一維費(fèi)米Hubbard模型的相變研究

胡繼宏， 高先龍

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

Hubbard模型是固體物理中描述金屬絕緣體相變的一個(gè)簡(jiǎn)化模型[1].在Hubbard模型中僅僅考慮近鄰格點(diǎn)之間的跳躍和同格點(diǎn)上的相互作用.對(duì)處于低溫周期性勢(shì)場(chǎng)中的粒子，Hubbard模型是個(gè)很好的簡(jiǎn)化模型，因?yàn)樵谶@種條件下，所有的粒子都占據(jù)在最低能帶，次近鄰格點(diǎn)之間的跳躍和不同格點(diǎn)間的相互作用可以略去.因此，建立在緊束縛近似基礎(chǔ)上的Hubbard模型在固體物理中有著廣泛的應(yīng)用.例如，Hubbard 模型正確預(yù)測(cè)了強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系中的Mott絕緣相；解釋了凝聚態(tài)物理中電子的巡游性質(zhì)和高溫超導(dǎo)的部分特性等.此外，現(xiàn)在的原子冷卻技術(shù)可以將原子束縛在光晶格中，形成真正嚴(yán)格的Hubbard模型而非凝聚態(tài)體系中的近似模型，這就為理解Hubbard模型提供了實(shí)驗(yàn)體系，為驗(yàn)證束縛在光晶格中的費(fèi)米Hubbard模型并理解其豐富的相圖[2]提供了可靠的依據(jù).

束縛在光晶格中的冷原子為研究凝聚態(tài)物理中的關(guān)聯(lián)開拓了一個(gè)新的領(lǐng)域.例如:研究玻色Hubbard和費(fèi)米Hubbard模型的相圖;玻色和費(fèi)米超流及超導(dǎo)等物理特性.實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)可以實(shí)現(xiàn)一維光晶格中的強(qiáng)相互作用的玻色Tonks氣體和束縛在光晶格中的費(fèi)米氣體.因此，利用實(shí)驗(yàn)可以驗(yàn)證一維Hubbard模型的理論及數(shù)值模擬研究的結(jié)果.

實(shí)驗(yàn)還可以模擬不同組分的極化氣體的性質(zhì)和系統(tǒng)處于不同外勢(shì)的性質(zhì)，如單勢(shì)阱和雙勢(shì)阱束縛等.這些實(shí)驗(yàn)進(jìn)展使得研究光晶格中的費(fèi)米Hubbard模型具有更加現(xiàn)實(shí)的意義.研究強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系，需要利用比平均場(chǎng)更加精確和有效的數(shù)值或者解析的方法,如Bethe-ansatz方法[3]、量子蒙特卡洛、密度矩陣重整化群和用于小體系的精確對(duì)角化方法.本文研究非均勻費(fèi)米Hubbard模型，采用建立在Bethe-ansatz解基礎(chǔ)上的托馬斯-費(fèi)米近似方法.這種方法已經(jīng)被證實(shí)能很好地體現(xiàn)非均勻體系的相變特性.當(dāng)外勢(shì)或者系統(tǒng)參數(shù)變化引起相變時(shí)，研究者可以測(cè)量系統(tǒng)的局域密度的變化、體系壓縮比[4]和雙占據(jù)[5]等物理量.本文通過計(jì)算壓縮比、雙占據(jù)和雙占據(jù)對(duì)密度的導(dǎo)數(shù)來反映由外勢(shì)和體系參數(shù)變化所引起的相變.

1 模型及其性質(zhì)

1.1 模型及處理方法

考慮一個(gè)單帶兩組分的費(fèi)米Hubbard鏈，系統(tǒng)大小為Ns，粒子數(shù)為Nf，則體系的哈密頓量可以寫為

i.

(1)

一維費(fèi)米Hubbard 模型的物理性質(zhì)可用一維關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的Luttinger 液體理論來描述，當(dāng)u=U/t<0，即相互作用是吸引時(shí)，由Luther-Emery 液體理論表述.在零溫和熱力學(xué)極限條件下(Nf,Ns→∞,但是Nf/Ns是有限值),體系的性質(zhì)由填充密度n=Nf/Ns和無量綱的常數(shù)u決定.文獻(xiàn)[3]給出了Hubbard模型的基態(tài)性質(zhì).在此之后,Kocharian等[6]和Tanaka等[7]分別用不同的方法求解了均勻及非均勻吸引費(fèi)米Hubbard模型的基態(tài)及激發(fā)態(tài)的性質(zhì).

由于邊界條件或者外勢(shì)引起的非均勻性，方程(1)一般沒有解析解，通常要借助于數(shù)值方法求解.常用的數(shù)值解法除了以上提及的方法外還有動(dòng)態(tài)平均場(chǎng)方法、密度泛函理論等.

1.2 u<0時(shí)因外勢(shì)引起的式(1)的相變性質(zhì)

筆者借助于Hubbard模型的Bethe-ansatz解，利用托馬斯-費(fèi)米近似方法驗(yàn)證體系的相變過程.在相互吸引作用下,方程式(1)中所表示的哈密頓量的化學(xué)勢(shì)可以通過托馬斯-費(fèi)米近似求解，即求解如下局域平衡態(tài)方程:

μ=μhom(n,u)|n→ni+V2(i-(Ns+1)/2)2.

(2)

2 數(shù)據(jù)與結(jié)果

由均勻體系中雙占據(jù)的定義D=?E/?U，筆者分別給出了雙占據(jù)對(duì)粒子密度和相互作用的依賴關(guān)系，具體見圖1.圖1(a)中:當(dāng)體系無相互作用(u=0)時(shí)，D=n2/4;當(dāng)體系有相互作用且粒子數(shù)密度n>1.0時(shí)可以利用基態(tài)能量的對(duì)稱性E(u,n>1.0)=u(n-1)+E(u,2.0-n)得到D(u,n>1.0)=n-1.0+D(u,2.0-n).相互作用相同的情況下，隨著粒子數(shù)密度的增大雙占據(jù)單調(diào)增大到1.0；在粒子數(shù)密度相同的情況下，相互作用越大雙占據(jù)越大，體系越趨于形成緊束縛的單態(tài).圖1(b)是以相互作用u為變量對(duì)不同的粒子數(shù)密度得到的雙占據(jù)，對(duì)相同的u,雙占據(jù)隨著密度的增大而增大.當(dāng)相互作用非常強(qiáng)時(shí),雙占據(jù)D≈n/2；當(dāng)粒子數(shù)密度為2.0時(shí)，雙占據(jù)等于1.0.

(a)對(duì)密度的依賴關(guān)系

(b)對(duì)相互作用u的依賴關(guān)系

圖2 均勻體系中雙占據(jù)對(duì)密度求導(dǎo)

圖3 以ρ和u為參數(shù)得到的相圖

圖4 諧振勢(shì)作用下體系的雙占據(jù)

圖5 雙占據(jù)對(duì)密度ρ求導(dǎo)和壓縮比的局域分布

3 結(jié) 論

借助于Hubbard模型的Bethe-ansatz方法采用托馬斯-費(fèi)米近似，討論了在諧振勢(shì)作用下的一維吸引型Hubbard模型的相變性質(zhì).本文主要通過測(cè)量壓縮比、雙占據(jù)及其對(duì)密度ρ的導(dǎo)數(shù)來驗(yàn)證體系的相變過程.從數(shù)據(jù)結(jié)果可以看出，用局域壓縮比、雙占據(jù)及其對(duì)密度的導(dǎo)數(shù)，可以很好地反映吸引型Hubbard 模型從金屬相到帶絕緣相的相變過程.

參考文獻(xiàn)：

[1]Altland A,Simons B.Condensed Matter Field Theory[M].Cambridge:Cambridge University Press,2006:58.

[2]Gao Xianlong,Polini M,Tanatar B,et al.Interacting Fermi gases in disorder one-dimensional lattices[J].Phys Rev B,2006,73(16):161103.

[3]Lieb E H,Wu F Y.Absence of Mott Transition in an Exact Solution of the Short-Range,One-Band Model in One Dimension[J].Phys Rev Lett,1968,20(25):1445-1448.

[4]Scarola V W,Pollet L,Oitmaa J,et al.Discerning Incompressible and Compressible Phases of Cold Atoms in Optical Lattices[J].Phys Rev Lett,2009,102(13):135302.

[5]Kollath C,Iucci A,McCulloch I P,et al.Modulation spectroscopy with ultracold fermions in an optical lattice[J].Phys Rev A,2006,74(4):041604.

[6]Kocharian A N,Yang C,Chiang Y L.Self-consistent and exact studies of pairing correlations and crossover in the one-dimensional attractive Hubbard model[J].Phys Rev B,1999,59(11):7458-7472.

[7]Tanaka K,Marsiglio F.Even-odd and super-even effects in the attractive Hubbard model[J].Phys Rev B,1999,60(5):3508-3526.