基于滑模控制的機(jī)載作動器摩擦轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償研究

王永賓 林 輝

西北工業(yè)大學(xué),西安,710072

0 引言

當(dāng)今,液壓傳動系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于機(jī)載伺服作動領(lǐng)域中,然而,由于液壓傳動系統(tǒng)具有一些固有缺陷,使得液壓傳動系統(tǒng)在機(jī)載伺服作動領(lǐng)域的使用受到一定的限制。液壓傳動系統(tǒng)的固有缺陷主要表現(xiàn)在：①需要體積龐大的中央液壓系統(tǒng)和復(fù)雜的管路;②為了提供穩(wěn)定的中央液壓源,液壓泵必須連續(xù)工作,導(dǎo)致能量效率比低;③液壓源壓力有波動;④漏油;⑤噪聲。但是,液壓傳動系統(tǒng)同時具備體積小、功率大、慣性小的優(yōu)點(diǎn)。

針對上述情況,為了克服傳統(tǒng)液壓系統(tǒng)的缺點(diǎn),飛控系統(tǒng)開始向功率電傳(power by wire,PBW)方向發(fā)展。功率電傳是指由飛機(jī)次級能源系統(tǒng)至作動系統(tǒng)各執(zhí)行機(jī)構(gòu)之間的功率傳輸通過電能量傳輸?shù)姆绞酵瓿?。PBW液壓作動器不再需要中央液壓系統(tǒng)和復(fù)雜的管路,從而在可靠性、生存力、可維護(hù)性、效率、故障容錯能力、飛機(jī)整體性能上都有可觀的提高[1]。

電動靜液作動器(electro-hydrostatic actuator,EHA)作為功率電傳作動器代表之一目前受到廣泛關(guān)注。本文針對電動靜液作動器的非線性問題,建立了電動靜液伺服系統(tǒng)的非線性模型,通過設(shè)計(jì)非線性滑模控制器,使電動靜液位置伺服系統(tǒng)獲得了良好的靜/動態(tài)性能。

1 電動靜液伺服系統(tǒng)組成

EHA伺服系統(tǒng)不同于傳統(tǒng)的開路液壓傳動系統(tǒng),它是基于閉環(huán)路液壓傳動原理的,因此,EHA伺服系統(tǒng)中不需要油箱和液壓伺服閥。EHA伺服系統(tǒng)主要由無刷直流電機(jī)(brushless DC motor,BLDCM)、雙向液壓泵、對稱液壓缸、儲能器、溢流閥和壓力傳感器、位置傳感器等元件組成。其原理如圖1所示。

圖1 EHA系統(tǒng)結(jié)構(gòu)原理圖

無刷直流電機(jī)與雙向液壓泵直接連接,通過改變電機(jī)轉(zhuǎn)速和方向拖動液壓泵,在液壓泵進(jìn)油口和出油口分別產(chǎn)生不同壓力;液壓泵與對稱液壓缸通過剛性短管連接,因?yàn)橐簤焊鬃笥覂扇萸淮嬖趬毫Σ?會在活塞上產(chǎn)生對外部負(fù)載的作用力,使負(fù)載根據(jù)電機(jī)轉(zhuǎn)向和轉(zhuǎn)速運(yùn)動。儲能器的作用是作為緊急動力源以補(bǔ)充泄漏的液壓油,在使系統(tǒng)保持恒壓的同時,還可在系統(tǒng)管路內(nèi)產(chǎn)生急劇壓力變化時吸收液壓沖擊。溢流閥通過閥口的溢流限定最大工作壓力,防止系統(tǒng)過載。壓力和位置等傳感器為控制器實(shí)時提供系統(tǒng)工作狀態(tài)信號以實(shí)現(xiàn)控制功能[2]。

2 電動靜液伺服系統(tǒng)建模

本文運(yùn)用模塊法將系統(tǒng)分為液壓泵、對稱液壓缸、儲能器及子回路、摩擦環(huán)節(jié)和無刷直流電機(jī)五個模塊,并分別建立模型,然后將各模塊連接構(gòu)成完整的系統(tǒng)以作為仿真控制對象。

2.1 液壓泵模塊

該模塊用來計(jì)算液壓泵入口和出口的液壓油流量,模型中考慮了泄漏和油液壓縮性因素對流量損失造成的影響。液壓泵出口a處的流量與壓力的方程為

入口b處的流量與壓力方程為

式中,pa、pb分別為液壓泵出口和入口的壓力;Qa、Qb分別為液壓泵出口和入口的流量;D為液壓泵排量;ω為旋轉(zhuǎn)角速度;Lip、Lep分別為液壓泵內(nèi)漏系數(shù)和外漏系數(shù);pcase為儲能器出口壓力;Vo為液壓缸初始容積;A為液壓缸活塞的面積;x為液壓缸活塞位移量;β為液壓油彈性模量。

圖2 液壓泵模型

由式(1)、式(2)得到的模型如圖2所示。

2.2 對稱液壓缸模塊

為保證液壓缸和液壓泵之間的流量平衡,在EHA系統(tǒng)中采用對稱液壓缸。液壓缸入口1處的流量與壓力關(guān)系為

液壓缸出口2處的流量與壓力關(guān)系為

式中,p1、p2分別為液壓缸入口壓力和出口壓力;Q1、Q2分別為液壓缸入口流量和出口流量;Lia、Lea分別為液壓缸內(nèi)漏系數(shù)和外漏系數(shù)。

系統(tǒng)中,作動器水平連接一負(fù)載,負(fù)載和作動器輸出力的關(guān)系為

式中,M為負(fù)載及連接機(jī)構(gòu)折算到活塞桿上的總質(zhì)量;Ff(x?)為摩擦力矩;Fe為活塞負(fù)載干擾量分別為位移一階、二階導(dǎo)數(shù),代表速度和加速度。

由式(3)、式(4)得到的模型如圖3所示。根據(jù)式(5)可得活塞模型如圖4所示。

圖3 對稱液壓缸模型

圖4 活塞模型

2.3 儲能器及子回路模塊

儲能器的主要作用是防止氣穴及吸收沖擊壓力,補(bǔ)充泄漏的液壓油,維持最低緊急壓力。其回路由儲能器和單向閥構(gòu)成。儲能器的工作原理[3]可表示為

儲能器凈流入量為

式中,pinit為儲能器初始壓力;pcheck為單向閥開通壓力閾值;Qo1、Qo2分別為液壓泵a口和b口回路補(bǔ)油量;Bcheck為單向閥增益系數(shù);Qcase為儲能器凈流入量;Qin為流入儲能器總流量。

假設(shè)液壓油等溫壓縮、等溫膨脹,則儲能器的壓力與流量的關(guān)系為

式中,Vinit為儲能器氣囊初始體積。

由式(6)～式(8)得到的模型如圖5所示。

圖5 儲能器模型

綜合液壓泵、對稱液壓缸和儲能器的模型,三者間的流量方程為

本文忽略了上述三者剛性連接管路所產(chǎn)生的管壓降,故可得到

2.4 摩擦環(huán)節(jié)模塊

在位置伺服系統(tǒng)中,摩擦不但造成系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差,而且在低速時產(chǎn)生爬行現(xiàn)象、零速時產(chǎn)生死區(qū)、靜摩擦大于庫侖摩擦?xí)r產(chǎn)生極限振蕩,因此,對摩擦環(huán)節(jié)進(jìn)行補(bǔ)充控制是非常必要的,而準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型對補(bǔ)償效果的重要性是不言而喻的。摩擦力(力矩)為速度的非線性函數(shù),在摩擦接觸面由相對靜止到相對運(yùn)動經(jīng)歷了4個階段：接觸面彈性形變階段、邊界潤滑階段、部分液體潤滑階段及完全液體潤滑階段。Stribeck曲線模型[4-7]能夠較準(zhǔn)確地反映各階段摩擦力(力矩)T f(α)與速度(角速度)α的非線性關(guān)系,因此,該模型使用較廣泛,具體方程為

式中,Tc為庫侖摩擦力;Ts為最大靜摩擦力;αs為速度(角速度)參考量;Kvis為黏性比例系數(shù)。

由式(12)得到的模型如圖6所示。

圖6 摩擦環(huán)節(jié)模型

2.5 無刷直流電機(jī)模塊

無刷直流電機(jī)關(guān)系方程可表示為

式中,Ua為電樞端電壓;i為電樞電流;R為電樞電阻;H為電樞電感;E為電樞反電勢;Ke為電勢系數(shù);Te為電磁轉(zhuǎn)矩;Kt為轉(zhuǎn)矩系數(shù);J為折算到電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動慣量;Tl為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

由式(13)得到的模型如圖7所示。

圖7 BLDCM模型

3 滑?？刂?/h2>

3.1 PID控制原理框圖

在建立了EHA各部分模塊后,利用MATLAB/Simulink的封裝功能,將各子模塊進(jìn)行封裝;然后根據(jù)各變量間的關(guān)系構(gòu)成一完整的EHA位置伺服系統(tǒng)如圖8所示,模型中各個參量值如表1所示。在本文中,首先采用典型PID控制器,參考信號分別為階躍和正弦的位置信號。

圖8 EHA的PID控制系統(tǒng)

表1 模型參數(shù)表

對階躍位置信號系統(tǒng)響應(yīng)比較快,如圖9、圖10所示。從圖10可以看出,波形出現(xiàn)了振蕩。由于靜摩擦(Ts)大于庫侖摩擦(Tc)(表1),PID積分項(xiàng)無法消除靜差,在伺服系統(tǒng)運(yùn)動過程中,摩擦的變化是非線性的且有負(fù)斜率特性,使系統(tǒng)出現(xiàn)了極限振蕩現(xiàn)象。

圖9 PID控制階躍信號響應(yīng)

圖10 PID控制階躍信號響應(yīng)放大

正弦位置信號響應(yīng)如圖11～圖13所示,從圖13可以看出,當(dāng)輸入的位置信號達(dá)到最大值、即速度為零時,響應(yīng)曲線發(fā)生畸變,出現(xiàn)平頂,同時相位也有滯后。從圖12中也可以看出,當(dāng)速度變得很小而進(jìn)入死區(qū)時,誤差顯著增大出現(xiàn)跳變。從以上分析可以得出：典型PID控制器無法滿足系統(tǒng)性能要求。

圖11 PID控制正弦信號響應(yīng)

圖12 PID控制正弦信號響應(yīng)誤差

3.2 滑?？刂品治?/h3>

圖13 PID控制正弦信號響應(yīng)放大

滑?？刂?sliding mode control,SMC)本質(zhì)上是一種非線性控制,其非線性表現(xiàn)為控制的不連續(xù)性。在系統(tǒng)動態(tài)過程中,SMC可以根據(jù)當(dāng)前的狀態(tài),依據(jù)系統(tǒng)要求的性能約束條件改變控制結(jié)構(gòu),使系統(tǒng)按照預(yù)定的滑模狀態(tài)軌跡做小幅度、高頻率的上下運(yùn)動。由于滑模切換函數(shù)可以進(jìn)行設(shè)計(jì)且與對象參數(shù)及擾動無關(guān),這種理想的魯棒性對工程應(yīng)用很有吸引力。

在設(shè)計(jì)滑模控制器之前,首先應(yīng)推導(dǎo)EHA伺服系統(tǒng)的狀態(tài)方程。為了簡化液壓泵和作動器模型,本文作如下假設(shè)：在正常工作狀態(tài),儲能器及其子回路流量為0,由此可得到：Qa=Q1,Qb=Q2。從液壓泵流入/流出量等于從對稱液壓缸的流入/流出量可以得到負(fù)載流量Q L的表達(dá)式為

將式(1)～式(4)代入式(14)并考慮式(11),得

將式(12)代入式(5),得

將式(16)兩邊對時間t求導(dǎo)得

將式(16)、式(17)代入式(15)得

根據(jù)式(13)、式(18),選擇狀態(tài)變量X=(i,ω,x,=(x1,x2,x3,x4,x5)T,可得到狀態(tài)方程

輸入量為u=U a,輸出量為y=x3。

3.3 滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

本文應(yīng)用趨近律方法設(shè)計(jì)滑模控制器,可以保證狀態(tài)可達(dá)性,還可以控制趨近運(yùn)動的具體軌跡,改善趨近運(yùn)動的動態(tài)性能。

設(shè)系統(tǒng)跟蹤給定的參考位置信號為r,則系統(tǒng)誤差、系統(tǒng)誤差變化率及誤差加速度分別為別為參考輸入的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。設(shè)計(jì)切換函數(shù)并采用等速趨近律的控制方式[8],可得：

c1、c2的值可使滑模運(yùn)動具有漸進(jìn)穩(wěn)定性或良好的動態(tài)品質(zhì),一般有兩種方法選定：極點(diǎn)配置法和二次型指標(biāo)最優(yōu)化法。由上可得

其中,常數(shù)ε表示系統(tǒng)的運(yùn)動點(diǎn)趨近切換面s=0的速率,ε越小,趨近速度越慢;ε越大,則運(yùn)動點(diǎn)趨近切換面的速度會較大,但因此引起的抖振也較大。將狀態(tài)方程代人式(21)可得控制律u的表達(dá)式如下：

選取李亞普諾夫函數(shù)為二次型函數(shù)[9]：

其中,切換函數(shù)s(x)滿足：可微、過原點(diǎn),即s(0)=0。由式(23)可知 V(t)為正定,且V(0)=0。進(jìn)而,通過計(jì)算得：由式(24)可看出李亞普諾夫第二法,控制系統(tǒng)在李亞普諾夫意義下是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

3.4 滑?？刂品抡?/h3>

根據(jù)式(22)設(shè)計(jì)的滑?？刂坡?結(jié)合圖8所給出的模型,并給定參數(shù)c1=30、c2=30、ε=10進(jìn)行仿真。為便于比較,參考信號仍為幅值等于0.1m的階躍和正弦位置信號。從圖14、圖15可以看到：系統(tǒng)響應(yīng)速度比較快,曲線振蕩被抑制,跟蹤精度很高;從圖16～圖18可以看到：響應(yīng)曲線在速度過零時沒有出現(xiàn)死區(qū),相位滯后得到了改善。比較圖12和圖17的誤差曲線可以看到,在速度過零時無論是誤差變化幅值還是誤差變化率都顯著地減小了。

圖14 SMC控制階躍信號響應(yīng)

圖15 SMC控制階躍信號響應(yīng)放大

圖16 SMC控制正弦信號響應(yīng)

圖17 SMC控制正弦信號響應(yīng)誤差

圖18 SMC控制正弦信號響應(yīng)放大

以上仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在位置伺服系統(tǒng)中,滑模控制較PID控制具有更好的軌跡跟蹤特性;在面對非線性摩擦、極限振蕩等非線性對象時,滑模控制表現(xiàn)出更優(yōu)秀的靜/動態(tài)性能。

4 結(jié)束語

本文以非線性EHA模型為控制對象,分別設(shè)計(jì)了典型的PID控制器和滑模控制器。通過仿真實(shí)驗(yàn),對兩種控制效果進(jìn)行了對比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,滑模控制對因非線性摩擦引起的死區(qū)現(xiàn)象具有較好的補(bǔ)償效果,對極限振蕩現(xiàn)象具有較好的抑制作用,較PID控制具有更好的靜態(tài)性能和動態(tài)性能;同時,仿真結(jié)果驗(yàn)證了Stribeck曲線摩擦模型及參數(shù)的合理性。

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