廣義矩方法及其在金融領(lǐng)域的應(yīng)用

柳會(huì)珍，張成虎，周宗澤

(1.西安交通大學(xué) 應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)博士后流動(dòng)站，西安 710061；2.西安交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)院，西安 710061；3.山西省張峰水庫(kù)建設(shè)管理局，太原 030012)

0 引言

常用的統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法有矩估計(jì)法、極大似然估計(jì)法、貝葉斯方法和最小二乘法，在這幾種方法中，極大似然估計(jì)和貝葉斯方法需要總體的概率分布，在實(shí)際應(yīng)用中有較大的局限性而且對(duì)模型較為敏感；最小二乘法要求模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)和解釋變量不相關(guān)，因而在處理特殊模型時(shí)適用，應(yīng)用范圍較窄。矩估計(jì)法是一種簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法，在參數(shù)估計(jì)中，只需求出和參數(shù)有關(guān)的矩，并以樣本矩代替相應(yīng)的總體矩，組建一個(gè)以參數(shù)為未知數(shù)的方程組，求解方程組得到參數(shù)的矩估計(jì)。矩估計(jì)不受總體概率分布的限制且不需要實(shí)際樣本數(shù)據(jù)的產(chǎn)生過(guò)程，因而在實(shí)際中得到廣泛應(yīng)用?？傮w分布中的一個(gè)參數(shù)可能和多個(gè)總體矩有關(guān)，由矩估計(jì)法對(duì)參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)估計(jì)就有可能得到多種估計(jì)結(jié)果，該采用哪種矩估計(jì)，這些矩條件之間關(guān)系如何協(xié)調(diào)，哪個(gè)矩條件較為重要，這些問(wèn)題傳統(tǒng)的矩估計(jì)均無(wú)法處理。

本文主要介紹廣義矩估計(jì)方法的統(tǒng)計(jì)思想，對(duì)該方法和極大似然估計(jì)、最小二乘估計(jì)法之間的關(guān)系進(jìn)行了論證研究，同時(shí)在數(shù)據(jù)產(chǎn)生過(guò)程具有相關(guān)性的條件下對(duì)權(quán)重矩陣的選取和具體實(shí)施過(guò)程進(jìn)行了深入分析，最后給出在金融資產(chǎn)定價(jià)方面的應(yīng)用實(shí)例。

1 廣義矩方法的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

1.1 統(tǒng)計(jì)思想

假設(shè)Xt是一個(gè)t期觀察到的(n×1)隨機(jī)向量，θ是未知(a×1)參數(shù)向量，h(θ，Xt)是(r×1)向量值函數(shù)，即 h:Ra×Rn→Rr，滿足E(h(θ，Xt))=0，等式中的r行稱為正交條件或矩條件。

廣義矩方法的統(tǒng)計(jì)思想是選取θ使得樣本矩g(θ;YT)盡可能接近零總體矩，即廣義矩估計(jì)θ^使得目標(biāo)函數(shù)Q(θ;YT)=g'(θ;YT)WTg(θ;YT)在θ^達(dá)到最小，這里 WT是正定權(quán)重矩陣， 根據(jù)實(shí)際應(yīng)用中不同矩條件的重要性選取。

取 WT為單位矩陣，則目標(biāo)函數(shù) Q(θ;YT)=g'(θ;YT)g(θ;YT)，顯然 Q(θ;YT)≥0，取θ^使 Q(θ^;YT)=0，即 g(θ^;YT)=0，則θ^是參數(shù) θ的矩估計(jì)，所以廣義矩估計(jì)是矩估計(jì)的推廣。

1.2 和最小二乘估計(jì)以及極大似然估計(jì)的關(guān)系

考慮多元線性回歸模型：

其中Xt=(Xt1，Xt2，…，Xtp)'是t時(shí)刻觀測(cè)到的解釋變量向量，β=(β1，β2，…，βp)'是未知參數(shù)向量。

在經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域，常假設(shè)解釋變量矩陣Xt和隨機(jī)誤差 εt不相關(guān)，即 E(Xtεt)=0。 由模型(1)可得這個(gè)等式就是廣義矩估計(jì)法中的正交條件，其中包含p個(gè)方程。由于正交條件個(gè)數(shù)等于待估參數(shù)個(gè)數(shù)p，權(quán)重矩陣WT可以取為單位陣，則由廣義矩估計(jì)的統(tǒng)計(jì)方法可知β))的樣本矩解得參數(shù)向量β的廣義矩估計(jì)為顯然等于普通最小二乘估計(jì)，所以普通最小二乘估計(jì)是廣義矩估計(jì)的一個(gè)特例。

設(shè)Zt是一個(gè)t時(shí)刻觀察到的變量構(gòu)成的(n×1)隨機(jī)向量，zt是隨機(jī)向量 Zt的具體觀測(cè)值，Zt=(Z1，Z2，…，Zt)表示直到 t時(shí)刻所有觀察數(shù)據(jù)。在給定Zt-1的條件下的Zt條件密度為f(zt|Zt-1，θ)，θ是未知參數(shù)向量。由密度性質(zhì)可得：1，A其中表示隨機(jī)向量Zt的所有可能取值集合。假設(shè)微分和積分順序可交換，兩邊對(duì)參數(shù)θ求導(dǎo)得即，令，則有E(h(θ,Zt)|Zt-1)=0，顯然正交條件的個(gè)數(shù)和未知參數(shù)個(gè)數(shù)相同，由廣義矩估計(jì)法可得：參數(shù)θ的廣義矩估計(jì)滿足等式(θ,zt)=0。

將直到T時(shí)刻為止觀察到的所有樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造似然函數(shù)得 L(θ;z1，…，zT)=，對(duì)數(shù)似然為 lnL(θ；z1，…，zT)=假設(shè)函數(shù) f(zt|Zt-1，θ)關(guān)于 θ 可微，且最大值在參數(shù)空間內(nèi)部取得，則對(duì)數(shù)似然函數(shù)最大化的一階條件為顯然參數(shù)向量θ的極大似然估計(jì)和廣義矩估計(jì)相同，所以在密度函數(shù)滿足一定的條件下，廣義矩估計(jì)和極大似然估計(jì)是一致的。

1.3 權(quán)重矩陣的選取

廣義矩估計(jì)方法中權(quán)重矩陣的選取非常重要，直接決定了正交條件的重要性，即樣本矩接近零的關(guān)注程度，所以在利用廣義矩方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)估計(jì)時(shí)，需要考慮實(shí)際問(wèn)題所需，同時(shí)為了后續(xù)的模型過(guò)度識(shí)別檢驗(yàn)工作需要，又要照顧到統(tǒng)計(jì)分析處理的有效性。

理論上為了保證廣義矩估計(jì)的漸進(jìn)有效性，選取的逆矩陣作為權(quán)重矩陣，這里是過(guò)程的{h(θ0，Xt)}的協(xié)方差矩陣，其中 Γi=E(h(θ0，Xt)h'(θ0，Xt))，θ0是參數(shù)向量的真實(shí)值，這里假設(shè)h(θ，Xt)過(guò)程是平穩(wěn)的。

1.4 模型過(guò)度識(shí)別限制的檢驗(yàn)

2 在金融領(lǐng)域的應(yīng)用

廣義矩方法在金融資產(chǎn)定價(jià)方面有著重要的應(yīng)用。Cochrane給出的資產(chǎn)定價(jià)公式為：pt=Etmt+1(b)xt+1，其中mt+1(b)是隨機(jī)折現(xiàn)因子，其中包含了金融資產(chǎn)價(jià)格的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整因素，b是未知參數(shù)向量，xt+1，pt分別是收益向量和價(jià)格向量，Et表示已知時(shí)刻t時(shí)信息下的條件期望[12]。利用期望迭代定律可得：

由于金融資產(chǎn)價(jià)格一般變化較大，不具有平穩(wěn)性，因此為了統(tǒng)計(jì)分析處理的方便，我們將公式(2)改寫(xiě)成收益率形式如下：

公式(3)就是廣義矩方法中的正交條件。令ut(b)=mt+1(b)Rt+1-1，gT(b)=ET[ut(b)]其中記號(hào)ET表示樣本均值，則ut(b)是定價(jià)誤差，gT(b)是定價(jià)誤差的樣本均值。由廣義矩方法要求使gT(b)盡可能接近零總體矩，根據(jù)不同的金融資產(chǎn)定價(jià)誤差要求，選取權(quán)重矩陣WT，使得Q(b;xT)=gT'(b)WTgT(b)達(dá)到最小，求得參數(shù)向量b的廣義矩估計(jì)b^。在金融實(shí)證分析中，目標(biāo)函數(shù)Q(b;xT)的最小化可以轉(zhuǎn)化為求參數(shù)向量b的廣義矩估計(jì)，滿足等式

等式(4)表示定價(jià)誤差的線性組合為零，即定價(jià)誤差向量和一些特殊向量正交，這些特殊向量取決于權(quán)重矩陣WT，需要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中對(duì)各種資產(chǎn)定價(jià)誤差的關(guān)注程度和統(tǒng)計(jì)有效性來(lái)確定。

由于金融市場(chǎng)的復(fù)雜性，金融資產(chǎn)收益率之間存在一定的相關(guān)性，而且個(gè)別資產(chǎn)收益率變化較大，在選取權(quán)重矩陣時(shí)均需考慮這些情形，否則得到的廣義矩估計(jì)不能反映真實(shí)的定價(jià)誤差。

相應(yīng)的樣本均值為

3 總結(jié)

由于廣義矩估計(jì)不需要像傳統(tǒng)的極大似然估計(jì)和貝葉斯估計(jì)那樣要求嚴(yán)格的分布假設(shè)，更適合復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)和金融系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)和模型檢驗(yàn)，因而近年來(lái)在計(jì)量經(jīng)濟(jì)和金融研究領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，并且隨著應(yīng)用的逐步深入進(jìn)一步推動(dòng)了廣義矩理論和方法的發(fā)展。隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展和金融市場(chǎng)的不斷創(chuàng)新，將會(huì)出現(xiàn)越來(lái)越多的非線性性問(wèn)題和預(yù)測(cè)要求，在這些情形下，勢(shì)必需要最優(yōu)化、對(duì)模型非線性限制的過(guò)度識(shí)別檢驗(yàn)等方法技術(shù)，廣義矩理論方法能夠很好地處理這些模型中的參數(shù)估計(jì)和檢驗(yàn)問(wèn)題，因而在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融領(lǐng)域?qū)⒂懈鼜V闊的應(yīng)用前景。

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