基于GARCH模型的CVaR信貸風(fēng)險(xiǎn)度量方法研究

劉琦鈾，張能福，劉鐵生

（1.五邑大學(xué) 管理學(xué)院，廣東 江門 529020；2.江西現(xiàn)代職業(yè)技術(shù)學(xué)院，南昌 330095）

0 引言

盡管VaR方法自其推出以來一直受到金融資產(chǎn)管理者的青睞，但隨著國(guó)內(nèi)外學(xué)者的不斷探索和實(shí)際運(yùn)用部門的實(shí)踐證明，VaR方法仍存在其自身的局限性。由于該模型不是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量，沒有考慮當(dāng)VaR值超過時(shí)損失究竟是多少的問題。因此，當(dāng)真實(shí)損失超過了VaR的度量時(shí)，無法進(jìn)一步識(shí)別風(fēng)險(xiǎn)是可以忍受的還是災(zāi)難性的。本文擬針對(duì)VaR的弱點(diǎn)，對(duì)Rockafeller和Uryasev于1999年對(duì)VaR模型加以修改，提出條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR（Conditional Value-at-Risk）的概念。

1 相關(guān)模型基本原理方法及其特點(diǎn)

1.1 VaR的風(fēng)險(xiǎn)控制原理方法及其特點(diǎn)

1.1.1 VaR的風(fēng)險(xiǎn)控制原理

VaR是指在某一特定的持有期內(nèi)，在給定的置信水平下，給定的資產(chǎn)或資產(chǎn)組合可能遭受的最大損失值。其數(shù)學(xué)定義式為：

其中，ΔP為金融資產(chǎn)在持有期Δt內(nèi)的價(jià)值損失；VaR為置信水平c下的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值；c為置信度或置信水平(一般取95%或99%)。在給定的持有期和給定的置信水平下，VaR給出了其最大可能的預(yù)期損失。也就是說，可以用c的概率保證，其資產(chǎn)或資產(chǎn)組合的損失不會(huì)超過VaR值。現(xiàn)以某證劵公司為例對(duì)VaR值的含義加以說明。假設(shè)該公司1994年每日的VaR值，在99%的置信區(qū)間內(nèi)平均為370萬美元。這意味著，每天因市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)而導(dǎo)致?lián)p失超過370萬元的概率只有1%，即平均100個(gè)交易日才可能出現(xiàn)一次這樣的情況。換句話說，我們可以可以用99%的概率保證，該銀行下一個(gè)交易日內(nèi)的損失不會(huì)超過370萬元。

1.1.2 VaR的計(jì)算方法

假設(shè)投資組合的期初價(jià)值為p0，Δt為該投資組合的持有期，R為該投資組合持有期內(nèi)的收益率，假設(shè)收益率R的期望值、標(biāo)準(zhǔn)差和收益率最小值分別為μ、σ和R*，則根據(jù)VaR的定義：在一定置信水平下，該投資組合在未來一段時(shí)間的持有期內(nèi)的最大可能損失為：

由以上定義可知，計(jì)算VaR即相當(dāng)于計(jì)算組合最小價(jià)值P*或最低收益率R*。考慮投資組合持有期內(nèi)收益率所服從的隨機(jī)過程，假定其未來收益率的概率密度函數(shù)為f(P)，則對(duì)于某一置信水平c下投資組合的最低值P*，有：

無論分布是離散的還是連續(xù)的，厚尾還是瘦尾，該表達(dá)方式都是有效的。

1.1.3 VaR模型的優(yōu)缺點(diǎn)及CVaR的產(chǎn)生

VaR自上世紀(jì)90年代初期問世以來，曾以其獨(dú)有的特點(diǎn)頗受金融資產(chǎn)管理者的青睞。但隨著隨著時(shí)代的發(fā)展和國(guó)內(nèi)外學(xué)者的不斷探索、運(yùn)用，其不足之處也逐漸顯現(xiàn)。具體來講，其優(yōu)缺點(diǎn)主要表現(xiàn)如下：

(1)VaR的優(yōu)點(diǎn)

①VaR把對(duì)未來損失的大小和該損失發(fā)生的可能性結(jié)合起來，不僅讓投資者知道該損失發(fā)生的可能性，而且能度量損失可能造成的最大的規(guī)模。同時(shí)，通過調(diào)節(jié)不同的置信水平，可以得到相應(yīng)的VaR值大小，這樣大大的方便了不同管理需要。

②與以往風(fēng)險(xiǎn)管理方法對(duì)比，該模型的顯著特點(diǎn)主要表現(xiàn)在它是事前計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)，而非事后衡量風(fēng)險(xiǎn)的大??；不僅能計(jì)算單個(gè)金融工具的風(fēng)險(xiǎn)，還能計(jì)算由多個(gè)金融工具組成的投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。這一特點(diǎn)是傳統(tǒng)金融風(fēng)險(xiǎn)管理所不及的。

③VaR不僅應(yīng)用面相當(dāng)廣泛，而且可以把不同類型的風(fēng)險(xiǎn)大小以統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)尺度來衡量。它適用于綜合衡量包括利率風(fēng)險(xiǎn)、匯率風(fēng)險(xiǎn)、股票風(fēng)險(xiǎn)以及商品價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)和金融衍生工具在內(nèi)的各種市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。這使得金融機(jī)構(gòu)可以用一個(gè)具體的指標(biāo)數(shù)值（VaR）來綜合反映整個(gè)金融機(jī)構(gòu)或投資組合的風(fēng)險(xiǎn)狀況，這不僅大大方便了各金融機(jī)構(gòu)最高管理層對(duì)機(jī)構(gòu)內(nèi)部風(fēng)險(xiǎn)的控制與管理，而且，監(jiān)管部門也得以對(duì)金融機(jī)構(gòu)的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)資本準(zhǔn)備金提出相應(yīng)統(tǒng)一的要求。

(2)VaR的局限性

VaR不是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量，不滿足次可加性。因此用VaR來度量風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，證劵組合的風(fēng)險(xiǎn)大小不一定小于各證劵風(fēng)險(xiǎn)之和，這與投資組合具有分散風(fēng)險(xiǎn)的特點(diǎn)相違背，不符合基本的經(jīng)濟(jì)學(xué)原理。

VaR不滿足凸性，從數(shù)學(xué)意義上講，不滿足凸性的函數(shù)可能存在多個(gè)極值，即局部最優(yōu)非整體最優(yōu)，故基于VaR對(duì)證劵組合進(jìn)行整體上優(yōu)化時(shí)，存在一定的障礙。

VaR僅給出了一個(gè)閾值，雖能以較大概率保證損失不超出分位數(shù)，但對(duì)極端事件的發(fā)生卻缺乏預(yù)料與控制，既不能對(duì)尾部風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行控制。VaR只被設(shè)計(jì)用于度量非正常但屬一般性的市場(chǎng)波動(dòng)所帶來的風(fēng)險(xiǎn)，而對(duì)于市場(chǎng)因素異常罕見的極端波動(dòng)所導(dǎo)致的損失VaR無法預(yù)知。例如，兩種資產(chǎn)的VaR值相同，而超過VaR值的損失卻不相同，此時(shí)VaR就無法來度量這兩種資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)。

為了克服VaR的不足，Rockafeller和Uryasev于1999年對(duì)VaR模型加以修改，提出了條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR（Conditional Value-at-Risk）模型，該模型傳承了VaR模型的優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)又克服了其缺點(diǎn)。

1.2 CVaR的風(fēng)險(xiǎn)控制原理

條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值 CVaR（Conditional Value-at-Risk），也稱條件在線價(jià)值或者平均超值損失，是指超過VaR的損失的期望值，即在一定時(shí)間t內(nèi)，在一定的置信水平c下,投資者對(duì)收益分布尾部1-c部分的期望值。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

CVaR=E(L|L≥VaR) （4）

CVaR是指損失超過VaR的條件均值，它代表了超額損失的平均水平，反映了損失超過VaR時(shí)可能遭受的平均潛在損失的大小。

1.3 CVaR的計(jì)算方法

假設(shè)x是決策向量，x∈X；y是代表不確定因素的隨機(jī)向量，y∈Y；對(duì)每一個(gè)x，相應(yīng)的y的損失函數(shù)是f(x,y)，那么f(x,y)不超過閾值（臨界值）ξ的概率為：

若置信水平為c,c∈(0,1)，VaRc可表示為：

VaR表示的是最大損失超過或等于的數(shù)值的概率為(1-c)的最小損失值，而CVaR定義的是最大損失值超過或等于的數(shù)值的概率為(1-c)的平均損失值，可表示為：

由以上公式可以得到：由于 Φc(x)≥ξc(x)，可見，CVaR＞VaR，VaR僅給出了一個(gè)閾值，雖然它能以較大概率保證損失不超出的分位數(shù)，但對(duì)極端事件的發(fā)生即尾部風(fēng)險(xiǎn)卻缺乏預(yù)料和控制，而CVaR則能夠?qū)ξ膊匡L(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行良好的控制。CVaR與VaR相比考慮了損失尾部的分布，是一個(gè)更保守、更謹(jǐn)慎的風(fēng)險(xiǎn)度量方法。

2 基于GARCH模型的CVaR信貸風(fēng)險(xiǎn)實(shí)證分析

從以上有關(guān)VaR和CVaR的定義和計(jì)算方法中我們得知，VaR和CVaR方法的本質(zhì)是對(duì)證券組合價(jià)值波動(dòng)率的統(tǒng)計(jì)測(cè)量，其核心在于構(gòu)造證券組合價(jià)值變化的概率分布，基本思想是利用資產(chǎn)組合價(jià)值的歷史波動(dòng)信息來推斷未來情形，只不過對(duì)未來價(jià)值波動(dòng)的推斷給出的不是一個(gè)確定值，而是一個(gè)概率分布。因此計(jì)算他們的關(guān)鍵在于對(duì)金融資產(chǎn)收益率序列擬合一個(gè)合適的分布。傳統(tǒng)方法對(duì)于此問題的研究大多簡(jiǎn)單地假設(shè)收益波動(dòng)服從正態(tài)分布，而目前許多研究發(fā)現(xiàn)金融資產(chǎn)收益率時(shí)間序列不完全服從以上分布的假設(shè)，而是具有尖峰厚尾的特性，其波動(dòng)具有聚集性和時(shí)變性，并且具有杠桿效應(yīng)。為了刻畫尖峰厚尾等金融時(shí)間序列所常有的性質(zhì)，本文提出用GARCH模型來捕獲金融資產(chǎn)時(shí)間序列這一特性。

2.1 GARCH模型的基本思想原理

為了充分地描述金融資產(chǎn)收益率的波動(dòng)特性，在原有的ARCH模型基礎(chǔ)上，Tim Bollerslev在1986年該模型中增加了q個(gè)自回歸項(xiàng)，稱為推廣的ARCH（GARCH）模型。該推廣的模型解決了原有模型固有的缺點(diǎn)，使待估參數(shù)大為減少，并且提高了計(jì)算的準(zhǔn)確性。GARCH模型的一般表達(dá)式為：

第一個(gè)方程是建立在ARMA模型基礎(chǔ)上的均值方程，rt為收益率序列，μt為收益的無條件期望值，目的是過濾掉時(shí)間序列的線性相關(guān)。第二個(gè)方程為條件方差方程，ai為滯后期參數(shù)，βj為方差參數(shù)，其中=Var(εt|φt-1)，φt-1是 t-1 及 t-1時(shí)刻之前的全部信息，這里可以理解為過去所有殘差的正加權(quán)平均，這與波動(dòng)率的聚集效應(yīng)相符合，即波動(dòng)較大的地方往往也跟隨著較大的波動(dòng)，波動(dòng)較小的地方往往也跟隨較小的波動(dòng)。

在GARCH模型中殘差分布通常有三種：正態(tài)分布、學(xué)生t分布和廣義誤差分布（Generalized Error Distribution,GED）。以往的分析過程中，我們通常假設(shè)收益率殘差分布服從正態(tài)分布，但正態(tài)性不足以反映收益率的尖峰厚尾性，因此Nelson和Hamilton等提出學(xué)生t分布和廣義誤差分布來反映金融時(shí)間序列這一特有的性質(zhì)。正態(tài)分布、學(xué)生t分布和廣義誤差分布其密度函數(shù)分別為：

其中 Γ(·)為伽馬函數(shù)，v為自由度，在 t分布中，當(dāng) v趨近與時(shí)，t分布收斂于正態(tài)分布；而在GED分布中，當(dāng)v＜2時(shí)，GED表現(xiàn)為厚尾，當(dāng)v=2時(shí)，GED為正態(tài)分布，當(dāng)v＞2時(shí)則表現(xiàn)為瘦尾。

2.2 基于GARCH模型的CVaR計(jì)算過程

利用GARCH模型計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差σt，我們可以得到相應(yīng)的t時(shí)刻VaR的計(jì)算公式：

其中，pt-1是第t-1日的結(jié)算價(jià)格，σt為時(shí)變方差，f(q)為某一置信水平c下的分位數(shù)，由定義可知，CVaR為損失大于某個(gè)給定的VaR值條件下的期望損失，因此，若用a表示對(duì)應(yīng)于某一置信水平c的分位數(shù)，用q表示大于a的分位數(shù)，則CVaR可通過下式求出：

其中，pt-1是第t-1日的結(jié)算價(jià)格，σt為時(shí)變方差，f(q)為收益率序列服從分布的密度函數(shù)，a為某一置信水平c下的分位數(shù)。由于正態(tài)分布、廣義誤差分布、學(xué)生t分布和其密度函數(shù)上面已給出，因此，三種不同分布下CVaR值分別為：

2.3 CVaR模型的準(zhǔn)確性檢驗(yàn)及結(jié)果分析

CVaR模型的準(zhǔn)確性檢驗(yàn)是指CVaR模型的測(cè)量結(jié)果對(duì)實(shí)際損失的覆蓋程度。例如，假定給出了95%置信度下的CVaR，則CVaR模型的準(zhǔn)確性是指實(shí)際損益結(jié)果超過CVaR的概率是否小于5%。通行的方法是Kupiec(1995)提出的失敗頻率檢驗(yàn)法。假設(shè)樣本總數(shù)為N，實(shí)際損失超出CVaR的估計(jì)的天數(shù)為P記為失敗，失敗的期望概率為1-c，若溢出率即失敗率說明模型低估了風(fēng)險(xiǎn)；若固然表明模型的預(yù)測(cè)結(jié)果覆蓋了實(shí)際的損失，但是太小的η卻說明模型的估計(jì)過于保守。

3.4 基于GARCH模型的CVaR方法實(shí)證分析

為了突出樣本數(shù)據(jù)的選取具有代表性，使實(shí)證研究更具說服力。本文以上證180數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，對(duì)我國(guó)股票市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行實(shí)證分析。選取樣本范圍為2003年1月到2004年5月，共334個(gè)交易日數(shù)據(jù)。分析與計(jì)算借助Matlab6.5軟件完成。收益率采取連續(xù)復(fù)合收益（對(duì)數(shù)收益）：

其中pt和pt-1分別為上證第t和t-1個(gè)交易日收盤價(jià)。首先根據(jù)原始數(shù)據(jù)由MATALAB編程計(jì)算出上證180指數(shù)的日收益率，然后作出其日收益率的時(shí)間序列圖和直方圖(圖略)。上證180指數(shù)收益率序列的基本統(tǒng)計(jì)特征如下表所示：

從上表關(guān)于上證180指數(shù)收益率序列的基本統(tǒng)計(jì)特征值中可以得出，上證180指數(shù)不符合正態(tài)分布的要求，其JB統(tǒng)計(jì)量大大超出了臨界值。同時(shí)，其偏度小于零，即向左偏移，峰度大于正態(tài)分布峰度值3，即具有肥尾現(xiàn)象。以上表中所得出的結(jié)論，我們可以從上證180指數(shù)的收益率時(shí)間序列圖和直方圖中得到很好的論證：我國(guó)股票市場(chǎng)收益率序列存在明顯的波動(dòng)聚集和尖峰、肥尾現(xiàn)象，傳統(tǒng)的基于正態(tài)分布假設(shè)的靜態(tài)模型不足以撲捉金融時(shí)間序列這一特性。因此，我們選擇基于GARCH模型的CVaR方法動(dòng)態(tài)模型來分析其波動(dòng)特性和條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值。

為了便于計(jì)算，對(duì)于波動(dòng)性建模，我們采用GARCH（1，1），即：

利用極大似然值法，對(duì)（8）式進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，可以得到條件序列與μ值。 算出了σt的值，我們將其帶入（12）式，便可以求得正態(tài)分布下傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR的大小。同時(shí)，由（13）式可知，利用極大似然值法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)后，得到的條件序列與μ值一起帶入下式：

Model GARCH(1,1)-N-VaR GARCH(1,1)-t-CVaR最小值0.0015 0.0021最大值0.075 0.084平均值0.036 0.067標(biāo)準(zhǔn)差0.0087 0.015失敗天數(shù)28 9失敗率0.065 0.028

從上表可以看出，由GARCH(1,1)-t-CVaR計(jì)算所得平均值在大于GARCH(1,1)-N-VaR的平均值，同時(shí)由GARCH(1,1)-N-VaR模型計(jì)算所得失敗率0.065大于失敗率期望值說明該模型計(jì)算所得風(fēng)險(xiǎn)低估了實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)大小。因此，與傳統(tǒng)的基于正態(tài)分布假設(shè)計(jì)算的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR相比，基于GARCH模型的學(xué)生t分布所計(jì)算的條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值能夠更加客觀、真實(shí)地度量信用風(fēng)險(xiǎn)大小。

3 結(jié)論

本文主要介紹了VaR和CVaR的一些基本概念和計(jì)算方法，在VaR基礎(chǔ)上衍生出來的CVaR模型，不僅繼承了傳統(tǒng)VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)定模型的優(yōu)點(diǎn)，更重要的是它對(duì)尾部風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了定量描述，通過尾部風(fēng)險(xiǎn)求平均的原理，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的預(yù)測(cè)更準(zhǔn)確、保守，符合風(fēng)險(xiǎn)管理謹(jǐn)慎的原則。同時(shí)具有連續(xù)性、一次可加性、正均性、凸性、一次單調(diào)，二次遞增等良好的數(shù)學(xué)特性。針對(duì)許多金融時(shí)間序列模型，其收益率分布所表現(xiàn)出的“尖峰”“厚尾”等特性，而簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)正態(tài)分布，學(xué)生t分布對(duì)其特性無法捕獲。本文提出GARCH模型，并通過實(shí)證分析，說明該模型能較好地處理異方差問題，并能有效地消除收益率分布的尖峰厚尾性影響。在研究的過程中，筆者也發(fā)現(xiàn)一些疑點(diǎn)和今后有待進(jìn)一步解決的問題。首先GARCH模型測(cè)度金融風(fēng)險(xiǎn)收益率時(shí)，對(duì)系數(shù)參數(shù)的非負(fù)性約束太強(qiáng)，過度的限制了條件反常的動(dòng)態(tài)性；其次，用CVaR進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度時(shí)，筆者只著眼于計(jì)算既定置信水平下在持有期末這一時(shí)刻的風(fēng)險(xiǎn)，而忽略了這一持有期內(nèi)收益率劇烈波動(dòng)所帶來的風(fēng)險(xiǎn)，沒有考慮用連續(xù)的CVaR方法度量風(fēng)險(xiǎn)。

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