金融時間序列間的條件相關(guān)性分析與Copula函數(shù)的選擇原則

李述山

（山東科技大學 信息與工程學院，山東 青島 266510）

0 引言

Copula函數(shù)是連接隨機變量邊緣分布的連接函數(shù)，Sklar指出對于一個具有邊緣分布F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m的聯(lián)合分布函數(shù)F，一定存在一個 Copula 函數(shù) C，使得 F(x1，…，xm)=C(F1(x1)，…，F(xiàn)m(xm)）。事實上，Copula函數(shù)描述了變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，運用Copula技術(shù)來分析隨機變量間的相關(guān)性有很多優(yōu)點：與線性相關(guān)系數(shù)相比，由Copula函數(shù)導出的一致性和相關(guān)性測度可以捕捉變量間非線性相關(guān)關(guān)系，因此應(yīng)用范圍更廣、實用性更強；與基于聯(lián)合分布函數(shù)的建模方法相比，Copula模型更為靈活。這表現(xiàn)在如下兩個方面：一是Copula模型不限制邊緣分布的選擇，而且Copula函數(shù)有很多分布族；二是Copula模型將隨機變量之間的相關(guān)程度和相關(guān)模式有機地結(jié)合在一起，不僅可以得到度量相關(guān)程度的相關(guān)參數(shù)，還可以得到描述相關(guān)模式的Copula函數(shù)，可以更全面地刻畫隨機變量間的相關(guān)關(guān)系[1]。因此，Copula技術(shù)在相關(guān)性分析及風險分析等方面得到了廣泛的應(yīng)用。

當我們用Copula函數(shù)來刻畫條件聯(lián)合分布時，就可以進行條件相關(guān)性分析。本文擬建立條件相關(guān)性的概念以及條件相關(guān)性度量，提出相關(guān)性分析中Copula函數(shù)選擇的原則，通過構(gòu)建Copula-EGARCH模型，將兩個金融資產(chǎn)間的條件相關(guān)性轉(zhuǎn)化為標準化殘差間的相關(guān)性進行分析，并進行實證研究。

1 相關(guān)性度量與條件相關(guān)性度量

1.1 相關(guān)性度量

傳統(tǒng)的線性相關(guān)系數(shù)已經(jīng)不適應(yīng)金融風險分析的需要，Kentalτ、α 上尾相關(guān)系數(shù) λL(α)、下尾相關(guān)系數(shù) λU、上尾相關(guān)系數(shù)λL、下尾相關(guān)系數(shù)已成為幾種最重要的非線性相關(guān)系數(shù)，它們在金融風險分析中具有重要的作用，且都可以由Copula進行表達[1～4]：

1.2 金融時間序列間的條件相關(guān)性度量

對兩金融時間序列{Xt，t=1，2，…，n}，{Yt，t=1，2，…，n}，記Ψt為t及其以前時刻的信息集，我們關(guān)心的是在Ψt-1已知的條件下，Xt與Yt的相關(guān)程度。

定義1 稱在Ψt-1已知的條件下，Xt與Yt之間的相關(guān)性為Xt與Yt的條件相關(guān)性。

定義2 設(shè)在Ψt-1已知的條件下，Xt與Yt的聯(lián)合分布函數(shù)為 Ht(x，y)，邊際分布函數(shù)分別為 Ft(x)，Gt(y)，則存在一個Copula 函數(shù) Ct使得 Ht(x，y)=Ct(Ft(x)，Gt(y))，稱 Ct為(Xt，Yt)在Ψt-1已知條件下的條件Copula函數(shù)。

類似于非條件相關(guān)性度量，我們定義相應(yīng)的條件相關(guān)性度量。條件τ：τC，條件α上尾相關(guān)系數(shù)條件 α 下尾相關(guān)系數(shù)：條件上尾相關(guān)系數(shù)條件下尾相關(guān)系數(shù)：同樣它們可以由相應(yīng)的條件Copula函數(shù)進行表達。

定義3 設(shè){Xt}，{Yt}為兩個隨機變量序列，定義在Ψ(t-1)已知條件下Xt與Yt之間的條件Kendall相關(guān)系數(shù)為：

τC=P{(Z1t-Z2t)(W1t-W2t)＞0}-P{Z1t-Z2t)(W1t-W2t)＜0}

其中(Z1t，W1t）和(Z2t，W2t)獨立且與(Xt，Yt)|Ψ(t-1)同分布。

τC度量了Xt與Yt在Ψ(t-1)已知的條件之下變化的一致性程度。

定義 4 設(shè) {Xt}，{Yt} 為兩個隨機變量序列，(Zt，Wt）=(Xt，Yt)|Ψ(t-1)的聯(lián)合分布函數(shù)為Ht(x,y)，邊際分布函數(shù)分別為Ft(x)，Gt(y)，則 Xt與 Yt在 Ψ(t-1)已知條件下的條件 α 左尾相關(guān)系數(shù)和條件α右尾條件相關(guān)系數(shù)分別定義為：

左尾相關(guān)系數(shù)和右尾條件相關(guān)系數(shù)分別定義為：

結(jié)論：設(shè)(Zt，Wt）=(Xt，Yt)|Ψ(t-1)對應(yīng)的 Copula 函數(shù)為 Ct，則

2 相關(guān)性分析中Copula函數(shù)的選擇原則

采用Copula技術(shù)進行相關(guān)性分析，就要求Copula函數(shù)要很好地刻畫各種非線性相關(guān)關(guān)系，這體現(xiàn)在兩個方面：一是Copula函數(shù)要能很好地擬合實際數(shù)據(jù)；二是Copula函數(shù)要能夠充分反映各變量間的非線性相關(guān)性指標。因此我們提出如下選取原則。

2.1 Copula函數(shù)與經(jīng)驗Copula函數(shù)的擬合程度要高

首先，所選擇Copula函數(shù)要通過擬合優(yōu)度檢驗，如K-S檢驗、χ2擬合優(yōu)度檢驗等。文[9]引入了一個評價Copula函數(shù)的χ2擬合優(yōu)度的擬合優(yōu)度檢驗法（以二元情況為例）：設(shè)(U，V)為邊緣分布均為[0，1]上均勻分布的隨機向量，(uk，vk)（k=1，2，…，n）為樣本，將[0，1]均勻分割成 m×m 個單元格 G(i，j)（i，j=1，2，…，m）記 Aij為落入單元格 G(i，j)內(nèi)的實際頻數(shù)，Bij表示落入單元格G(i,j)內(nèi)的理論頻數(shù)，則在原假設(shè)H0:(U,V)～C(u,v)成立時

漸進服從自由度為m2-1的χ2分布。在實際應(yīng)用中，觀測點個數(shù)過少的單元格通?？梢院喜?，若需要估計的未知參數(shù)個數(shù)為p，合并的單元格數(shù)為q，那么自由度將減少到m2-p-q-1。

其次，在通過擬合優(yōu)度檢驗檢驗的條件下，擬合程度越高越好。記C(u,v)與C～(u,v)分別為Copula函數(shù)及相應(yīng)的經(jīng)驗Copula函數(shù)，則的大小刻畫了 Copula函數(shù)對數(shù)據(jù)的擬合程度，Wn的取值越小，擬合程度越高。

2.2 能夠較全面地刻畫非線性相關(guān)性

Kendall的τ、α上尾相關(guān)系數(shù)與α下尾相關(guān)系數(shù)等是重要的相關(guān)性指標，Copula函數(shù)的選擇要較好地反映這些相關(guān)性指標。

（1）Kental的 τ：設(shè)(ξ，η)為二維隨機向量，基于(ξi，ηi)（i=1，2，…，n）((ξi，ηi)為(ξ，η)的樣本)的 τ的非參數(shù)估計量為[1]：

（2）α上尾相關(guān)系數(shù)與α下尾相關(guān)系數(shù)

記 C(u，v)為(ξ，η)對應(yīng)的 Copula 函數(shù)，(u，v)是相應(yīng)的經(jīng)驗 Copula 函數(shù)，由于(u，v)是 C(u，v)的估計量，因此，我們用如下二式作為α上、下尾相關(guān)系數(shù)的非參數(shù)估計：

即用參數(shù)估計法得到的Kendall的τ、α上、下尾相關(guān)系數(shù)的估計要與上述非參數(shù)估計接近。

上述原則對條件Copula函數(shù)的選擇同樣適用。

3 基于Copula-EGARCH模型的條件相關(guān)性分析

假設(shè)X1t，X2t為t時刻兩項資產(chǎn)（或資產(chǎn)組合）的對數(shù)收益率，用Copula-EGARCH模型刻畫：

引理[2]連接函數(shù)對于隨機變量的嚴格單調(diào)增變換是不變的。

由式（10）可以看出，在t-1時刻的信息集Ψt-1給定的條件下，Xt=(X1t，X2t)是 εt=(ε1t，ε2t)的嚴格增變換，因此有如下推論。

推論 收益率向量Xt=(X1t，X2t)在Ψt-1已知條件下的條件 Copula 函 數(shù) 與 標 準 化 殘 差 εt=(ε1t，ε2t) 的 Copula 函 數(shù) 相同，因此X1t與X2t之間的條件相關(guān)性與ε1t，ε2t之間的相關(guān)性相同。

由推論可以看出，X1t與X2t之間的條件相關(guān)性可以通過殘差 ε1t，ε2t之間的相關(guān)性獲得。 由于 εt=(ε1t，ε2t)（t=1，2，…，T）獨立同分布，可以視為來自同一個二維總體的樣本，因此ε1t，ε2t之間是常相關(guān)的，從而X1t與X2t之間的條件相關(guān)性是常相關(guān)的，其相關(guān)性參數(shù)可以用通常的參數(shù)估計法進行估計。

4 實證分析

本文采用上證綜指與深證成指數(shù)據(jù)，利用4種常用的Archimedean Copula[3～6]：Gumble Copula、Clayton Copula、GSCopula和BB1 Copula進行實證研究 （Frank Copula不能捕捉尾部相關(guān)性，故不采用），其中GS Copula與BB1 Copula的分布函數(shù)的表達式分別為：

CGS(u,v,θ)=[1+((u-1-1)θ+(v-1-1)θ)-1/θ]-1（θ≥-1，θ≠0）

CBB1(u,v,θ,δ)={1+[(u-δ-1)θ+(v-δ-1)θ)1/θ}-1/δ（θ≥-1，θ≠0，δ＞0）

4.1 樣本選取與參數(shù)估計

本文采用的樣本數(shù)據(jù)為2000年1月4日至2008年6月27日的上證綜指與深證成指的收盤價pit（i=1，2），總樣本數(shù)為2009，以對數(shù)收益率為研究對象，對數(shù)收益率{rit}定義為:rit=100(lnpit-lnpit-1)，共2008對日收益率數(shù)據(jù)。

基于金融序列的尖峰厚尾特性，我們采用GED分布對EGARCH模型建模，用Eviews軟件對EGARCH模型（10）參數(shù)進行估計，通過編程對誤差分布進行K-S檢驗，參數(shù)估計與檢驗統(tǒng)計量Dn的結(jié)果見表1。

利用如上4種Archimedean Copula函數(shù)對二殘差序列進行擬合，通過Matlab編程得到Copula參數(shù)的極大似然估計，將[0,1]2均勻分成6×6的單元格進行χ2擬合優(yōu)度檢驗，得統(tǒng)計量M（自由度），計算Wn的值，結(jié)果見表2。

表1說明兩個序列用EGARCH模型擬合具有良好的效果。表2表明在水平0.05下只有GS-Copula與BB1 Copula能夠通過χ2擬合優(yōu)度檢驗，且BB1 Copula擬合效果最好。

4.2 Copula函數(shù)的確定與相關(guān)性分析

表1 模型參數(shù)估計結(jié)果與K-S檢驗統(tǒng)計量Dn值

表2 Copula的參數(shù)估計值、及χ2擬合優(yōu)度檢驗統(tǒng)計量M（自由度）的值以及Dn值

表3 τ、λU、λL的 Copula 估計值

表4 α條件上尾相關(guān)系數(shù)與α條件下尾相關(guān)系數(shù)估值

一方面，從表3及表4可以看出，4種Copula中只有GS Copula與BB1 Copula能夠較全面地反映α條件上尾相關(guān)性、α條件下尾相關(guān)性以及條件τ，因此，只有GS Copula與BB1 Copula能較好地反映上證綜指與深證成指之間的條件相關(guān)性。

另一方面，由GS-Copula與BB1-Copula得到的相關(guān)性指標可以看出，上證綜指與深證成指之間具有很強的條件相關(guān)性，條件接近0.75，條件τ上尾相關(guān)系數(shù)、條件下尾相關(guān)系數(shù)都在0.7以上。

5 結(jié)論與分析

本文類似于通常的非線性相關(guān)性度量，建立了條件τ等幾個條件相關(guān)性度量，提出了相關(guān)性分析中Copula函數(shù)選擇的兩個原則，通過構(gòu)建Copula-EGARCH模型，將兩個金融資產(chǎn)間的條件相關(guān)性轉(zhuǎn)化為標準化殘差間的相關(guān)性進行分析，對上證綜指與深證成指數(shù)據(jù)進行實證研究，發(fā)現(xiàn)在常見的幾種Archimedean Copula中GS-Copula與BB1 Copula對金融市場相關(guān)性的描述具有良好的效果，能夠較全面地反映兩個市場之間各種非線性相關(guān)性，并且滬市與深市之間的條件相關(guān)性很強。同時，通過GS-Copula與BB1 Copula得到的相關(guān)性指標可以看出：滬市與深市之間具有很強的條件相關(guān)性，并且在下跌時條件相關(guān)性更強。這說明如下三個問題：第一，兩市具有共同的外部影響因素，如重大的利好或利空消息或其它市場的信息會對兩市制造類似的影響，即市場的外部驅(qū)動是類似的；第二，身在滬市的投資者密切關(guān)注著深市的市場變化，反之亦然；第三，投資者對其它市場的變化相當敏感，對其它市場下行變化更加敏感。

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