高斯模糊圖像的復(fù)原處理與研究

(長江大學(xué)電子信息學(xué)院，湖北 荊州 434023)

張春海

(遼河油田裕隆實業(yè)集團檢波器廠，遼寧 盤錦 124010)

在圖像的形成、傳輸、存貯、記錄和顯示過程中，光學(xué)系統(tǒng)的像差、成像系統(tǒng)的非線性、大氣擾動、運動、散焦和系統(tǒng)噪聲等因素都會造成圖像模糊和變形[1]。因此，要得到高質(zhì)量的數(shù)字圖像，需要對圖像進(jìn)行復(fù)原，使其與原圖像盡可能逼近。但大多數(shù)情況下退化過程是不可知的，在圖像模糊的同時，噪聲和干擾也會同時存在，這為復(fù)原過程帶來了困難。經(jīng)典圖像復(fù)原在圖像處理中占有重要的地位，其復(fù)原的前提條件是需要知道點擴展函數(shù)和噪聲分布，其中一些算法被廣泛使用[2]，但如何對其進(jìn)行改進(jìn)，使之適合不同的復(fù)原情況，是一個值得研究的課題。筆者在對經(jīng)典圖像復(fù)原算法分析的基礎(chǔ)上，針對高斯模糊圖像，對3種經(jīng)典圖像復(fù)原算法進(jìn)行了仿真實驗，為不同應(yīng)用場合及不同圖像數(shù)據(jù)條件下選擇相應(yīng)的復(fù)原算法以及系統(tǒng)參數(shù)提供了一定的依據(jù)。

1 圖像退化模型

在獲取數(shù)字圖像過程中經(jīng)常發(fā)生圖像質(zhì)量下降或者退化，由于導(dǎo)致圖像退化的原因很多，所以通常用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型對圖像的退化過程進(jìn)行描述。如果一幅原始圖像f(x，y)在1個退化函數(shù)和1個加性噪聲項的作用下生成觀測圖像g(x，y)，退化函數(shù)可以認(rèn)為是線性、位置不變的，且噪聲也與位置和當(dāng)前像素值無關(guān)，則退化過程可以被模型化為[3,4]：

g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y)

(1)

式中，h(x，y)表示退化函數(shù)的空間描述，也稱為點擴散函數(shù)(Point Spread Function，PSF)；*表示空間卷積，n(x，y)為加性噪聲。可以用向量矩陣的形式將式(1)的退化模型表示為[4]：

g=Hf+n

(2)

式中，g是觀測圖像；f是原始圖像；n是噪聲，假設(shè)g(x，y)的大小是N×N，則可以用g(x，y)的第1行的圖像元素形成向量g的前N個元素,用第2行的圖像元素形成向量g的下N個元素，依次類推,最終的向量維數(shù)為N2×1。因為這些向量是用同樣的方法構(gòu)建的,所以g、f和n尺寸相同，都是N2×1的列向量，因而H是N2×N2的PSF參數(shù)矩陣。從模型中估計f的問題稱為線性反轉(zhuǎn)問題，其是經(jīng)典圖像復(fù)原研究的基礎(chǔ)[2]。

2 逆濾波復(fù)原技術(shù)

(3)

(4)

(5)

根據(jù)循環(huán)矩陣對角化的討論，式(5)可以寫成如下形式的估計：

(6)

(7)

由式(7)可知，如果H(u,v)在uv平面上取零或很小，會帶來計算上的困難。另一方面，噪聲還會帶來更嚴(yán)重的問題，若加入噪聲則得到：

(8)

由式(8)可以看出，如果H(u,v)在uv平面上取零或很小，N(u,v)/H(u,v)就會使恢復(fù)結(jié)果與預(yù)期結(jié)果有很大差距。實際上H(u,v)隨u,v與原點距離的增加而迅速減小，而噪聲N(u,v)一般變化卻緩慢。在此情況下，恢復(fù)只能在與原點較近(接近頻域中心)的范圍內(nèi)進(jìn)行，所以一般情況下逆濾波器并不正好是1/H(u,v)，而是u和v的某個函數(shù)，可記為M(u,v),常被稱為恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)。一種改進(jìn)方法是取M(u,v)為：

(9)

其中，t和d均為小于1的常數(shù)，而且d選得較小為好。

3 維納濾波復(fù)原技術(shù)

(10)

(11)

與解式(4)相同，可得有約束恢復(fù)公式(令s=1/a):

(12)

(13)

式中，H(u,v)表示圖像的退化函數(shù)；Sn(u,v)/Sf(u,v)稱為噪信功率比；|H(u,v)|2=H*(u,v)H(u,v)，H*(u,v)表示H(u,v)的復(fù)共軛；Sn(u,v)=|N(u,v)|2表示噪聲的功率譜；Sf(u,v)=|F(u,v)|2表示未退化圖像的功率譜。

(14)

由此可以看到，當(dāng)K為0時，維納濾波器就轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的逆濾波器，而逆濾波器是從退化模型嚴(yán)格反推出來的，所以當(dāng)K不等于0時，雖然能抑制噪聲的擴大，但復(fù)原的模型沒有去卷積濾波器精確，容易造成復(fù)原的失真。K越大，抑制噪聲效果越好，但復(fù)原不準(zhǔn)確，圖像會比較模糊；K越小，復(fù)原越準(zhǔn)確，然而噪聲抑制效果不好。

4 有約束的最小二乘方濾波復(fù)原技術(shù)

約束最小二乘方濾波式從式(12)出發(fā)來確定變換矩陣Q。為了減小振蕩，可以建立基于平滑測度的最優(yōu)準(zhǔn)則[4]，例如，可使某些二階微分的函數(shù)最小化，f(x,y)在(x,y)處的二階微分可用下式近似：

(15)

上述二階微分可以用f(x,y)與下列算子卷積得到：

基于這種二階微分的最優(yōu)準(zhǔn)則是：

該函數(shù)的約束條件為：

(16)

其最優(yōu)化問題的頻域解決辦法由下式給出：

(17)

其中，s是一個必須加以調(diào)整的參量，以便約束條件得到滿足;P(u,v)是函數(shù)p(x,y)的傅立葉變換。

5 試驗結(jié)果及分析

圖1 噪聲方差為2時3種算法的復(fù)原結(jié)果

根據(jù)上述復(fù)原算法原理，筆者利用matlab編程實現(xiàn)了3種圖像的復(fù)原算法。圖1是對高斯模糊并有加性噪聲方差為2的退化圖像利用3種算法復(fù)原的結(jié)果。圖1(a)是分辨率為328×180的8位BMP原始灰度圖；圖1(b)是計算機模擬出的高斯模糊并有加性噪聲影響的退化圖像，模糊函數(shù)是均值為0、均方差為6、濾波尺寸為7的高斯函數(shù)，添加的高斯噪聲均值為0，方差為2；圖1(c)是逆濾波復(fù)原圖像，式(9)中t取0.9，d取0.07；圖1(d)是維納濾波復(fù)原圖像，式(14)中K取0.005；圖1(e)是有約束的最小二乘濾波復(fù)原圖像，式(17)中s取10-3?？梢钥闯?，逆濾波和有約束的最小二乘方技術(shù)抑制噪聲的能力雖然不如維納濾波，但由于噪聲方差較小，因而3種方法復(fù)原的結(jié)果區(qū)別不大，細(xì)節(jié)保持能力均較好。

圖2 噪聲方差為20時3種算法的復(fù)原結(jié)果

圖2是對高斯模糊并有加性噪聲方差為20的退化圖像利用3種算法復(fù)原的結(jié)果。圖2(a)是在圖1(b)的基礎(chǔ)上將高斯噪聲方差增加到20的退化圖像；圖2(b)是逆濾波復(fù)原的圖像，式(9)中t取0.07，d取0.13；圖2(c)是維納濾波復(fù)原圖像，式(14)中K取0.021；圖2(d)是有約束的最小二乘濾波復(fù)原圖像，式(17)中s取10-2.1?？梢钥闯觯诩哟笤肼暦讲畹那闆r下，逆濾波和有約束的最小二乘方復(fù)原圖像受噪聲的影響較明顯，圖像中噪聲顆粒偏大，維納濾波復(fù)原技術(shù)抑制噪聲能力要好于其他2種方法，但其模糊程度較大，而有約束的最小二乘方復(fù)原技術(shù)的細(xì)節(jié)保持能力最強。

圖像復(fù)原質(zhì)量既可以從主觀上評價，也可以從客觀上定量描述，常用的圖像復(fù)原客觀評價標(biāo)準(zhǔn)是均方誤差MSE[6](Mean Square Error)。假設(shè)f(x,y)的尺寸為M×N，MSE可用下式計算：

(18)

表1 3種方法對不同噪聲的退化圖像復(fù)原結(jié)果的MSE

表1列出了3種復(fù)原算法對不同退化圖像復(fù)原結(jié)果的MSE，各個參數(shù)的取值為文中所述的數(shù)值。圖像的MSE越小，說明復(fù)原之后的圖像與原始圖像越接近，復(fù)原效果越好。從表中數(shù)據(jù)可以看出，在噪聲方差較小時，3種方法的MSE均較小且相差不大，當(dāng)噪聲方差為20時，3種方法的MSE也隨著變大，有約束的最小二乘方復(fù)原的均方誤差最小，因而其復(fù)原效果最好。

6 結(jié) 語

通過對上述3種算法的研究并對計算機模擬出的高斯模糊并有不同加性噪聲影響的2幅退化圖像進(jìn)行復(fù)原處理，在尋找較好視覺效果上取得了豐富的經(jīng)驗數(shù)據(jù)。從復(fù)原圖像質(zhì)量以及客觀評價標(biāo)準(zhǔn)來看，在噪聲方差較小時，3種方法的復(fù)原效果均較好；在加大噪聲方差時，維納濾波復(fù)原技術(shù)抑制噪聲的能力最好，有約束的最小二乘方復(fù)原技術(shù)的細(xì)節(jié)保持能力最強。所以在高噪聲環(huán)境下，可以選擇有約束的最小二乘方復(fù)原技術(shù)來達(dá)到更好的視覺效果。當(dāng)然，在實際應(yīng)用中，要根據(jù)經(jīng)驗來選擇最佳參數(shù)進(jìn)行圖像復(fù)原。對于今后圖像復(fù)原算法的研究，應(yīng)以提高復(fù)原算法的有效性和效率為主要研究方向，不斷提高復(fù)原圖像的質(zhì)量和速度，并降低算法的復(fù)雜度。

[1]明文華.運動模糊圖像復(fù)原算法研究[D].合肥：安徽大學(xué)，2004.

[2] 楊彥.圖像復(fù)原算法研究[D].成都：四川大學(xué)，2004.

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[6]蔣偉，胡學(xué)剛.一種基于偏微分方程的圖像復(fù)原新模型[J].計算機工程與應(yīng)用，2008，44(14)：187～189.