基于MCMC方法的機(jī)制轉(zhuǎn)換利率模型實(shí)證研究

孫伶俐，陳啟宏

（上海財(cái)經(jīng)大學(xué)a.金融學(xué)院；b.應(yīng)用數(shù)學(xué)系，上海 200433）

1 機(jī)制轉(zhuǎn)換利率模型建構(gòu)

為了保持可操作性，機(jī)制轉(zhuǎn)換過程為二狀態(tài)馬爾科夫過程（Hamilton（2002））。假定在給定今天的機(jī)制 st=0，1 情況下，明天的機(jī)制st+1=0，1演化由馬爾科夫鏈轉(zhuǎn)移概率矩陣來控制。轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

其中，Σj=0，1，πij=1，0＜πij＜1。

單因素機(jī)制轉(zhuǎn)換CIR：

雖然計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家可能沒有觀察到機(jī)制，但假定經(jīng)濟(jì)中的機(jī)構(gòu)觀察到了機(jī)制。在這個經(jīng)濟(jì)中的定價核（也就是邊際跨期替代率）為：

其中，rf,t是連續(xù)時間單期無風(fēng)險利率。

t時刻，離到期日有n個期限的債券價格依賴于機(jī)制st=i，i=0，1 以及 xt，債券價格為：

Pi(t，n)=exp{-Ai(n)-Bi(n)xt}

類似地，t+1時刻債券價格為：

PSt+1(t+1,n-1)=exp{-ASt+1(n-1)-BSt+1(n-1)xt+1}

對 st=i，i=0，1，加入邊界條件 Ai(0)=Bi(0)=0，Ai(1)=0，Bi(1)=1，也就是 rf，t=xt。 利用 rf，t=xt，使用對數(shù)正態(tài)近似，關(guān)鍵的資產(chǎn)定價條件如下：

在機(jī)制st+1，債券收益的條件均值與波動率分別為μn，st+1，t，σn，st+1，t2。

對于給定的資產(chǎn)定價條件，債券價格的解可通過求未知參數(shù)而得到：

與

初始條件件A0(0)=A1(0)=B0(0)=B1(0)。

K個因素的機(jī)制轉(zhuǎn)換模型債券收益也可以由類似方法來得到：

2 模型的估計(jì)方法

由于模型參數(shù)估計(jì)的復(fù)雜性，對機(jī)制轉(zhuǎn)換利率模型采用了馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法 (Markov Chain Monte Carlo,MCMC)。

MCMC方法的基本思想是通過一個平穩(wěn)分布為π(x)的馬爾可夫鏈來得到π(x)的樣本，基于這些樣本就可以做各種統(tǒng)計(jì)推斷。MCMC方法可概括為如下三步：

(1)在X上選一個使π(x)為其相應(yīng)平穩(wěn)分布的馬爾可夫鏈，使其轉(zhuǎn)移核為 p(·,·)。

圖1 擬合的利率平面曲線

(2)由X中某一點(diǎn)X0出發(fā)，用(1)中的馬爾可夫鏈產(chǎn)生點(diǎn)序列 X1，X2，…，Xn。

(3)對某個m和大的m，任一函數(shù)f(x)的期望值估計(jì)如下：

其中，令{x(t)}t≥0為X上的馬爾可夫鏈，其一步轉(zhuǎn)移概率函數(shù)為(連續(xù))，p(·,·)稱為該馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移核。

目前，在貝葉斯分析中應(yīng)用最為廣泛的MCMC方法主要有兩種：Gibbs抽樣(Sampler)方法和 Metropolis-Hastings方法。后人在這一基本方法的基礎(chǔ)上又對其進(jìn)行了進(jìn)一步的改進(jìn)和推廣。

3 實(shí)證結(jié)果及分析

3.1 數(shù)據(jù)選擇與分析

本文選擇Nelson-Siegle模型，利用上交所交易的國債信息對2001年8月至2008年12月每周的利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行估計(jì)，共有360條周收益曲線。數(shù)據(jù)由北方之星導(dǎo)出并由Nelson-Siegle方法計(jì)算得到。利用Nelson-Siegle模型擬合了即期利率曲線之后，就可以選擇即期利率曲線上不同時點(diǎn)的即期利率，對利率模型進(jìn)行估計(jì)。擬合后的曲線如圖1所示。

從圖1中可以看出即期利率從2001年至今總體呈現(xiàn)出波動起伏的走勢，自2001年年底開始走低，并于2002年5月左右達(dá)到低點(diǎn)后開始反彈，并逐步走高。一直到2004年10左右達(dá)到最高，一直到2007年底走低。此后逐漸反彈，但到2008年8月份左右開始下跌?？梢钥闯?，利率變動也經(jīng)歷了幾個周期。還可以看出雖然即期利率的收益率不同，但是不同期限的收益率的走勢之存在著很強(qiáng)的相關(guān)性，這說明利率期限結(jié)構(gòu)的變化可能是幾個共同的因素影響作用的結(jié)果。

3.2 機(jī)制轉(zhuǎn)換模型估計(jì)結(jié)果

表1 銀行間收益率數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征

采用的模型為兩因素機(jī)制轉(zhuǎn)換模型：

從一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個狀態(tài)的概率為：

P(st+1=1|st+1=0)=π01=e0，P(st+1=0|st+1=1)=π10=e1其中 0＜ei＜1。

簡單地，可以假定初始波動率v1是給定的。模型參數(shù)為ki=(ki1，ki2)T，θi=(θi1，θi2)T，?i，i=0 或 1，轉(zhuǎn)移概率 e=(e0，e1)T，狀態(tài)向量 S=(s1，s2，…，sn)T包含了擴(kuò)展的參數(shù)，V=(v1，v2，…，vn)T包括了波動率向量。

由于模型是所有可能狀態(tài)結(jié)構(gòu)的混合，因此模型的似然函數(shù)是很復(fù)雜。但在Gibb抽樣方法中，僅要求下面的條件后驗(yàn)分布。

f(ki|R，S，H，θ0，θ1)，f(θi|R，S，H，θj≠i)，P(S|R，v1，θ0，θ1)，f(?i|R，S，H，?j≠i)，f(ei|S)，i=0，1

其中R所有觀察到的收益率的集合。我們使用共軛先驗(yàn)分布來描述。

由于vt是似然函數(shù)的非線性參數(shù)，因此使用Griddy Gibbs方法來抽取隨機(jī)樣本。

我們用Gibbs抽樣方法估計(jì)模型的步驟如下：

(1)規(guī)定方程的超參數(shù)值，即先驗(yàn)分布為：

(2)對參數(shù)規(guī)定任意的起始值。e0=e1=0.1，k0=k1=(0.0000648，-0.0271)T，θ0=θ1=(0.00329,-0.035)T。

s1為相等概率的Bernoulli試驗(yàn)，st逐步使用初始轉(zhuǎn)移概率而產(chǎn)生。vt抽樣使用300個格子點(diǎn)Griddy Gibbs抽樣，對下面范圍劃分相等空間：vt∈[0，1.5×0.0000376]=[0，0.0000564]。

(3)使用 Griddy Gibbs抽樣抽取 vt。

(4)使用正態(tài)分布抽取ki。

(5)使用正態(tài)分布抽取θi。

(6)使用 χ2分布抽取 ?i。

(7)使用 Beta分布抽取 ei。

重復(fù)上述步驟3～7多次就可得到Gibbs抽樣，Gibbs抽樣運(yùn)行25000次。為了監(jiān)測馬爾可夫鏈的收斂性，另外再給定不同的參數(shù)條件下，再運(yùn)行一次。

診斷和監(jiān)測收斂的方法采用一種由Gelman and Rubin(1992)、Gelman(1996)提出的一種監(jiān)測方法，這是一種最容易理解與執(zhí)行的方法，可以使用在任何MCMC方法。Gelman and Rubin方法的思想是，如果收斂沒有發(fā)生，基于單個鏈的方差可能小于聯(lián)合序列的方差。

表2 參數(shù)的后驗(yàn)均值與標(biāo)準(zhǔn)差

在收斂后，然后取其中一條鏈Gibbs抽樣的后5000次，拋棄前面的20000次，這就是退火（burn in）。僅最后5000次結(jié)果用來做估計(jì)。樣本均值作為模型參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。

4 結(jié)論

本文以上海銀行間國債市場的利率作為中國短期利率的代表，選擇從2001年8月至2008年12月每周的利率數(shù)據(jù)為樣本，采用MCMC方法對機(jī)制轉(zhuǎn)換模型進(jìn)行了實(shí)證分析。檢驗(yàn)結(jié)果表明，機(jī)制轉(zhuǎn)換模型中所有的參數(shù)值都顯著。因此可以說明我國銀行間國債市場的利率期限結(jié)構(gòu)確實(shí)可以用機(jī)制轉(zhuǎn)換模型來刻畫，利率的動態(tài)確實(shí)存在著機(jī)制轉(zhuǎn)換的現(xiàn)象。

三個模型中均存在均值回復(fù)率大于0，長期平均利率大于0，這一點(diǎn)反映了短期利率在一定時間內(nèi)會向著正的長期均值回復(fù)，且速度較慢。其中在雙因素機(jī)制轉(zhuǎn)換模型中，均值回復(fù)率為0.0671，平均利率為0.0163。

通過實(shí)證分析機(jī)制轉(zhuǎn)換利率模型，我國銀行間國債市場的收益率中存在著機(jī)制轉(zhuǎn)換現(xiàn)象。因此可以通過機(jī)制轉(zhuǎn)換利率模型來更好地描述利率期限結(jié)構(gòu)，也可以更準(zhǔn)確地為債券及相關(guān)的衍生產(chǎn)品定價。

參數(shù)文獻(xiàn)：

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