獨(dú)立分量分析在圖像去噪中的應(yīng)用

(東北石油大學(xué)學(xué)生工作處，黑龍江 大慶 163318)

林義剛

(東北石油大學(xué)油氣信息與控制工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318)

李 娜

(南京師范大學(xué)電氣自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210046)

李 宏

(東北石油大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318)

圖像是人類(lèi)了解世界的一個(gè)重要信息來(lái)源，因此對(duì)圖像進(jìn)行一系列的編碼、壓縮、傳輸?shù)炔僮髟趫D像處理中非常重要。在圖像處理過(guò)程中，噪聲的產(chǎn)生是不可避免的，不同程度噪聲干擾存在于任何未經(jīng)處理的原始圖像中。噪聲使圖像模糊甚至淹沒(méi)特征[1]，因而圖像去噪成為圖像處理中的重要一環(huán)。在圖像處理過(guò)程中，圖像去噪的方法很多，通常分為空域去噪法和頻域去噪法。均值濾波、灰度變換、直方圖均衡等方法是比較典型的空域去噪法，而小波域值去噪法和從集合角度來(lái)分析圖像的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)去噪法則在頻域去噪法中廣泛應(yīng)用。通常，圖像去噪時(shí)都是通過(guò)選用不同的參數(shù)處理相應(yīng)情況，而圖像的統(tǒng)計(jì)信息往往很少被利用。獨(dú)立分量分析法針對(duì)高階統(tǒng)計(jì)量對(duì)高斯噪聲不敏感的特點(diǎn)，對(duì)圖像數(shù)據(jù)的高階統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行計(jì)算，屬于一種改進(jìn)的圖像去噪方法[2]。為此，筆者基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)、稀疏編碼與獨(dú)立分量分析方法對(duì)圖像去噪問(wèn)題進(jìn)行討論。

1 獨(dú)立分量分析

1.1 盲源信號(hào)分離與獨(dú)立分量分析

圖1 BSS分解簡(jiǎn)圖

獨(dú)立分量分析[2](Independent Component Analysis，ICA)屬于一種多通道數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)，其含義是將信號(hào)分解為若干個(gè)相互獨(dú)立的成份，若信號(hào)本來(lái)就由若干獨(dú)立信源混合而成，則只靠單一通道觀察不可能恰好把這些信源分解開(kāi)，因此，需要借助于一組多通道把這些信源按不同混合比例組合起來(lái)同步觀察。但把一組觀測(cè)信號(hào)分解成若干獨(dú)立成分的結(jié)果具有不唯一性，因此，在分解過(guò)程中需要施加若干約束條件。獨(dú)立分量分析是伴隨著盲源信號(hào)分離(Blind Source Separation，BSS)的發(fā)展而共同發(fā)展起來(lái)的。BSS的任務(wù)是只通過(guò)多通道系統(tǒng)的輸出X,進(jìn)而判斷其輸入的S以及系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H，如圖1所示。顯然其任務(wù)的解答是不唯一的，所以一般至少需假設(shè)S中各分量具有相互獨(dú)立性、零均值且方差為1的特點(diǎn)。

1.2 ICA最簡(jiǎn)形式

假設(shè)n個(gè)觀測(cè)信號(hào)xi∈{x1,x2,…,xn}是si∈{s1,s2,…,sn}的線(xiàn)性組合(其中si是未知且統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的源信號(hào))：

xi=ai1s1+ai2s2+…+ainsni=1,2,…,n

(1)

式中，aij表示第i個(gè)觀測(cè)信號(hào)中第j個(gè)源信號(hào)的權(quán)重，通?？杉僭O(shè)觀測(cè)信號(hào)xi和源信號(hào)si都具有零均值。

以向量形式改寫(xiě)式(1)：

X=AS

(2)

式中，X={xi};A={aij}為一混合矩陣;S={si}；i=1,2,…,n；j=1,2,…,n。式(2)給出了ICA的混合模型。由于在ICA中混合矩陣A和獨(dú)立分量S假設(shè)為未知，僅觀測(cè)信號(hào)X為已知，因此，如何通過(guò)觀測(cè)信號(hào)估計(jì)出A和S的過(guò)程是一個(gè)盲源信號(hào)分離問(wèn)題。假設(shè)A可逆，則存在一個(gè)分離矩陣B=A-1，使得S=BX，從而使源信號(hào)得到恢復(fù)。但是，由于A未知，所以B=A-1需要通過(guò)估計(jì)獲得，然后利用任意分離矩陣得到分離信號(hào)：

Z=BX

(3)

式(3)表明，獨(dú)立分量分析可以通過(guò)優(yōu)化分離矩陣B，從而使分離得到的信號(hào)Z在一定意義上等價(jià)于實(shí)際源信號(hào)S。

1.3 ICA固有的2個(gè)不確定性問(wèn)題及源信號(hào)非高斯性度量

BSS存在幅度不確定性和順序不確定性[3]，ICA作為BSS的一種，也必然存在上述不確定性問(wèn)題，下式表述了其基本原理：

(4)

式中，X(t)為觀測(cè)信號(hào)；ai和si(t)分別為混合矩陣A和源信號(hào)S(t)的第i分量；bi為任意非零常數(shù)。從式(4)可知，所得到的觀測(cè)信號(hào)不會(huì)因?yàn)橥瑫r(shí)交換不同的源信號(hào)分量及其所對(duì)應(yīng)的混合矩陣列的位置而改變；互換一個(gè)源信號(hào)分量與其對(duì)應(yīng)的混合矩陣的列的一個(gè)固定非零系數(shù)因子，也不會(huì)改變觀測(cè)信號(hào)。所以，在盲源信號(hào)分離過(guò)程中，幅度和順序的不確定性問(wèn)題是必然存在的。

負(fù)熵是信號(hào)非高斯性的一個(gè)定量度量，高斯信號(hào)的負(fù)熵為零[4]。對(duì)于任意隨機(jī)變量x，負(fù)熵的定義為：

(5)

其中，pG(x)表示與p(x)有相同方差的高斯分布;HG(x)和H(x)是對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量的信息熵。當(dāng)隨機(jī)變量x為高斯分布時(shí)負(fù)熵為零，其他任意時(shí)刻負(fù)熵的值皆為非負(fù)。并且，在相同方差的前提下，一個(gè)隨機(jī)變量的高斯性越強(qiáng)，其負(fù)熵的值就越小。

2 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一套完整的理論體系，其不以傳統(tǒng)的數(shù)值建模及分析為出發(fā)點(diǎn)，而是從集合的角度來(lái)處置圖像。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)與幾何之間存在著直接關(guān)系，而顯式的幾何描述非常適于對(duì)形狀的表述和分析。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本算子包括腐蝕、膨脹、開(kāi)、閉等，具體表述如下。

2.1 腐蝕運(yùn)算

腐蝕是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)最基本的運(yùn)算。E(M,N)意為集合M被集合N腐蝕，定義為：

E(M,N)={x:N+x?M}

(6)

式中，M表示輸入圖像;N表示結(jié)構(gòu)元素。

2.2 膨脹運(yùn)算

與腐蝕運(yùn)算相對(duì)應(yīng)的是膨脹運(yùn)算，記為D(M,N)，定義為：

D(M,N)={x:(-N+x)∩M≠?}

(7)

2.3 形態(tài)開(kāi)運(yùn)算

圖像M對(duì)N的開(kāi)運(yùn)算定義為：

O(M,N)=D(E(M,N),N)

(8)

2.4 形態(tài)閉運(yùn)算

閉運(yùn)算是開(kāi)運(yùn)算的對(duì)偶運(yùn)算，圖像M對(duì)結(jié)構(gòu)元素N的閉運(yùn)算記為C(M,N)，定義為：

(9)

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)濾波算法屬于非線(xiàn)性濾波方法，其在圖像噪聲抑制、邊緣提取及目標(biāo)檢測(cè)等方面具有廣泛的應(yīng)用。

3 算法實(shí)現(xiàn)

在現(xiàn)實(shí)世界中，噪聲普遍存在于觀測(cè)量中，其來(lái)源可能為實(shí)際傳感器的物理噪聲，也可能對(duì)應(yīng)于模型的不精確性等，這些噪聲的存在導(dǎo)致混合矩陣的估計(jì)難度很大。因此，需要在運(yùn)用獨(dú)立分量分析算法之前，對(duì)數(shù)據(jù)通過(guò)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)進(jìn)行降噪預(yù)處理。同時(shí)，在應(yīng)用獨(dú)立分量分析進(jìn)行噪聲去除過(guò)程中，存在如何估計(jì)獨(dú)立成分的無(wú)噪聲實(shí)現(xiàn)這樣一個(gè)問(wèn)題，其中，加性噪聲是因子分析和信號(hào)處理中常用的標(biāo)準(zhǔn)形式，具有簡(jiǎn)單的噪聲模型表達(dá)式，噪聲ICA模型可表示為：

X=AS+n

(10)

其中，n=[n1,…,nn]T是噪聲向量。

從獨(dú)立分量分析算法的角度看，噪音和圖像數(shù)據(jù)之間一般是相互獨(dú)立的，獨(dú)立分量分析方法能夠利用圖像的高階統(tǒng)計(jì)信息，獲取與噪聲數(shù)據(jù)相互獨(dú)立的圖像數(shù)據(jù)分量，從而將獨(dú)立的噪聲數(shù)據(jù)去除，并能很好地保持原有圖像數(shù)據(jù)的完整性。Hyvarien等[5]認(rèn)為多信號(hào)的獨(dú)立分量是稀疏的，可以在ICA域中去除噪聲，而且稀疏編碼收縮方法對(duì)于非高斯信號(hào)被高斯信號(hào)污染的去噪處理非常有效。因此，基于噪聲模型的不可逆性，需要引入新的方法來(lái)估計(jì)無(wú)噪聲成分。為了得到良好的去噪效果，利用獨(dú)立分量分析結(jié)合稀疏編碼收縮法進(jìn)行圖像去噪，其算法流程如下。

1)記錄隨機(jī)生成的滑動(dòng)窗口截取子圖像塊的位置 去噪結(jié)束后，要對(duì)去噪后圖像進(jìn)行恢復(fù)，此時(shí)，首先需要找出每個(gè)子圖像所對(duì)應(yīng)的實(shí)際位置。由于其截取的隨機(jī)性，每個(gè)像素在每個(gè)子圖像中都可能出現(xiàn)，因此，恢復(fù)時(shí)要對(duì)每個(gè)像素的多個(gè)恢復(fù)值取平均，用其作為該位置上的像素灰度值。

2)訓(xùn)練圖像的獲取 應(yīng)用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法對(duì)噪聲圖像進(jìn)行初步去噪，以初步處理后獲得的圖像作為訓(xùn)練圖像，并從中隨機(jī)提取一系列8×8的訓(xùn)練子圖像塊，然后針對(duì)每個(gè)子圖像塊進(jìn)行去均值和白化，并將子圖像塊按像素位置首尾相連構(gòu)成一個(gè)1×64的列向量，以此作為無(wú)噪數(shù)據(jù)Z的一個(gè)列向量，實(shí)驗(yàn)中選取寵物狗圖像的若干個(gè)這樣的向量，形成一系列的訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)集，作為輸入樣本。

3)估計(jì)稀疏變換矩陣W利用ICA算法處理訓(xùn)練數(shù)據(jù)Z，獲得64×64維的圖像塊分離矩陣Wk，其也是訓(xùn)練圖像塊的64個(gè)基向量，Wk的每列為1×64的向量，對(duì)應(yīng)一個(gè)8×8的基圖像塊，對(duì)分離矩陣Wk進(jìn)行正交變換:

其中,W為所求稀疏變換矩陣。

(11)

其中,σ2為噪音的方差，可由對(duì)應(yīng)每個(gè)集si的yi的平均絕對(duì)偏差乘以0.6475來(lái)估計(jì)；參數(shù)i和j可以通過(guò)下式估計(jì)：

(12)

(13)

其中,ps(0)是s為0時(shí)的密度函數(shù)的值;E{·}為均值運(yùn)算。

通過(guò)下式計(jì)算含噪圖像數(shù)據(jù)在變換基W下的投影y(t)：

y(t)=Wx(t)

(14)

其中,x(t)為含噪圖像數(shù)據(jù)；t=1,2,…,T。

4 仿真結(jié)果

選擇某寵物狗圖像，通過(guò)上述算法進(jìn)行去噪，結(jié)果如圖2所示。

圖2 寵物狗圖像去噪仿真圖

從圖2可以看出，通過(guò)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法預(yù)處理后，在對(duì)目標(biāo)細(xì)節(jié)保護(hù)方面處理較好。ICA算法的去噪處理在平滑信號(hào)中銳變尖峰成份的同時(shí)盡可能地保留了一些突變點(diǎn)可能攜帶的重要信息，使其大體的輪廓信息得以保存。同時(shí)，去噪后寵物狗圖像的高頻成分得到了很大的保留，沒(méi)有在去噪過(guò)程中隨著噪聲信號(hào)一起被去除。因此，該改進(jìn)算法在消除噪聲的效果方面能夠較好地保持圖像的基本信息和圖像原有的視覺(jué)特性，能夠最大程度地滿(mǎn)足人類(lèi)視覺(jué)要求。

5 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)對(duì)圖像數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)信息的計(jì)算，應(yīng)用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法對(duì)圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理，然后通過(guò)ICA算法將處理后的圖像數(shù)據(jù)投影到ICA域中，再利用稀疏編碼收縮法對(duì)含噪圖像進(jìn)行去噪，最后，將去噪后的圖像投影回圖像空間，進(jìn)而獲得去噪后的圖像，實(shí)現(xiàn)基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)、稀疏編碼與獨(dú)立分量分析的圖像去噪。仿真結(jié)果表明，該改進(jìn)方法在有效去除噪聲的同時(shí)能有效保持圖像的細(xì)節(jié)特征，有很好的實(shí)用性。

[1]斯華齡,張立明.智能視覺(jué)圖像處理-多通道圖像的無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)方法及其它方法[M].上海:上?？萍冀逃霭嫔?2002.

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[5] Hyvarinen A,Hoyer P,Oja E.Sparse code shrinkage fordenoising[A].In Proc.IEEE Int.Joint Conf.on Neural Networks,Anchorage[C].Alaska,1998.859～864.