基于可變模糊集的辯證法三大規(guī)律數(shù)學(xué)定理及其應(yīng)用

陳守煜

（大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部，遼寧 大連 116024）

0 引 言

1965年札德（Zadeh）提出模糊集合概念[1]，是對康托（Cantor）集合論的重要突破.但模糊集合論是靜態(tài)理論，難以描述模糊現(xiàn)象、事物、概念的動態(tài)可變性.用靜態(tài)的模糊集理論去研究動態(tài)的模糊現(xiàn)象、事物與概念，存在著研究理論與研究對象之間相悖的矛盾，這是經(jīng)典模糊集合論的一大理論缺陷.

20世紀(jì)90年代作者提出相對隸屬函數(shù)動態(tài)概 念[2～4]，并 以 此 為 基 礎(chǔ) 創(chuàng) 立 工 程 模 糊 集 理論[5、6]；21世紀(jì)伊始，在工程模糊集理論基礎(chǔ)上創(chuàng)建的可變模糊集理論[7～15]，是對模糊集合論靜態(tài)理論的重要突破.

馬克思有句名言：“一種學(xué)科只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時，才算達(dá)到了真正完善的地步.”作者依據(jù)可變模糊集理論，率先導(dǎo)出唯物辯證法哲學(xué)對立統(tǒng)一、質(zhì)量互變與否定的否定規(guī)律[16]嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定理——對立統(tǒng)一、質(zhì)量互變與否定的否定定理，構(gòu)建起數(shù)學(xué)與哲學(xué)兩大學(xué)科之間聯(lián)系的橋梁.

水文現(xiàn)象、事物、概念，如汛期、洪澇、干旱不僅具有模糊性，而且具有動態(tài)可變性[9]，多目標(biāo)防洪調(diào)度優(yōu)選決策就是可變模糊集理論、模型與方法的一個實際應(yīng)用命題.經(jīng)典水文水資源學(xué)不研究其模糊性與可變性，這些研究則由模糊水文水資源學(xué)來承擔(dān)[17、18].

人類社會空前規(guī)模的生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)活動，嚴(yán)重影響著大氣層結(jié)構(gòu)變化等許多方面，出現(xiàn)了全球氣候變暖、海冰融化加劇、土地沙化、沙塵暴等一系列生態(tài)環(huán)境惡化現(xiàn)象，并直接影響到水的大、小循環(huán)及循環(huán)的各個環(huán)節(jié)，兼有自然與社會雙重屬性的水資源系統(tǒng)，其可持續(xù)利用受到極大的威脅.研究水資源陸?？諈f(xié)同是水資源系統(tǒng)可持續(xù)利用的一個重要途徑[19].水資源系統(tǒng)的可持續(xù)利用與不可持續(xù)利用是動態(tài)可變的模糊概念，因此模糊水文水資源學(xué)[17]需要有新的模糊不確定性數(shù)學(xué)理論、模型與方法作為基礎(chǔ)，這個基礎(chǔ)就是可變模糊集理論.文獻(xiàn)[20]中氣候變化條件下對水資源影響評價的可變模糊集途徑，就是其中的又一個實際應(yīng)用命題.

本文將對立統(tǒng)一、質(zhì)量互變與否定的否定定理用于水資源系統(tǒng)（含陸海空協(xié)同系統(tǒng)）評價，提出水資源系統(tǒng)可變模糊集評價原理與模型.然后在文獻(xiàn)[7、11]基礎(chǔ)上應(yīng)用對立統(tǒng)一與質(zhì)量互變定理，從唯物辯證法哲學(xué)層面識別可拓學(xué)（物元分析）[21、22]的數(shù)學(xué)與邏輯錯誤.

1 基于可變模糊集的對立統(tǒng)一、質(zhì)量互變與否定的否定定理

1.1 對立模糊集定義

設(shè)論域U中的任意元素u的對立模糊概念（事物、現(xiàn)象）或u對立的基本模糊屬性，以與表示.在參考連續(xù)統(tǒng)[5]區(qū)間[1，0]（對）與[0，1]（對）的任一點上，對立模糊屬性的相對隸屬度分別為，且

稱為u的對立模糊集.見圖1.

圖1 對立模糊集與對立統(tǒng)一定理示意圖Fig.1 Sketch map of opposite fuzzy sets and theorem of unity of opposites

1.2 對立統(tǒng)一定理

在參考連續(xù)統(tǒng)區(qū)間[1，0]（對μA（u））、[0，1]～對的左、右端點pl與pr之間，必存在確定的中介點pm，該點的對立模糊概念或?qū)α⒒緦傩缘南鄬﹄`屬度相等，pm稱為漸變式質(zhì)變點，即

pl與pr稱為突變式質(zhì)變點，其中pl為爆發(fā)式突變點，pr為非爆發(fā)式突變點.

證明 從pl點變化到pr點其間必經(jīng)過的中介點pm.由于故pm點同時具有.在線段間在線段pmpr間則中介點必為漸變式質(zhì)變點，即對立統(tǒng)一矛盾性質(zhì)的轉(zhuǎn)化點，如圖1所示.

設(shè)

稱為u對的相對差異函數(shù).如圖2所示.

圖2 相對差異函數(shù)示意圖Fig.2 Sketch map of relative difference function

1.3 質(zhì)量互變定理

設(shè)D（u）為論域U中元素u對的相對差異函數(shù)，D（u）≠0，對u作變換C，變換后的相對隸屬函數(shù)與相對差異函數(shù)為與

（1）如有不等式

則為漸變式質(zhì)變.

（2）如有等式

則為突變式質(zhì)變.

（3）如有等式

則變化至動態(tài)平衡點，或漸變式質(zhì)變的臨界點，系統(tǒng)處于動態(tài)平衡狀態(tài).

（4）如有不等式

則為量變（證明略）.

漸變式質(zhì)變不等式（6）、突變式質(zhì)變等式（7）與漸變式質(zhì)變點等式（8）稱為質(zhì)變定理，量變不等式（9）稱為量變定理，兩者統(tǒng)稱為質(zhì)量互變定理.它以嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定理表示了唯物辯證法中三大規(guī)律之一的質(zhì)量互變規(guī)律.

1.4 否定的否定定理

由圖2可見，D（u）從1變化到－1為一個周期，設(shè)有n個變化周期.

（1）設(shè)變化前初始狀態(tài)在pl點，D（u）＝1

若變化為一個周期（n＝1），變化后終了狀態(tài)在pr點（）即否定，有D（C（u））＝－1，則

若變化為兩個周期（n＝2），變化后終了狀態(tài)在pl點（）即否定的否定，有D（C（u））＝1，則

若變化為n個周期，變化后終了狀態(tài)在pr或pl點，即n次否定有n個c）.則有

（2）設(shè)變化前初始狀態(tài)在pr點（A～c），D（u）＝－1

類似地，當(dāng)變化為n個周期，同樣有等式（10）.

無論變化前的初始狀態(tài)為D（u）＝1或－1，均有等式（10）.當(dāng)n＝2時，對應(yīng)于唯物辯證法哲學(xué)中否定的否定規(guī)律.故否定的否定定理可表示為

2 水資源系統(tǒng)可變模糊集評價原理與模型

2.1 基本原理

（1）設(shè)水資源系統(tǒng)待評對象u，根據(jù)已知的多個級別h（h＝1，2，…，c；c為級別總數(shù)，對應(yīng)于式（10）中n＝c）多個指標(biāo)（影響因素）i（i＝1，2，…，m；m為評價指標(biāo)總數(shù)，相當(dāng)于m對矛盾）的指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)值矩陣

進(jìn)行評價.

根據(jù)可變模糊集的對立統(tǒng)一定理，水資源系統(tǒng)可變模糊評價基本原理是：在已知級別h指標(biāo)i相對隸屬度等于1的指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)值矩陣Y的情況下，級別h與（h＋1）的物理概念，構(gòu)成對立模糊概念或?qū)α⒌幕灸：龑傩?，?/p>

式中μih（u）、μi（h＋1）（u）分別表示待評對象u指標(biāo)i對級別h與（h＋1）的相對隸屬度.

設(shè)待評對象u指標(biāo)i的特征值xi落入h與（h＋1）級相對隸屬度為1的矩陣的標(biāo)準(zhǔn)值區(qū)間[yih，yi（h＋1）]內(nèi)，則xi對h級的相對隸屬度為

滿足

① 當(dāng)xi＝y(tǒng)ih時，μih（u）＝1，由式（13）得μi（h＋1）（u）＝0

② 當(dāng)xi＝y(tǒng)i（h＋1）時，μih（u）＝0，由式（13）得μi（h＋1）（u）＝1

可見式（14）滿足可變模糊集的對立統(tǒng)一定理.

應(yīng)用式（14）可以計算待評對象u指標(biāo)i的特征值xi對級別h的相對隸屬度.

（2）設(shè)水資源系統(tǒng)待評對象u，根據(jù)已知的多個級別h、多個指標(biāo)i的指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間矩陣進(jìn)行評價.式中aih、bih分別為級別h指標(biāo)i標(biāo)準(zhǔn)值區(qū)間的上、下限值.式（15）相當(dāng)于越小越優(yōu)型指標(biāo)，aih＜bih，h＝2，3，…，c－1；式（16）相當(dāng)于越大越優(yōu)型指標(biāo)，aih＞bih，h＝2，3，…，c－1.此時可以將式（15）、（16）轉(zhuǎn)化為指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)值向量式（12），即令

對越小越優(yōu)型指標(biāo)i，當(dāng)xi＜ai2時，μi1（u）＝1；當(dāng)xi＞bi（c－1）時，μic（u）＝1.

對越大越優(yōu)型指標(biāo)i，當(dāng)xi＞ai2時，μi1（u）＝1；當(dāng)xi＜bi（c－1）時，μic（u）＝1.

然后再應(yīng)用式（14）計算xi對級別h的相對隸屬度.

（3）設(shè)水資源系統(tǒng)待評對象u，根據(jù)已知的多個級別h、多個指標(biāo)i的指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間矩陣

進(jìn)行評價.此時同樣可將式（18）轉(zhuǎn)化為指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)值向量式（12），即令

應(yīng)用式（14）計算xi對級別h的相對隸屬度.

2.2 待評對象u對級別h的綜合相對隸屬度模型

根據(jù)式（14）計算得到的指標(biāo)i對級別h的相對隸屬度μih（u）是單指標(biāo)相對隸屬度.水資源系統(tǒng)是多指標(biāo)綜合評價問題，設(shè)已知指標(biāo)權(quán)重向量為

設(shè)pi點是指標(biāo)i在對立統(tǒng)一定理所示的圖1中所處的點位（見圖3）.

圖3 指標(biāo)i在對立統(tǒng)一定理圖示中的點位p iFig.3 The point position pi of the index i in the sketch map of theorem of unity of opposites

設(shè)對級別h點位pi與pl、pr兩端的多指標(biāo)廣義權(quán)距離為

式中：p為距離參數(shù)，p＝1為海明距離，p＝2為歐氏距離.

若待評對象u對級別h的多指標(biāo)綜合相對隸屬度以νh（u）表示，設(shè)

式中α為優(yōu)化準(zhǔn)則參數(shù)，α＝1相當(dāng)于最小一乘方，α＝2相當(dāng)于最小二乘方.

滿足

（1）當(dāng)pi與pl重合時，μih（u）＝1，dh（pl，pi）＝0，νh（u）＝1.

（2）當(dāng)pi與pr重合時，μi（h＋1）（u）＝1，dh（pi，pr）＝0，νh（u）＝0.

（3）當(dāng)pi與pm重合時，μih（u）＝μi（h＋1）（u）＝0.5，dh（pl，pi）＝dh（pi，pr），νh（u）＝0.5.

（4）當(dāng)pi位于區(qū)段plpm，有dh（pl，pi）＜dh（pi，pr），按式（23）有νh（u）＞0.5或νh（u）＞ν（h＋1）（u）.

（5）當(dāng)pi位于區(qū)段pmpr，有dh（pl，pi）＞dh（pi，pr），按式（23）有νh（u）＜0.5或νh（u）＜ν（h＋1）（u）.

由此可見，式（23）滿足對立統(tǒng)一定理，用于計算確定待評對象u對級別h的綜合相對隸屬度.

若采用優(yōu)化準(zhǔn)則參數(shù)α＝1，距離參數(shù)p＝1（即海明距離），式（23）變?yōu)?/p>

式（24）是一個線性公式.如果考慮水資源系統(tǒng)綜合評價為非線性系統(tǒng)，可采用α＝1，p＝2（即歐氏距離），式（23）變?yōu)?/p>

這是一個非線性公式.

3 水資源陸海空協(xié)同系統(tǒng)可持續(xù)利用可變模糊集評價方法

3.1 確定待評地區(qū)u對可持續(xù)利用指標(biāo)i的相對隸屬度

首先建立待評地區(qū)u關(guān)于的評價指標(biāo)集，然后根據(jù)u對可持續(xù)利用指標(biāo)特征值向量（x1x2…xm），應(yīng)用第2章中相關(guān)的模型，確定指標(biāo)xi對級別h的相對隸屬度向量.

3.2 確定待評地區(qū)u對可持續(xù)利用的綜合相對隸屬度

若待評地區(qū)u對的多指標(biāo)綜合相對隸屬度以νh（u）表示.在水資源陸?？諈f(xié)同系統(tǒng)可持續(xù)利用評價研究中，為了避免距離比值的縮放效應(yīng)，宜取α＝1.如果水資源協(xié)同系統(tǒng)為線性系統(tǒng)可取距離參數(shù)p＝1，如為非線性系統(tǒng)，可取p＝2.

3.3 應(yīng)用質(zhì)量互變定理確定待評地區(qū)u對的綜合相對差異度

當(dāng)已確定待評地區(qū)u對的綜合相對隸屬度νh（u），則可求得u對的綜合相對差異度

如待評地區(qū)u可開發(fā)利用海水資源，擬定可開發(fā)利用的海水淡化量（含海水直接利用量），可得到在水資源陸海協(xié)同系統(tǒng)條件下，u對的指標(biāo)特征值向量（x1x2…xm…xm＋s），s為條件變化后或利用海水后新增指標(biāo)特征值數(shù)，即陸地水資源與海水資源協(xié)同系統(tǒng)的指標(biāo)總數(shù)，由原來的m增為m＋s.

如果待評地區(qū)u可開發(fā)利用云水資源，擬定可開發(fā)利用的空中云水資源可利用量.根據(jù)國內(nèi)外進(jìn)行的人工增雨作業(yè)多年試驗統(tǒng)計分析資料，增雨量一般可達(dá)到年雨量的15%[23].據(jù)此修改水資源陸地或陸海協(xié)同系統(tǒng)可持續(xù)利用的有關(guān)年降水量的指標(biāo)特征值.

根據(jù)條件變化后的水資源協(xié)同系統(tǒng)的指標(biāo)特征值，求解在水資源陸?？眨ɑ蜿懞?、或陸空）協(xié)同系統(tǒng)條件下，u對的綜合相對隸屬度νh（c（u））

與綜合相對差異度D（c（u））：

應(yīng)用質(zhì)量互變定理對協(xié)同前、后水資源可持續(xù)利用狀態(tài)作出分析.

如D（u）·D（c（u））＞0表明在水資源陸?？眨ɑ蜿懞?、或陸空）協(xié)同系統(tǒng)條件下，u關(guān)于屬于量變.如D（u）·D（c（u））＜0，則為質(zhì)變.

根據(jù)對D（u）與D（c（u））數(shù)值大小分析對比，可以得到水資源陸?？諈f(xié)同系統(tǒng)對待評地區(qū)u水資源可持續(xù)利用程度的有利發(fā)展態(tài)勢.

上述內(nèi)容構(gòu)成水資源陸?？障到y(tǒng)在協(xié)同條件下或在變化條件下水資源可持續(xù)利用的可變模糊集評價方法.

進(jìn)入21世紀(jì)我國社會經(jīng)濟(jì)進(jìn)一步快速發(fā)展，水資源供需矛盾更加突出，開發(fā)利用海水資源與云水資源，來增加我國水資源可利用總量，將是水資源系統(tǒng)可持續(xù)發(fā)展的必由之路.在我國水資源整體優(yōu)化配置決策中，不可忽視沿海地區(qū)，特別是沿海重要城市開發(fā)利用海水淡化（包括海水直接利用）資源，來置換其他地區(qū)尤其是內(nèi)陸地區(qū)水資源的戰(zhàn)略思路.否則，就全國而言，將在整體上失去水資源優(yōu)化配置的合理性.

4 對立統(tǒng)一與質(zhì)量互變定理識別可拓學(xué)（物元分析）的數(shù)學(xué)與邏輯錯誤

作者在文獻(xiàn)[7、11]中指出：可拓學(xué)存在數(shù)學(xué)與邏輯錯誤.本文應(yīng)用對立統(tǒng)一與質(zhì)量互變定理從唯物辯證法哲學(xué)層面來進(jìn)一步識別可拓學(xué)的數(shù)學(xué)與邏輯錯誤.

《可拓工程方法》關(guān)于可拓集合的定義表述為“可拓集合則用取自（－∞，∞）的實數(shù)來表示事物具有某種性質(zhì)的程度，正數(shù)表示具有該性質(zhì)的程度，負(fù)數(shù)表示不具有該性質(zhì)的程度，零則表示既有該性質(zhì)又不具有該性質(zhì)，如一只腳在門內(nèi)，一只腳在門外的人屬于‘門內(nèi)的人’的集合的程度為零”[21].

可拓學(xué)中根據(jù)關(guān)聯(lián)函數(shù)K（u）＝0定義，得到“一只腳在門內(nèi)，一只腳在門外的人屬于‘門內(nèi)的人’的集合的程度為零.”的結(jié)論，是可拓學(xué)數(shù)學(xué)與邏輯錯誤的典型.現(xiàn)論述如下：

設(shè)某人（u）以體質(zhì)量w為特征量，u從“門內(nèi)人”集合，即對門內(nèi)人的隸屬度μin（u）＝1、μout（u）＝0，或D（u）＝1，轉(zhuǎn)化為“門外人”集合過程中，當(dāng)u跨向門檻，w/2在門內(nèi)，另w/2在門外（近似地認(rèn)為，一只腳在門內(nèi)，一只腳在門外），此時u具有門內(nèi)人、門外人的隸屬度各為（w/2）/w＝0.5，或μin（C（u））＝μout（C（u））＝0.5，即處于動態(tài)平衡狀態(tài).根據(jù)對立統(tǒng)一定理，有D（C（u））＝μin（C（u））－μout（C（u））＝0，顯然此種狀態(tài)不是可拓集合定義所謂的“屬于‘門內(nèi)的人’的集合的程度為零”，根據(jù)對立統(tǒng)一與質(zhì)量互變定理式（8）應(yīng)是D（u）·D（C（u））＝0.顯見，可拓學(xué)的可拓集合關(guān)聯(lián)函數(shù)等于0或K（u）＝0有誤.“門內(nèi)人”、“門外人”屬于對稱概念，可拓集合認(rèn)為u屬于“門內(nèi)人”集合的程度為零，也就是認(rèn)為u屬于“門外人”集合的程度為零.因此，“一只腳在門內(nèi)，一只腳在門外的人”在可拓集合關(guān)聯(lián)函數(shù)K（u）＝0或可拓集合零界概念的定義下，出現(xiàn)了這個“客觀存在”的人“消失”了的邏輯矛盾，違背了形式邏輯中的不矛盾律.

可拓集合主觀上給定所謂的形式化模型：關(guān)聯(lián)函數(shù)K（u）＞0、K（u）＝0、K（u）＜0作為事物具有性質(zhì)P、既具有又不具有性質(zhì)P、不具有性質(zhì)P的判斷準(zhǔn)則，并由此給出可拓集合的數(shù)學(xué)定義，顯然，可拓學(xué)不是從事物u變化的內(nèi)因即內(nèi)部矛盾（u）與（u）出發(fā)去研究矛盾的相互轉(zhuǎn)化，割裂了事物矛盾運(yùn)動變化過程中對立統(tǒng)一及其相互轉(zhuǎn)化的內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)文中對立統(tǒng)一與質(zhì)量互變定理，可見可拓學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)可拓集合有違唯物辯證法對立統(tǒng)一與質(zhì)量互變規(guī)律.從而出現(xiàn)了“一只腳在門內(nèi)，一只腳在門外的人屬于‘門內(nèi)的人’的集合的程度為零”的常識性錯誤.作者在文獻(xiàn)[7、11]中曾指出可拓學(xué)的另一類數(shù)學(xué)錯誤，即關(guān)聯(lián)函數(shù)基本公式的錯誤，最近在文獻(xiàn)[24]中又作了進(jìn)一步證明，本文不再重述.

5 結(jié) 語

在唯物辯證法哲學(xué)論著中對立統(tǒng)一、質(zhì)量互變與否定的否定規(guī)律都是以文字語言的方式表達(dá)，本文在哲學(xué)規(guī)律數(shù)學(xué)化研究方面開始實現(xiàn)馬克思所說的那句“名言”，給出三大規(guī)律的嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定理.

數(shù)學(xué)作為一門研究物質(zhì)世界數(shù)量關(guān)系與空間形式的學(xué)科，是自然科學(xué)、工程科學(xué)中眾多學(xué)科的基礎(chǔ).但長期以形式邏輯為學(xué)科體系的支柱，對于社會科學(xué)、人文科學(xué)中涉及較多辯證邏輯思維的學(xué)科，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)卻常常顯得無能為力.因此數(shù)學(xué)思維辯證化研究顯得尤為重要，本文給出的唯物辯證法三大基本規(guī)律的數(shù)學(xué)定理，將辯證邏輯思維直接引入數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，為進(jìn)一步建立新的數(shù)學(xué)——可變集奠定基礎(chǔ).

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