貝葉斯計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)及面板數(shù)據(jù)中的貝葉斯推斷

李小勝

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)系，安徽 蚌埠 233030）

0 引言

隨著貝葉斯理論的發(fā)展和計(jì)算機(jī)模擬等數(shù)值計(jì)算技術(shù)的提高，貝葉斯技術(shù)已大量應(yīng)用在各門(mén)科學(xué)當(dāng)中，而把貝葉斯理論應(yīng)用到計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，是上世紀(jì)60年代以來(lái)在一大批統(tǒng)計(jì)學(xué)家和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家的共同努力下，迅速發(fā)展起來(lái)的。貝葉斯計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展主要得益于60年代的Jacques Dréze,Tom Rothenberg,Walter Fisher,Albert Ando,Gordon Kaufman,Arnold Zellner等人。其中 Zellner的《An Introduction to Bayesian Analysis in Econometrics》一書(shū)的出版標(biāo)志著貝葉斯計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的真正誕生。該書(shū)較為全面地闡述了貝葉斯計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的大多數(shù)專(zhuān)題。

隨后出版的大多數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的教科書(shū)也都含有貝葉斯計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的章或節(jié)，例如Maddala（1978），Intriligator（1978），Malinvaud（1980），Judge et al（1985），Chow(1983)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)教課書(shū)。相比60年代以前人們應(yīng)用的非貝葉斯計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的方法，這個(gè)方面的文獻(xiàn)和書(shū)籍多了起來(lái)。Zellner(1985)對(duì)貝葉斯計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論發(fā)展進(jìn)行了回顧，秦朵（Qin,1996）從另一個(gè)角度也進(jìn)行了回顧。Poirier,D.J.（2006）更是對(duì)國(guó)外（1970～2000）幾種重要的期刊使用貝葉斯方法在經(jīng)濟(jì)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)文章中的數(shù)量的發(fā)展速度進(jìn)行了回顧。當(dāng)代許多杰出的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家如Geweke,Litterman,Dempster,Sims,Maddala,Chib等都應(yīng)用貝葉斯計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)。華人計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家秦朵（1994）就應(yīng)用貝葉斯計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，李宏毅（1997）把貝葉斯計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用到面板數(shù)據(jù)分析當(dāng)中。周?chē)?guó)富（1990）把貝葉斯計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用到資產(chǎn)定價(jià)和資產(chǎn)組合中。而國(guó)內(nèi)研究貝葉斯理論的人員很多，但是研究貝葉斯計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的文獻(xiàn)并不是很多，只有朱慧明（2006）研究了貝葉斯計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的幾個(gè)重要專(zhuān)題，并深入地進(jìn)行了討論。本文將首先比較經(jīng)典學(xué)派與貝葉斯學(xué)派的異同；然后，給出面板數(shù)據(jù)中應(yīng)用貝葉斯方法的一些優(yōu)勢(shì)與結(jié)果。

1 貝葉斯學(xué)派與經(jīng)典學(xué)派之間的差異及其分析的優(yōu)點(diǎn)

貝葉斯學(xué)派與經(jīng)典學(xué)派之間主要差異是明顯的。首先，兩個(gè)學(xué)派的核心差別是對(duì)于概率的不同定義。經(jīng)典學(xué)派認(rèn)為概率可以用頻率來(lái)進(jìn)行解釋?zhuān)烙?jì)和假設(shè)檢驗(yàn)可以通過(guò)重復(fù)抽樣來(lái)加以實(shí)現(xiàn)。而貝葉斯學(xué)派認(rèn)為概率是一種信念。結(jié)合這種信念加以假設(shè)檢驗(yàn)（先驗(yàn)機(jī)會(huì)比），當(dāng)數(shù)據(jù)出現(xiàn)以后就產(chǎn)生后驗(yàn)機(jī)會(huì)比。這種方法結(jié)合了先驗(yàn)和樣本信息輔助假設(shè)檢驗(yàn)。其次，兩者差異體現(xiàn)在使用信息不同，經(jīng)典學(xué)派使用了總體信息和樣本信息，總體信息即總體分布或總體所屬分布族的信息，樣本信息即抽取樣本(數(shù)據(jù))提供給我們的信息。而貝葉斯學(xué)派除利用上述兩種信息外，還利用了一種先驗(yàn)信息，即總體分布中未知參數(shù)的分布信息。兩者在使用樣本信息也有差異，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)對(duì)某個(gè)參數(shù)的估計(jì)θ^說(shuō)是無(wú)偏的，其實(shí)是利用了所有可能的樣本信息，貝葉斯學(xué)派只關(guān)心出現(xiàn)了的樣本的信息。而且貝葉斯學(xué)派將未知參數(shù)看作是一個(gè)隨機(jī)變量，用分布來(lái)刻劃，即抽樣之前就有有關(guān)參數(shù)問(wèn)題的一些信息，先驗(yàn)信息主要來(lái)自經(jīng)驗(yàn)和歷史資料。而經(jīng)典統(tǒng)計(jì)把樣本看成是來(lái)自具有一定概率分布的總體，所研究的對(duì)象還是總體，而不局限于數(shù)據(jù)本身，將未知參數(shù)看作常量。

貝葉斯分析方法的優(yōu)點(diǎn)也很多，與頻率方法比較貝葉斯方法充分利用了樣本信息和參數(shù)的先驗(yàn)信息，在進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)，通常貝葉斯估計(jì)量具有更小的方差或平方誤差，能夠得到更精確的預(yù)測(cè)結(jié)果；貝葉斯HPD（最大后驗(yàn)）置信區(qū)間比不考慮參數(shù)先驗(yàn)信息的頻率置信區(qū)間短；貝葉斯方法能對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)或估計(jì)問(wèn)題所做出的判斷結(jié)果進(jìn)行量化評(píng)價(jià)，而不是頻率統(tǒng)計(jì)理論中的接受，拒絕的簡(jiǎn)單判斷；在基于無(wú)失效數(shù)據(jù)的分析工作，貝葉斯統(tǒng)計(jì)有著重要優(yōu)點(diǎn)（韓明，2005），一批產(chǎn)品中抽出10進(jìn)行檢驗(yàn)，若無(wú)不合格品時(shí)，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)認(rèn)為次品率為0而貝葉斯統(tǒng)計(jì)得到的是1/12，可見(jiàn)貝葉斯估計(jì)更謹(jǐn)慎。

2 面板數(shù)據(jù)的貝葉斯推斷

面板數(shù)據(jù)是用來(lái)描述一個(gè)總體中給定樣本在一段時(shí)間內(nèi)的情況，并對(duì)樣本中每一個(gè)樣本單元都進(jìn)行多重觀察。這樣的數(shù)據(jù)在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱(chēng)為Panel Data，而統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱(chēng)為L(zhǎng)ongitudinal Data。面板數(shù)據(jù)常用雙下標(biāo)變量表示。例如

yit,i=1,2,…,N;t=1,2,…,T

N表示面板數(shù)據(jù)中含有N個(gè)個(gè)體。T表示時(shí)間序列的最大長(zhǎng)度。若固定t不變，yi.,(i=1,2,…,N)是橫截面上的N個(gè)隨機(jī)變量；若固定i不變，y.t,(t=1,2,…,T)是縱剖面上的一個(gè)時(shí)間序列（個(gè)體）。 Mundlak（1961）、Balestra 和 Nerlove（1966）最早把Panel Data引入到經(jīng)濟(jì)計(jì)量中。從此以后，大量關(guān)于Panel Data的分析方法、研究文章如雨后春筍般出現(xiàn)在經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)、社會(huì)學(xué)、心理學(xué)等領(lǐng)域。面板數(shù)據(jù)分析的文章可謂是浩如煙海，Baltagi與Hisao各自的書(shū)中都進(jìn)行了回顧。

而上面的文章和書(shū)籍中的面板數(shù)據(jù)分析都是在頻率學(xué)派的觀點(diǎn)下闡述的，但是把Bayes方法融入面板數(shù)據(jù)的文章不是很多，且大多數(shù)文章只給出了在二次損失函數(shù)下的貝葉斯后驗(yàn)的均值和后驗(yàn)方差，并沒(méi)有給出怎么得來(lái)的。本文就用貝葉斯方法來(lái)分析面板數(shù)據(jù)看其優(yōu)勢(shì)所在。面板數(shù)據(jù)的模型常用下式表示：

yit=ait+xitβit+εit（i=1,2……N；t=1,2,……T）

其中，Xit=(x1it,x2it，xkit)'是 k×1 的外生變量向量；βit=(β1it,β2it，βkit) 是 k×1 的參數(shù)向量；ait是截距項(xiàng)，k 為解釋變量的個(gè)數(shù)ε；εit是k×1的誤差擾動(dòng)項(xiàng)（標(biāo)量）。下標(biāo)it表示第i個(gè)單位（個(gè)人、家庭、公司和國(guó)家等）在第t期的情況。

通常我們的假定是截距項(xiàng)和斜率項(xiàng)不隨時(shí)間變化，而且斜率項(xiàng)通常又假定是不變的，截距項(xiàng)隨個(gè)體不同而不同。有式：yit=ai+Xitβ+εit。 上式我們可以用一個(gè)向量來(lái)表示：y=Xβ+ε。其中我們假設(shè)ε～N（0，Ω），那么這個(gè)面板數(shù)據(jù)模型的y服從均值為Xβ，方差為Ω的正態(tài)分布y～N(Xβ,Ω)。在Ω已知的條件下我們可以應(yīng)用廣義最小二乘法的均值和方差的估計(jì)量，分別為：

β^=(X'Ω-1X)-1X'Ω-1y，Var(β^)=(X'Ω-1X)-1

由于ε到y(tǒng)的雅可比變換是一一對(duì)應(yīng)的變換，所以似然函數(shù)為：

f(y|β，Ω)=（2π）-NT/2|Ω|-1/2exp{-(1/2)(y-Xβ)'Ω-1(y-Xβ)}

記 L(β，Ω)=（2π）-NT/2|Ω|-1/2exp{-(1/2)(y-Xβ)'Ω-1(y-Xβ)}=(2π)-NT/2|Ω|-1/2exp{-(1/2)(y-Xβ^)'Ω-1(y-Xβ^)+(β-β^)1X'Ω-1X(β-β^)}

由于：(y-Xβ)'Ω-1(y-Xβ)=(y-Xβ^)'Ω-1(y-Xβ^)+(β-β^)1X'Ω-1X(β-β^)，貝葉斯分析中上述這個(gè)模型的先驗(yàn)假設(shè)大致可以分為四種：①已知 Ω 而 β 未知，我們假設(shè) β 服從 π(β|Ω)～N（β0，Ω0）；②Ω和β都未知，我們假設(shè)其服從模糊先驗(yàn)（Jeffreys先驗(yàn)）分布為：π(Ω)∝|Ω|-（p+1）/2；③已知 β 而 Ω 未知，我們假設(shè)其服從 π(Ω)～I(xiàn)Wp(n,Ω0)，IW 表示逆 Wishart分布。 維度為 p，自由度為n，Ω0為已知陣，又叫超參數(shù)；④Ω和β都未知，我們假設(shè)其服從共軛先驗(yàn)分布為：π(β|Ω)∝π(β|Ω)π(Ω)，即 π(Ω)服從逆Wishart分布，π(β|Ω)表示給定Ω下的正態(tài)分布。本文只討論第一種情況，第二種情況得到的后驗(yàn)估計(jì)與廣義最小二乘法相同。第三種一般很少出現(xiàn)，方差信息都已知而參數(shù)還未知，一般不用。第四種情況由于超參數(shù)太多，一般只有理論上探討的意義。所以若我們?nèi)ˇ碌南闰?yàn)分布為β～N(β0，H)，那么先驗(yàn)密度函數(shù)為：

π(β)=（2π）-K/2|H|-1/2exp{-(1/2)(β-β0)'H-1(β-β0)

根據(jù)貝葉斯定理。后驗(yàn)密度似然函數(shù)先驗(yàn)密度。即π(β|y)=π(β)Lπ(β，Ω)。 有：

π(β|y)∝exp{-(1/2)[(β-β^)'X'Ω-1X(β-β^)+(β-β0)'H-1(β-β0)]}

上面的公式中我們已略去與β無(wú)關(guān)的項(xiàng)，[……]中可以表示為：

C*中不含有 β，那么最終后驗(yàn)密度為：π(β|y)∝exp{-(1/2)(β-b)'V-1(β-b)]}，即 β～N(b,V)，在二次損失函數(shù)下后驗(yàn)均值就是關(guān)于后驗(yàn)分布的期望值：

后驗(yàn)方差為：var(β|y)=V=(X'Ω-1X+H-1)-1

3 結(jié)論

從上面的均值和方差可以看出，面板數(shù)據(jù)的貝葉斯計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的后驗(yàn)均值是廣義最小二乘法和先驗(yàn)均值的加權(quán)，后驗(yàn)方差是先驗(yàn)方差和樣本方差的加權(quán)；貝葉斯方法得到的均值和方差綜合了先驗(yàn)信息、樣本信息，使推斷更為科學(xué)合理。

正如Zellner(1997）所說(shuō)：在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，經(jīng)典學(xué)派不用先驗(yàn)信息是很難讓讓人相信的，他們常在想誤差項(xiàng)是個(gè)什么分布，有無(wú)自相關(guān)，建立怎樣的模型（是參數(shù)的，還是非參數(shù)模型），選擇一個(gè)什么樣的顯著性水平，檢驗(yàn)的勢(shì)如何？例如經(jīng)典學(xué)派在假設(shè)隨機(jī)系數(shù)模型和時(shí)變參數(shù)模型，那么他們對(duì)參數(shù)分布作出的假定就相當(dāng)于貝葉斯學(xué)派，給出參數(shù)的具體分布一樣。當(dāng)然貝葉斯學(xué)派的先驗(yàn)信息有時(shí)也是有很大局限性的，受個(gè)人知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的影響，先驗(yàn)分布選擇的帶人為的主觀性等，這也是經(jīng)典學(xué)派不用貝葉斯方法的原因?？傊?，從上述分析可以看出，如果貝葉斯方法使用的恰當(dāng)會(huì)使推斷更為精確。

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