考慮缺貨風(fēng)險的具有模糊隨機(jī)需求的訂貨量模型

李 麗，劉 杰

(1.同濟(jì)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 201804；2.德州學(xué)院 計算機(jī)系，山東 德州 253023；3.復(fù)旦大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200433)

0 引言

供應(yīng)鏈上的很多制造型企業(yè)為客戶提供準(zhǔn)時化（Just In Time，JIT）供應(yīng)服務(wù)。在市場需求不確定情況下,由于制造業(yè)生產(chǎn)周期長，供應(yīng)商為提供JIT服務(wù)，需要保持很高的庫存水平。然而，企業(yè)由于庫存成本有限，難以維持高的庫存水平，因而常常面臨缺貨的風(fēng)險。傳統(tǒng)的EOQ模型不考慮缺貨的風(fēng)險，因而不能很好地解決現(xiàn)實中的需求不確定環(huán)境中的訂貨量決策問題。

有些情況下，供應(yīng)鏈上的市場需求具有模糊隨機(jī)性。當(dāng)市場需求被描述為隨機(jī)變量時，很多學(xué)者基于概率測度研究問題。而當(dāng)需求為模糊變量時，學(xué)者們基于模糊數(shù)學(xué)體系中的可能性、必要性和可信性等測度（其中可信性測度被認(rèn)為是與概率測度平行的概念[1]）研究問題。因此，在模糊隨機(jī)需求環(huán)境中，本文擬基于模糊隨機(jī)理論中的機(jī)會測度與模糊理論中的可信性測度方法探討庫存策略的訂貨量決策模型。Tan和Tang[2]基于可信性概念將CSL(Cycle Service Level,補(bǔ)給周期供給水平)定義為在一個補(bǔ)給周期中不出現(xiàn)貨物短缺的可信性。同樣地，本文基于模糊隨機(jī)機(jī)會測度方法表示補(bǔ)給周期供給水平，描述不發(fā)生缺貨的模糊隨機(jī)事件。

與Tan和Tang[2]的研究不同，本文假設(shè)提前期為固定值,提出模糊隨機(jī)需求的周期盤點庫存策略的訂貨量決策模型。針對管理者設(shè)置的不發(fā)生缺貨的置信水平，決策合理的訂貨量以最小化庫存成本，并通過計算示例分析對訂貨量的影響。

為方便表述，本文采用下列符號：

L——提前期；

T——檢查周期；

CSL——補(bǔ)給周期供給水平；

S——目標(biāo)庫存水平；

I——當(dāng)前周期檢查時的現(xiàn)有庫存；

Q——訂貨量；

h——單位產(chǎn)品的庫存持有費用；

s——單位產(chǎn)品的缺貨費用；

c1——訂貨費、生產(chǎn)準(zhǔn)備費和配送費用；

B1——庫存管理每周期最大的預(yù)算費用；

B2——最大的存儲空間。

1 模糊隨機(jī)需求與不發(fā)生缺貨模糊隨機(jī)事件的數(shù)學(xué)描述

1.1 模糊隨機(jī)需求的數(shù)學(xué)描述及期望值的計算

本文利用模糊隨機(jī)變量刻畫具有模糊隨機(jī)性的市場需求。關(guān)于模糊隨機(jī)變量及可測性有多種定義，Puri M和Ralescue D[3]（1986）、Kruse R 和 Meyer K[4]（1987）以及 Liu Y和Liu B[5]（2003）根據(jù)各自理論和不同領(lǐng)域的要求，給出了不同的可測性，從而產(chǎn)生了不同的模糊隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)定義及測度方法。本文主要利用Liu B和Liu Y[6]（2002）、Liu Y和Liu B[7]（2003）、Liu B[1]（2004）提出的模糊隨機(jī)變量的相關(guān)理論（定義、測度及運(yùn)算方法）。

定義1[7]假設(shè)ξ是一個從概率空間（Ω，A，Pr）到模糊變量集合的函數(shù)。如果對于R上的任何Borel集B，Cr{ξ(ω)∈B}是ω的可測函數(shù),則稱ξ為一個模糊隨機(jī)變量。

定義2[7]設(shè)f:Rn→R是一個可測函數(shù)，并且ξi為定義在概率空間(Ω，A，Pr)上的模糊隨機(jī)變量，i=1,2,…，n，則 ξ=f(ξ1,ξ2,…，ξn)是一個模糊隨機(jī)變量，定義為 ξ(ω)=f(ξ1(ω)，ξ2(ω)，…，ξn(ω))。

定理1[1]如果模糊變量ξ的隸屬函數(shù)為μ，則對實數(shù)集上任意的集合B，有下面的結(jié)論成立：

根據(jù)定理1，設(shè)ξ是隸屬函數(shù)為μ的模糊變量，x和r為實數(shù)。模糊事件ξ≤r的可信性為

例如，設(shè) ξ為三角模糊變量(l1,l2,l3)，其中 l1、l2和 l3為清晰數(shù)，并且 l1＜l2＜l3，ξ的隸屬函數(shù)為

由⑴式可信性的公式得ξ≤r的可信性為：

Cr{ξ≤l1}＜Cr{ξ≤l2}時意味著模糊事件{ξ≤l2}比模糊事件{ξ≤l1}發(fā)生的機(jī)會大。Cr{ξ≤r}=1當(dāng)且僅當(dāng)預(yù)期事件 100%發(fā)生?；诳尚判詼y度，Liu and Liu[6]定義了的期望值，如定義3。

定義3[6]設(shè)ξ為可能性空間(Θ,P(Θ),Pos)上的模糊變量，ξ的隸屬函數(shù)為μ,r為實數(shù)。則稱

為模糊變量ξ的期望值（為了避免出現(xiàn)∞-∞情形，要求上式右端中兩個積分至少有一個有限）。尤其是，如果ξ是一個正的模糊變量，那么

定義4[6]設(shè)ξ為可能性空間(θ,p(θ),pos)上的一個模糊變量，f為 R→R 上的函數(shù)。 則 f(ξ)的期望值 E[f(ξ)]被定義為只要兩個積分中至少有一個是有限的。

在現(xiàn)實的不確定市場環(huán)境中，企業(yè)根據(jù)已有的各種信息描述未來不確定的需求以安排其生產(chǎn)計劃。設(shè)需求D～是一個從概率空間(Ω,A,Pr)到模糊變量構(gòu)成的集合的函數(shù)。Ω=(ω1,w2,…，wn)，d～1，d～2，…，d～n為正的模糊變量。 根據(jù)定義 1，定義需求D～為以下形式的模糊隨機(jī)變量

假設(shè)不確定市場環(huán)境下存在如市場需求比預(yù)計的需求量減少、與預(yù)計的需求量相當(dāng)、比預(yù)計的需求量增多等種隨機(jī)市場情形，用ωi表示不確定市場環(huán)境下的第種隨機(jī)市場情形，用pi(i=1,2,…，n)表示i種市場情形發(fā)生的概率。本文將需求表示為如下形式：

步驟 1：令 e=0。

步驟2：根據(jù)隨機(jī)市場情形因素ω的概率分布p{ωi}=pi，隨機(jī)抽取 ωi={ω1，ω2，…，ωM}∈Ω，得到

步驟3：利用模糊隨機(jī)模擬計算模糊需求期望值。

⑴令k=0。

⑵利用計算機(jī)隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生技術(shù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，服從均勻分布，令Q=ai=r(ci-ai)

1.2 不發(fā)生缺貨模糊隨機(jī)事件的數(shù)學(xué)描述

對不發(fā)生缺貨這個事件的描述，在隨機(jī)的環(huán)境中使用概率測度或可能性測度。在模糊環(huán)境中，使用可信性測度。本文在模糊隨機(jī)環(huán)境中，使用平均機(jī)會測度。平均機(jī)會測度是一個模糊隨機(jī)事件的測度，描述了模糊隨機(jī)事件發(fā)生的平均機(jī)會。在文獻(xiàn)[6][9]中定義并應(yīng)用了平均機(jī)會。

定義 5[10][11]設(shè) ξ=(ξ1,ξ2,…，ξn)為定義在概率空間(0,A,Pr)上的模糊隨機(jī)向量，f:Rn→Rm為可測函數(shù)，則稱

Ch{f{ξ}≤0}(α)=sup{β|Pr{ω∈Ω|Cr{f(ξ(w))≤0}≥β}≥α}(9)為模糊隨機(jī)事件f(ξ)≤0的本原機(jī)會，它是從(0,1]到[0,1]的函數(shù)。

定義 6[12]設(shè) ξ=(ξ1,ξ2,…，ξm)是一個定義在概率空間(0,A,Pr)上的n維模糊隨機(jī)向量，函數(shù)f:Rn→Rm是一個可測函數(shù)，則稱為模糊隨機(jī)事件{f{ξ}≤0}的平均機(jī)會。

在一個補(bǔ)給周期中,不出現(xiàn)貨物短缺模糊隨機(jī)事件的平均機(jī)會測度用CSL來表示。在采用(T,S)策略的企業(yè)中,倉儲管理者在給定的CSL下確定的訂貨量應(yīng)滿足以下條件：

CSL=Ch{一個周期內(nèi)的市場需求D～≤庫存水平S+期望缺貨量}

令 s=Q+I，則

管理者提供一個CSL的置信水平以表明管理者對不發(fā)生潛在缺貨事件的平均機(jī)會的置信水平。本文給出缺貨風(fēng)險下庫存控制的衡量標(biāo)準(zhǔn)：SCL為管理者的庫存管理方案X的置信水平。如果

即不發(fā)生缺貨的平均機(jī)會測度大于管理者給出的置信水平，則方案X是安全的?，F(xiàn)實世界中，如果CSL太低，將會降低供應(yīng)鏈企業(yè)的競爭力。

2 考慮缺貨風(fēng)險的具有模糊隨機(jī)需求的訂貨量模型

本文假設(shè)企業(yè)生產(chǎn)一種類型的產(chǎn)品，單周期、單倉庫。假設(shè)市場需求連續(xù)，每單位時間內(nèi)的需求量不確定。在(T,S)策略下，企業(yè)按照預(yù)定的間隔T定期檢查庫存，并提出訂貨，將庫存補(bǔ)充到目標(biāo)庫存量S。(T,S)控制策略下的存儲狀態(tài)變化如圖1所示。

則一個周期內(nèi)的缺貨量為

設(shè)c1為訂貨費、生產(chǎn)準(zhǔn)備費和配送費等費用的和，定義一個周期內(nèi)的模糊隨機(jī)總費用為則

即

模糊隨機(jī)市場需求下，管理者在不發(fā)生缺貨置信水平、預(yù)算費用和庫存空間的約束下決策最優(yōu)訂貨量以最小化庫存管理的費用期望值。模型的目標(biāo)函數(shù)為：

不發(fā)生缺貨置信水平的約束為：

對于不允許缺貨的模型，一般假設(shè)CSL的值很高。

如果管理者希望一個周期的庫存管理費用不超過預(yù)算費用，則關(guān)于預(yù)算資金的約束為：

其中，B1表示庫存管理每周期最大的預(yù)算資金。

如果倉庫的最大空間容量為B2，則關(guān)于庫存空間的約束為：

綜合(13)～(16)式，模型為：

3 基于模糊隨機(jī)模擬的智能算法

得到機(jī)會函數(shù)的精確值是非常困難的，必須借助于模糊隨機(jī)模擬。本文整合模糊隨機(jī)模擬和遺傳算法求解一般情況下的模型問題。算法中，先用模糊隨機(jī)模擬檢查約束的可行性并計算目標(biāo)函數(shù)值，然后，模糊隨機(jī)模擬與遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）相結(jié)合解模糊隨機(jī)模型。

3.1 模糊隨機(jī)模擬

假設(shè)用Q表示決策變量。為求解提出的模型問題，先處理下列兩種類型的不確定函數(shù)。第一種類型的不確定函數(shù)是

關(guān)于約束的不確定函數(shù)為以下形式：

令

則

因此，估計 g2(g1,α)(ω)值的步驟如下。

步驟1：根據(jù)概率分布pr，從樣本空間Ω中抽取樣本ω1,ω2,…，ωN。

⑴令j=1。

⑶置 xj和 μ(xj)。

⑷j←j+1，如果j≤N，執(zhí)行步驟⑵；否則，執(zhí)行步驟⑸。

步驟3：置N'為αN的整數(shù)部分。

步驟 4：返回序列{β1,β2,…，βN}中第 N'個最大的元素。

估計平均機(jī)會(ω)dα 值）的步驟如下。

步驟1：隨機(jī)抽取N個獨立的服從u(0,1)的隨機(jī)數(shù)αi。

3.1.2 目標(biāo)函數(shù)

步驟 1：令 E=0。

步驟2：根據(jù)概率分布Pr，從樣本空間Ω中隨機(jī)抽取樣本 ωi。

F（yi）=yj=hmax{Q+I-xj,0}+smax{0,xj-Q-I}+c1

⑵計算,a=F(y1)∧F(y2)∧…∧F（yN），b=F(y1)∨F(y2)∨…∨F（yN）。

⑶從[a,b]中隨機(jī)產(chǎn)生z，z為任意實數(shù)。

⑹重復(fù)⑶～⑸步N次。

步驟5：重復(fù)步驟2至步驟3共N次。

步驟4：返回γ的值作為

3.2 基于模糊隨機(jī)模擬的智能算法設(shè)計

模型求解過程如圖2所示。

3.2.1 初始化

由約束函數(shù)1+Q≤B2和Q≥0得到可行集的區(qū)間[Bond1,Bond2]。從區(qū)間[Bond1,Bond2]中隨機(jī)產(chǎn)生一個染色體Q，對于CSL，使用模糊隨機(jī)模擬檢驗染色體的可行性。如果成立，并且也成立，這里,染色體是可行的。保留此染色體。否則，隨機(jī)產(chǎn)生另一個染色體Q。繼續(xù)此初始化過程直到得到可行的pop_size個染色體。

3.2.2 選擇過程

通過旋轉(zhuǎn)賭輪選擇染色體，使得好的染色體有更多的機(jī)會產(chǎn)生后代。

在旋轉(zhuǎn)賭輪之前，通過模糊隨機(jī)模擬計算目標(biāo)函數(shù)值 ，并按照目標(biāo)函數(shù)值從好到壞按照Q1,Q2,…，Qpop-size的順序重排染色體。對模型⒄，期望值越低，染色體越好。利用基于序的評價函數(shù)對每一染色體Q計算再生概率。給出參數(shù)β∈(0,1)，基于序的評價函數(shù) eval(Q)為 eval(Qi)=β(1-β)i-1,i=1,2,…pop-size，i=1意味著是最好的染色體，i=pop-size是最壞的染色體Qi。對于每個染色體，按以下公式計算累積概率：

p0=0，pi=eval(Q1)+eval(Q2)+…+eval(Qi)（i=1,2,…，pop-size）

從區(qū)間(0,Ppop-size]中隨機(jī)產(chǎn)生一個實數(shù)r,r落在(pi-1,pi]中的概率就是第i個染色體被選中的概率。概率與染色體的適應(yīng)度成比例。

旋轉(zhuǎn)賭輪。隨機(jī)產(chǎn)生一個(0,Ppop-size]中的實數(shù)r。如果Pi-1＜r≤Pi，選擇第 i個染色體 Qi(1≤i≤pop-size)。 重復(fù)這兩步pop_size次，選擇出pop_size個染色體。

3.2.3 交叉操作

預(yù)先確定參數(shù)pc作為遺傳系統(tǒng)的交叉概率。當(dāng)?shù)趇次從[0,1]中隨機(jī)產(chǎn)生的實數(shù)r小于pc時，選擇染色體Qi作為父代。

首先，從開區(qū)間（0，1）中產(chǎn)生一個隨機(jī)數(shù)e。然后通過交叉操作產(chǎn)生兩個新染色體X和Y。如果兩個子染色體可行，則用子染色體替代父染色體。否則，保留其中可行的染色體（如果存在的話），然后重新產(chǎn)生一個隨機(jī)數(shù)e進(jìn)行交叉操作，直到獲得兩個可行的子染色體或完成給定次數(shù)的循環(huán)為止。僅用可行的子染色體替代父染色體。

3.2.4 變異操作

預(yù)先設(shè)置一個概率參數(shù)pm對選擇出來的父代染色體進(jìn)行變異。當(dāng)?shù)趇次選擇的從區(qū)間[0,1]隨機(jī)產(chǎn)生的實數(shù)r小于pm時，將染色體Qi作為父染色體。令Q表示一個被選擇的父染色體，以下列方式進(jìn)行變異。

隨機(jī)在(-1,1)中選擇一個變異方向D。令M為一個合適大的正數(shù)。如果Q+MD可行，用這個新染色體作為子染色體。否則，將M作為0和M之間的一個隨機(jī)數(shù)，這樣又得到了一個新的染色體，再檢驗其可行性，直到新的染色體可行為止。如果在一個預(yù)先設(shè)定的迭代次數(shù)內(nèi)不能發(fā)現(xiàn)一個可行解，令M=0。任何情況下，僅用Q=Q+MD替代父染色體Q。

進(jìn)行選擇、交叉和變異后，得到新的染色體，準(zhǔn)備下一輪的進(jìn)化。對上述步驟經(jīng)過給定的循環(huán)次數(shù)之后，算法終止。

4 數(shù)值算例

為了驗證優(yōu)化思想并測試設(shè)計的算法的有效性，本文給出一個數(shù)值例子。

例1.假設(shè)VMI模式下，供應(yīng)商估計的下游企業(yè)的需求為

表1 VMI庫存系統(tǒng)參數(shù)值

設(shè)定算法中的 pop-size=50,β=0.05,pc=0.3,pm=0.2，遺傳迭代1000次，運(yùn)行智能算法。對給定的CSL的置信水平，求得模型⒄的結(jié)果如表2所示，相應(yīng)的最小期望費用也如表2所示。為了滿足條件約束并最小化訂貨量選擇所得到的期望費用，管理者應(yīng)該按表2決策訂貨量。

圖3表明CSL對訂貨量的影響，結(jié)果符合真實的決策行為。

為了進(jìn)一步測試設(shè)計的算法的效率，對GA中不同的參數(shù)值做了更多的試驗。結(jié)果見表3。按照公式“相對誤差=（(實際期望值-最優(yōu)期望值)/最優(yōu)期望值）×100%”，計算出相對誤差，其中最優(yōu)期望值是所有計算出的最優(yōu)目標(biāo)值中最小的。對比目標(biāo)函數(shù)值的結(jié)果，從表3可以看出當(dāng)設(shè)置不同的參數(shù)值時相對誤差不超過0.003%，這表明對設(shè)置的參數(shù)來說，設(shè)計的算法是魯棒的，對解模型問題⒄來說，算法是有效的。

5 結(jié)論

在模糊隨機(jī)環(huán)境中，市場需求是不確定的。由于庫存成本等條件的限制，企業(yè)常常面臨缺貨的風(fēng)險?；谀：S機(jī)事件的機(jī)會測度，本文提出不發(fā)生缺貨的模糊隨機(jī)事件的測度方法。提出當(dāng)市場需求被描述為模糊隨機(jī)變量時，不發(fā)生缺貨置信水平、預(yù)算資金及庫存空間約束的訂貨量問題的模型。此外，設(shè)計基于模糊隨機(jī)模擬的智能算法來解一般的模型問題。數(shù)值算例的結(jié)果和實驗表明，對于解優(yōu)化問題，設(shè)計的算法對于設(shè)定的參數(shù)是魯棒的和有效的，在提出的算法中，解的時間主要花在模糊隨機(jī)模擬上。如果能用一個解析方法來化簡模型，能大大縮短解的時間。

表2 例1的解的比較

表3 例1解的比較(pop-size,β=0.05,Pc=0.3,Pm=0.2)

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