān),而且能夠得到矩陣的2-范數(shù).DRS矩陣的奇異值分解如下:

DRS矩陣的條件數(shù)等于DRS矩陣奇異值分解的最大奇異值與最小奇異值的比值,可以表示為

由式(15)和(16)明顯可知,QΓ的2-范數(shù)取得最大值時(shí),對(duì)應(yīng)的σr未必是最大的,因此DRS矩陣 Γ的條件數(shù)也未必是極小的,反之亦然.

信息矩陣的2-范數(shù)和DRS矩陣的條件數(shù)可以看做是自由度上的兩種量度,顯然這兩種量度具有矛盾性,即如果采用某種方案去改進(jìn)某一目標(biāo)時(shí),可能會(huì)使另一目標(biāo)的值變壞(信息矩陣的最大化可能導(dǎo)致較大的條件數(shù)).為了讓QΓ盡可能大的同時(shí),Γ的條件數(shù)也盡可能小,本文構(gòu)造了一個(gè)協(xié)調(diào)這兩種量度的目標(biāo)函數(shù):

由于這兩種量度同等重要,這里取相同的權(quán)重因子.式(17)為隱式函數(shù),目標(biāo)函數(shù)的自變量是結(jié)構(gòu)的自由度.當(dāng) ‖Q?！?和1/cond2(Γ)同時(shí)達(dá)到較大值時(shí),目標(biāo)函數(shù)f才能取得最大值.為了避免‖QΓ‖2和1/cond2(Γ)在量級(jí)上差別過大,要保證它們?cè)谕怀叨壬?根據(jù)文獻(xiàn)[19]可以通過下式對(duì)其進(jìn)行變換:

其中n為自由度數(shù)目,xij為 ‖Q?！?和1/cond2(Γ)(自變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)),和分別代表xij對(duì)應(yīng)的最大值和最小值,那么根據(jù)式(18),式(17)可以寫成

其中 γ1和 γ2是 ‖Q?！?和 1/cond2(Γ)根據(jù)式(19)變換后的值,其值在0～1.

在所有自由度內(nèi)循環(huán),每次刪除一個(gè)自由度后根據(jù)式(19a)和(19b)計(jì)算自變量在兩種量度上的貢獻(xiàn) γ1和 γ2,刪除 γ1和 γ2之和最大時(shí)對(duì)應(yīng)的自由度,并更新Fisher信息矩陣和DRS矩陣.刪除該自由度后能保證Fisher信息矩陣QΓ相對(duì)較大,同時(shí)DRS矩陣 Γ的條件數(shù)相對(duì)較小.重復(fù)以上步驟,最終剩余的自由度使信息矩陣保留盡可能多的信息,而且使DRS矩陣具有較好的性態(tài).根據(jù)以上原理與推導(dǎo)公式,該方法的主要過程可以表示如下:

(1)由有限元方法得到結(jié)構(gòu)的振型矩陣和剛度矩陣;

(2)由式(3a)、(4)和(5)求得結(jié)構(gòu)的DS矩陣S和DRS矩陣Γ;

(3)在所有自由度里進(jìn)行循環(huán),刪除第j個(gè)自由度(自變量),根據(jù)式(18)和(19)計(jì)算 γ1+γ2,并降序排列,刪除γ1+γ2最大值對(duì)應(yīng)的自由度;

(4)在剩余自由度里重復(fù)第(3)步,最后剩余的自由度即為所求.

3 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證本文提出方法的有效性,對(duì)二維六跨簡(jiǎn)支桁架進(jìn)行計(jì)算分析.結(jié)構(gòu)幾何特性如圖1所示,桁架包含14個(gè)節(jié)點(diǎn),31個(gè)單元,25個(gè)自由度,無內(nèi)節(jié)點(diǎn).結(jié)構(gòu)的材料特性為彈性模量E=70 GPa,質(zhì)量密度2770 kg/m3,單元截面積0.001 m2.根據(jù)有限元方法計(jì)算得到的桁架模型前3階頻率分別為36.432、76.095、133.810 H z.

3.1 傳感器優(yōu)化布置

根據(jù)Kammer[8]提出的有效獨(dú)立法(EI法)以及Shi等[15]提出的損傷靈敏度法(DS法),選取結(jié)構(gòu)前3階模態(tài)信息進(jìn)行計(jì)算.

圖1 桁架結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Bar truss structure

利用結(jié)構(gòu)前3階振型信息,根據(jù)EI法計(jì)算各自由度的有效獨(dú)立向量分布如圖2所示,圖中橫坐標(biāo)表示自由度,縱坐標(biāo)表示有效獨(dú)立向量分布值.利用結(jié)構(gòu)前3階損傷靈敏度信息,根據(jù)DS法計(jì)算各自由度對(duì)測(cè)試矩陣[15]的秩的貢獻(xiàn)分布如圖3所示,圖中橫坐標(biāo)表示自由度,縱坐標(biāo)表示測(cè)試矩陣的對(duì)角元素.圖2和3所示是兩種方法在第一次迭代時(shí)的結(jié)果,由圖可知兩種方法各自由度對(duì)目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)并不相同.

圖2 有效獨(dú)立向量分布Fig.2 Effective independence vector distribution

圖3 對(duì)角元素分布Fig.3 Diagonal terms distribution

在結(jié)構(gòu)25個(gè)自由度中保留了15個(gè)自由度作為傳感器位置,傳感器優(yōu)化結(jié)果(自由度、節(jié)點(diǎn)、方向)如表1和2所示.

表1 EI法傳感器優(yōu)化方案Tab.1 Op timum sensor p lacementby EImethod

表2 DS法傳感器優(yōu)化方案Tab.2 Optimum sensor placementby DSmethod

由表1和表2可以看出,EI法和DS法計(jì)算得到的傳感器優(yōu)化布置的結(jié)果不盡相同,說明基于模態(tài)可觀測(cè)性與基于損傷可識(shí)別性的傳感器優(yōu)化布置結(jié)果只單獨(dú)考慮了結(jié)構(gòu)單一反應(yīng)的影響.因此建立包含振型信息和損傷靈敏度信息的優(yōu)化模型具有一定的理論價(jià)值.根據(jù)式(17)和(19),第一次迭代結(jié)果見表3.

表3 第一次迭代結(jié)果Tab.3 Resu lts o f the first iteration

由表3可以看出,使信息矩陣最大的是刪除第13個(gè)自由度,此時(shí)對(duì)應(yīng)的γ2為0.11225.而使DRS矩陣條件數(shù)最小的是刪除第16個(gè)自由度,此時(shí)對(duì)應(yīng)的γ1為0.89686.顯然單獨(dú)考慮信息矩陣最大和DRS矩陣條件數(shù)最小的結(jié)果不一致,而且信息矩陣最大時(shí)DRS矩陣的條件數(shù)并不是最小值(可能是較大值),反之亦然.因此為了協(xié)調(diào)以上兩種目標(biāo)的不一致,按照式(19)中的目標(biāo)函數(shù),刪除第18個(gè)自由度,就能保證信息矩陣較大,而且DRS矩陣的條件數(shù)較小.

按照本文的優(yōu)化算法程序,在25個(gè)自由度中同樣保留了15個(gè)自由度作為傳感器位置,最終傳感器優(yōu)化布置結(jié)果如表4所示.

表4 DRS法傳感器優(yōu)化方案Tab.4 Op timum sensor p lacementby DRSmethod

3.2 三種方法損傷識(shí)別比較分析

在現(xiàn)代控制論的系統(tǒng)識(shí)別理論中,線性參數(shù)系統(tǒng)的識(shí)別可以采用最小二乘估計(jì)法.式(3)滿足這一理論,通過結(jié)構(gòu)損傷前后結(jié)構(gòu)振型的變化,可以對(duì)結(jié)構(gòu)單元損傷系數(shù)進(jìn)行有效的估計(jì),其最小二乘解可以表示為該式應(yīng)滿足所有選擇模態(tài)階次上的方程在廣義最小二乘意義下都成立.

為了與 EI法[8]和 DS法[15]比較,根據(jù)表 1、2、4中的優(yōu)化測(cè)點(diǎn)以及式(20)進(jìn)行損傷識(shí)別比較分析.結(jié)構(gòu)損傷考慮以下幾種情況:(1)結(jié)構(gòu)的單元16(腹桿)受損,剛度降低30%;(2)結(jié)構(gòu)的單元13(斜桿)受損,剛度降低30%;(3)結(jié)構(gòu)的單元15(下弦桿)和單元17(上弦桿)同時(shí)受損,剛度分別降低20%和30%.

根據(jù)表1、2、4的優(yōu)化結(jié)果,在相同條件下,3種方法在考慮3種損傷情況時(shí)的識(shí)別結(jié)果如圖4所示,其中橫坐標(biāo)為單元數(shù),縱坐標(biāo)為單元損傷系數(shù).

3種方法(DS、EI、DRS)在單元 16(腹桿)受損30%時(shí),損傷系數(shù) α分別為 0.401、0.476和0.372,如圖4(a)所示,由圖可以看出DRS模型在損傷位置識(shí)別結(jié)果較精確,而且在損傷位置沒有誤判的現(xiàn)象,而EI法識(shí)別結(jié)果在無損位置有損傷,這與實(shí)際不符,單元 13(斜桿)受損時(shí),見圖4(b),在同等條件下EI法和DS法無法識(shí)別出斜桿單元的損傷情況,而DRS法在損傷位置識(shí)別損傷系數(shù)為0.355.3種方法在單元15(下弦桿)損傷20%和單元17(上弦桿)損傷30%時(shí)識(shí)別結(jié)果如圖4(c)所示.由圖可以看出,DRS法在損傷位置識(shí)別精度較EI法和DS法高,而且在無損位置誤判現(xiàn)象沒后兩者明顯.

圖4 三種方法結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別結(jié)果比較Fig.4 Com parisons of damage detection for threemethods

4 結(jié) 論

為了滿足結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)和損傷識(shí)別的要求,本文由結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程出發(fā),考慮損傷對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響,建立了同時(shí)包含模態(tài)獨(dú)立性信息和損傷靈敏度信息的傳感器優(yōu)化模型.同時(shí)考慮到系統(tǒng)識(shí)別問題的不適定性,發(fā)展了一種協(xié)調(diào)信息矩陣最大與條件數(shù)最小的優(yōu)化算法.

二維簡(jiǎn)支桁架數(shù)值算例結(jié)果表明,由于Fisher信息矩陣不同,結(jié)構(gòu)每個(gè)自由度對(duì)目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)分布也不盡相同,基于模態(tài)可觀測(cè)性與基于損傷可識(shí)別性的傳感器優(yōu)化布置結(jié)果并不一致.本文發(fā)展的QΓ模型包含振型和損傷靈敏度信息,克服了以往QΥ模型和QS模型的局限性,能夠滿足健康監(jiān)測(cè)和損傷識(shí)別的要求.而且協(xié)調(diào)信息矩陣最大和條件數(shù)最小的優(yōu)化算法兼顧了敏感性和魯棒性,數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了本文方法能夠利用有限的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)獲得較高的損傷識(shí)別精度.

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