二階具變號位勢的離散Hamilton系統(tǒng)的周期解*

鄧小青

(湖南商學(xué)院 信息學(xué)院，長沙 410205)

利用臨界點理論研究Hamilton系統(tǒng)的次調(diào)和解和周期解的存在性，一直是微分方程與差分方程定性理論中的熱點問題［1-7］，特別地，研究具變號位勢的 Hamilton系統(tǒng)的次調(diào)和解和周期解也是很重要的課題［1，4］.

考慮二階離散Hamilton系統(tǒng):

其中b(·)，A(·)分別是周期為T(正整數(shù))的實函數(shù)和未定的實對稱矩陣函數(shù).主要結(jié)果為:

定理1 假設(shè)b(·)，A(·)，V(·)≥0滿足以下條件:

(V1)V∈C1(RN，R)，存在a1＞0，a2≥0，β ＞2，使得V(x)≥a1|x|β-a2，?x∈RN;

-l2))及r1＞0，使得V(x)≤a3|x|2，?x∈RN，|x|≤r1，其中=max{b

則方程(1)至少有兩個非平凡T-周期解.

1 變分結(jié)構(gòu)

N是給定的正整數(shù)，對任意給定的正整數(shù)T，定義向量空間為ET={x= {xn}:xn+T=xn，xn∈RN，n∈Z}.且ET上的內(nèi)積和范數(shù)分別定義為:

其中xn·yn(n∈Z)表示RN中的內(nèi)積，表示RN中的范數(shù).

定義線性映射為L:E→RTN為Lx=(x，…，x，x，…，x，…，x，…，x)T，?x∈E，其中·T表示

T1，1T，11，2T，21，NT，NT向量或矩陣的轉(zhuǎn)置.顯然‖x‖=，(ET＜·，· ＞)與RTN是線性同胚的.

在ET上定義泛函F為:

其中M，B見文獻(xiàn)［3］.易知x∈ET是F的臨界點當(dāng)且僅當(dāng)x={xn}是(1)的T-周期解.

若令W=KerML={x∈ET:MLx=0}={x∈ET:x={v}，v∈RN}，則W是ET關(guān)于LTML的不變子空間，再令Y是W關(guān)于ET的直交補(bǔ)空間，即ET=Y⊕W，則Y也是ET關(guān)于LTML的不變子空間.

2 主要結(jié)論的證明

引理1 在定理1的假設(shè)條件下，泛函F滿足P.S.條件.

證明 假設(shè)F(x(k))有界及F'(x(k))→0(k→∞)，要證{x(k)}在ET存在收斂的子序列，只須證‖x(k)‖有界.F(x(k))有界蘊(yùn)含存在C＞0，使得對任意k∈N有|F(x(k))|≤C.再由條件(V1)和(A)有:

因β＞2，式(3)意味著‖x(k)‖有界，因此泛函滿足P.S.條件.證畢.

引理2 在定理1的假設(shè)條件下，泛函F滿足環(huán)繞定理［6］的第1個條件.

證明 任意x∈Y及‖x‖≤ρ=＞0，由條件(V2)知;

因此泛函F滿足環(huán)繞定理［6］的第1個條件.證畢.

引理3 在定理1的假設(shè)條件下，泛函F滿足環(huán)繞定理［6］的第2個條件.

證明 顯然F(0)=0.選擇e∈Y使得en+T=en，?n∈Z，‖e‖ =1.定義Q(R)=，則?Q(R)=Q1∪Q2∪Q3，其中Q1={z∈Z:|v|≤R}，Q2={re+z:|v|=R，r∈［0}，Q3={re+z:|v|≤R，r=

任意z∈Q1，由條件(V1)(A)(B)知:再由H?lder不等式有:

+ba2，假設(shè)g'(r0)=0，有g(shù)(r)≤g(r0)，?r∈［0，］，而且g(r0)是與R無關(guān)的常數(shù).于是有F(re+z)≤+g(r0).又因 β＞2，所以存在R1＞r1使得對任意R＞R1，有:

另一方面，類似(3)的證明有:

注3 如果定理1及注1與注2中l(wèi)1=0且a2=0，即A(n)在Z(1，T)上都是半正定或正定的，且V(z)關(guān)于z在無窮遠(yuǎn)點是超二次的，那么去掉條件(B)時，定理1的結(jié)論仍然成立.

［1］ANTONACCI F.Existence of periodic solutions of Hamiltonian systems with potential indefinite in sign［J］.Nonlinear Analysis，1997，29:1353-1364

［2］GUO Z M，YU J S.Existence of periodic and subharmonic solutions for second-order superlinear difference equations［J］.Science in China(Series A)，2003，46:506-515

［3］ZHOU Z，YU J S，GUO Z M，et al.Periodic solutions of higher-dimensional discrete systems［J］.Proceeding of the Royal Society of Edinburgh，2004，134A:1013-1022

［4］YU J S，DENG X Q，GUO Z M，et al.Periodic solutions of a discrete Hamiltonian system with a change of sign in the potential［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2006，324:1140-1151

［5］DENG X Q.Periodic Solutions for Subquadratic Discrete Hamiltonian Systems［J］.Advances in Difference Equations.2006(2007)，16

［6］RABINOWITZ P H.Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations［A］.In:CBMS Regional Conference Series in Mathematics Vol.65.Providence［C］.RI:American Mathematical Society，1986

［7］王少敏，熊明，茶國智.一類非自治二階哈密頓系統(tǒng)的周期解的存在性［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2008，25(1):5-8