一種基于粗糙集理論的多指標綜合評價方法

鄭學敏

(河海大學 商學院，南京 210098)

0 引言

粗糙集理論由波蘭學者Z.Pawlak在1982年提出，這是一種新的處理模糊和不確定知識的數(shù)學工具，其主要特點在于無需提供問題所需處理的數(shù)據(jù)集合之外的任何先驗信息，所以對問題的描述或處理是比較客觀的，根據(jù)觀測數(shù)據(jù)刪除冗余信息，分析知識的粗糙度、屬性間的依賴性與重要性，生成分類或決策規(guī)則等[1]。針對無決策屬性的綜合評價問題，本文擬提出一種基于粗糙集理論的客觀評價方法：首先將介紹粗糙集信息系統(tǒng)和屬性約簡的概念，并在引入信息論中“信息量”的基礎(chǔ)上，提出信息系統(tǒng)屬性重要性的計算方法，進而實現(xiàn)綜合評價系統(tǒng)的指標約簡和權(quán)重設(shè)置。希望該方法能克服傳統(tǒng)評價方法中主觀性和片面性的問題，并且能夠有效地減少綜合評價問題的計算量。

1 信息系統(tǒng)與屬性約簡

1.1 信息系統(tǒng)

定義1 四元組S=(U,A,V,f)是一個信息系統(tǒng),其中U表示對象的非空有限集合,稱為論域；V=，其中 Va是屬性a的值域；f表示U×A→V是一個信息函數(shù),它為每個對象的每個屬性賦予一個信息值,即 a∈A，x∈U，f(x,a)∈Va。

1.2 等價關(guān)系

每一個屬性子集P?A決定了一個二元不可區(qū)分關(guān)系IND(P)，信息系統(tǒng)S=(U,A,V,f)也稱為知識表達系統(tǒng)U/IND(A)或知識A。

定義2 如果(x,y)∈IND(P)是等價的，則稱 x和y是等價的。等價關(guān)系IND(P)構(gòu)成了U上的一個等價劃分，用U/IND(P)={X1,X2,…,Xn}表示。

1.3 屬性的核與約簡

定義3 設(shè)S=(U,A,V,f)是一個信息系統(tǒng),a∈A，如果IND(A-{a})=IND(A)，則稱屬性a在A中是不必要的(多余的)；否則，稱a在A中是必要的。

不必要的屬性在信息系統(tǒng)中是多余的，如果將它從信息系統(tǒng)中去掉,不會改變該信息系統(tǒng)的分類能力；相反，若從信息系統(tǒng)中去掉一個必要的屬性,則一定改變該信息系統(tǒng)的分類能力。

定義4 設(shè)S=(U,A,V,f)是一個信息系統(tǒng)，A中所有必要的屬性組成的集合稱為屬性集A的核，記作Core(A)。

定義5 設(shè)S=(U,A,V,f)是一個信息系統(tǒng)，如果P?A：

（1）IND(P)=IND(A)；

（2）P 是獨立的；

則稱P是A的一個約簡。

可以證明核是所有約簡的交集[1]。

2 信息量與重要度度量

2.1 知識的信息量

定義6 設(shè)S=(U,A,V,f)是一個信息系統(tǒng),P?A,U/IND（P）={X1，X2，…，Xn}。 知識 P 的信息量定義為：

其中|X|表示集合X的基數(shù),|Xi|/|U|表示等價類Xi在U中的概率。

本文在信息系統(tǒng)中，引入信息論中信息量的概念，有如下定理：

定理1 設(shè)S=(U,A,V,f)是一個信息系統(tǒng)，P?A。若U/IND(A)?U/IND(P),則 I(P)＜I(A)。

由定理1可以得出如下結(jié)論：

定理2 設(shè)S=(U,A,V,f)是一個信息系統(tǒng)，P?A，則U/IND(A)=U/IND(P)的充要條件是I(P)=I(A)。

2.2 屬性重要度

定義7 設(shè)S=(U,A,V,f)是一個信息系統(tǒng),屬性a∈A在A中的重要性定義為：

性質(zhì)1 屬性a∈A在A中是必要的當且僅當sigA-{a}＞0。

性質(zhì) 2 Core(A)={a∈A|sigA-{a}(a)＞0}。

定義8 設(shè)S=(U,A,V,f)是一個信息系統(tǒng)，C?A，任意屬性a∈A-C關(guān)于屬性集C的重要性定義為：

sigC(a)=sigC∪{a}-{a}(a)=I(C∪{a})－I(C)

上述定義表明屬性a∈A-C關(guān)于屬性集C的重要性由C中添加a后所引起的信息量的變化大小來度量。sigC(a)的值越大,說明屬性a∈A-C關(guān)于屬性集C就越重要。

3 基于粗糙集綜合評價的指標體系建立

給予粗糙集的多指標綜合評價的基本步驟如圖1所示。

圖1 基于粗糙集的多指標綜合評價的步驟

3.1 評價指標約簡

在進行指標體系的選擇時，為更全面地反映評價問題的整體狀況，在指標構(gòu)建原則的前提下，往往會選擇盡可能多的指標和數(shù)據(jù)，但這些信息中可能會有冗余信息，這些冗余信息不僅會增加問題的復(fù)雜性，還會影響評價的準確性。評價問題中的指標對應(yīng)于信息系統(tǒng)中的屬性，信息系統(tǒng)屬性約簡的過程其實質(zhì)就是指標集合優(yōu)化的過程,由此方法得到的指標集合是決定評價問題的關(guān)鍵因素。

本文利用屬性的重要度作為啟發(fā)式信息，根據(jù)性質(zhì)2計算指標集A的核，再根據(jù)定義7選擇屬性重要度大的指標依次加入到核中，直到約簡后的指標集信息量與原指標集A的信息量相同為止。

算法主要步驟如下：

輸入：信息系統(tǒng)S=(U,A,V,f)，其中U為論域，A為指標集。

輸出：該信息系統(tǒng)的核Core與最小約簡C。

STEP1根據(jù)(1)式計算評級指標信息系統(tǒng)的信息量I(A)；

STEP2令Core(A)=Ф。對于每一個ai∈A，根據(jù)(2)式計算在信息系統(tǒng)中的重要度sigA-{ai}(ai)，若sigA-{ai}(ai)不為0，則使Core=Core∪{ai}，得到的Core為指標集A的核，計算I(Core)，若I(Core)=I(A)，算法終止(此時Core為A的最小近似約簡).否則，執(zhí)行STEP3；

STEP3令C=Core，對指標集A-C重復(fù)執(zhí)行：

（1）對于每個指標 ai∈A-C,根據(jù)定義 8，計算其重要度sigC(ai)；

（2） 取 max sigC(ai)，C:=C∪{ai}；

（3）若I(C)=I(A),算法終止(此時C為A的一個最小近似約簡)；否則，轉(zhuǎn)(1)。

3.2 基于屬性重要度設(shè)置權(quán)重

傳統(tǒng)的主觀評價方法(如層次分析法)，在權(quán)重的確定上過分依賴專家的意見，而忽略了評價指標原始數(shù)據(jù)自身的信息。本文利用信息系統(tǒng)屬性重要度的定義，依靠屬性自身的信息量計算權(quán)重，很好地避免了確定權(quán)重時受主觀因素的影響。

指標體系經(jīng)過指標約簡后，可以得出約簡后的指標C={r1,r2,…rm}，由約簡的定義，C是獨立的，C中的屬性也是獨立的。根據(jù)知識的信息量的概念，本文提出了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的指標權(quán)重確定的算法。算法步驟如下：

輸入：約簡后信息系統(tǒng)S=(U,C,V,f)。

輸出：指標集C中各指標的權(quán)重wi。

STEP1由等價關(guān)系C對論域U的劃分為:U/IND(C)={X1,X2,…,Xn}；根據(jù)(1)式計算約簡后指標集C的信息量I(C)；

STEP2令 i=1，計算其屬性重要度為 sigc-{ri}(ri)=I(C)－I(C-{ri}),i:=i+1；若 i=m，進入 STEP3；

STEP3令i=1，歸一化ri的重要度，得出每個指標的權(quán)重：，i:=i+1；如果 i=m，算法結(jié)束。

3.3 建立評價模型

4 對某市各銀行服務(wù)客戶滿意度分析

4.1 數(shù)據(jù)收集和數(shù)據(jù)信度分析

本研究的樣本選自某城市主要商業(yè)銀行營業(yè)網(wǎng)點流水客戶，通過對工、招、農(nóng)、建、中、交五大銀行各選取10家營業(yè)網(wǎng)點對他們的零售業(yè)務(wù)流水客戶進行隨機的問卷調(diào)查。本調(diào)查共發(fā)放問卷500份，回收436份，回收率87.2%，通過審核篩選獲得有效問卷418份，有效率83.8%，所有調(diào)查信息均采用SPSS15.0統(tǒng)計軟件進行統(tǒng)計分析。

在廣泛查閱國內(nèi)外員工滿意度問卷基礎(chǔ)上，結(jié)合銀行行業(yè)特點設(shè)計的“商業(yè)銀行客戶滿意度調(diào)查問卷”，問卷分兩部分組成：（1）個人資料，包括年齡、性別、學歷程度、工作職位等；（2）員工滿意度測試，由36個項目組成，除去調(diào)查表中調(diào)查員工對銀行業(yè)目前主要優(yōu)勢、存在的困難等7個項目的認知和預(yù)測調(diào)查外，顧客選擇商業(yè)銀行服務(wù)滿意度的主要指標為：a1產(chǎn)品服務(wù)種類，a2服務(wù)收費透明度，a3可信度，a4服務(wù)效率，a5咨詢投訴處理，a6服務(wù)便利。擬選定6項主要指標{U1,U2,U3,U4,U5,U6}，建立評價信息表。

數(shù)據(jù)信度主要考察問卷的內(nèi)部一致性，內(nèi)部一致性系數(shù)通常采用可靠性分析中的Cronbachα計算值，一般認為該值應(yīng)在0.7以上。對于該問卷的信度，通過采用SPSS15.0統(tǒng)計軟件直接測算，結(jié)果表明問卷的內(nèi)部一致性系數(shù)為0.729，說明該滿意度調(diào)查問卷具有較高的信度。

根據(jù)所采集的數(shù)據(jù)對評價信息表進行離散化，1表示達標，0表示未達標。構(gòu)建綜合評價系統(tǒng)如表1所示。

表1 顧客滿意評價度

表2 約簡后的信息系統(tǒng)

表3 指標權(quán)重表

表4 顧客評價結(jié)果

4.2 評價指標集約簡

依照約簡算法，約簡步驟如下：

STEP1根據(jù)評價信息系統(tǒng)，有等價關(guān)系 U/IND(A)={{U1,U6},U2,U3,U4,U5}計算 I(A)=30/36；

STEP2對于指標集A-{a1}，有等價關(guān)系 U/IND(A-{a1})={{U1,U6},U2,U3,U4,U5}以及公式(2)計算指標a1的重要度sigA-{a1}(a1)=I(A)-I(A-{a1})=0，同理,計算得 sigA-{a2}(a2)=0,sigA-{a3}(a3)=0,sigA-{a4}(a4)=2/36,sigA-{a5}(a5)=0,sigA-{a6}(a6)=0,因此，Core(A)={a4};計算得 I(Core)=12/36＜I(A)，進入 STEP3；

STEP3 令 C=Core={a4}，A-C={a1,a2,a3,a5,a6,}：

（1）計算指標集A-C中的指標重要度。經(jīng)第一次計算得：sigC(a1)=I(C∪{a1})-I(C)=18/36,同理得:sigC(a2)=16/36,sigC(a3)=10/36,sigC(a5)=10/36,sigC(a6)=18/36,；

（2）取 max sigC(ai)，C:=C∪{ai}。 第一次計算 C={a1,a4}；

（3）第一次計算 I(C)=30/36＜I(A)，重復(fù)步驟(1);…

算法得出：核Core={a4}，最小約簡指標集為C={a1,a2,a4,a6}。

評價指標約簡為{a1,a2,a4,a6}，因而得出a1產(chǎn)品服務(wù)種類，a2服務(wù)收費透明度，a4服務(wù)效率，a6服務(wù)便利是該評價問題的主要因素。通過該算法，指標個數(shù)減少了37%，因而減少了評價計算量。約簡后的信息系統(tǒng)如表2示。

4.3 指標權(quán)重計算

STEP1對于最小約簡指標集，其等價關(guān)系為：U/IND(C)={{U1,U5},U2,U3,U4,U5,U6}，根據(jù)(1)式計算其信息量I(C)=30/36；

STEP2由(2)式計算指標重要度水平sigC-{a1}(a1)=I(C)-I(C-{a1})=2/36,sigC-{a2}(a2)=2/36,sigC-{a4}(a4)=2/36,sigC-{a6}(a6)=6/36；

STEP3歸一化處理指標的重要度得出權(quán)重信息，a1為同理計算得出其他幾個指標權(quán)重如表3。

利用線性加權(quán)模型計算得出評價對象的評價值如表4。

以上排序結(jié)果說明，顧客在選擇商業(yè)銀行滿意度時最期望的指標排序為U4為首選，其次為U6和U3。由實例看出，使用粗糙集綜合評價方法可以有效地約簡評價指標，減少評級問題的計算量，評價過程不需要人為干預(yù)，故評價結(jié)果更真實可靠。

5 總結(jié)

在顧客滿意度評價中影響其價值的因素很多,各因素的重要性也會有很大的差別。本文基于粗糙集理論，融入信息論中信息量的概念，提出了一種完全數(shù)據(jù)驅(qū)動(依賴指標原始數(shù)據(jù))的多指標綜合評價方法，并用商業(yè)銀行顧客滿意度實例證明了該方法的客觀性和實用性，克服了傳統(tǒng)方法存在的主觀性和片面性的問題。粗糙集綜合評價法通過指標的屬性重要度信息，計算指標體系的約簡，并將權(quán)系數(shù)確定問題轉(zhuǎn)化為指標的重要性評價問題。該方法綜合分析了各種影響因素,既體現(xiàn)了評價的全面性,又進行了指標的篩選,從而簡化了運算的復(fù)雜度；在確定各因素的權(quán)重中，既強調(diào)了評價的客觀性,又充分利用了專家的主觀經(jīng)驗。

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