帶漂移項分數(shù)布朗運動下的參數(shù)估計

孫 琳

(廣東工業(yè)大學 應(yīng)用數(shù)學學院，廣州 510090)

0 引言

近年來，為了體現(xiàn)金融資產(chǎn)的長期記憶性，眾多學者采用分數(shù)布朗運動來刻畫金融資產(chǎn)的價格行為模式[1～3]。從而如何估計模型的參數(shù)成了近年來國內(nèi)外學者關(guān)注的問題。文[4]和[5]對標的資產(chǎn)服從幾何布朗運動下的參數(shù)估計進行了研究。文[6～8]對分數(shù)布朗運動模型進行了參數(shù)估計。上述研究都是在連續(xù)情況下對參數(shù)進行估計。對于離散情形的參數(shù)估計，主要有兩種方法。一種是先求出連續(xù)時間樣本的參數(shù)估計量，然后用離散時間樣本逼近[9]；另一種方法是給出過程的離散化形式，然后求出參數(shù)估計量[10]。然而分數(shù)布朗運動既不是馬氏過程也不是鞅，從而使得傳統(tǒng)的空間狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型以及卡爾曼濾波方法不能對其進行參數(shù)估計。本文擬采用極大似然方法對離散模式下帶有漂移項的分數(shù)布朗運動進行參數(shù)估計，并研究估計量均方收斂性和一致收斂性。

本文采用隨機游走逼近分數(shù)布朗運動，從而將傳統(tǒng)的鞅方法應(yīng)用與分數(shù)布朗運動下的參數(shù)估計。具體來說主要將做以下三方面的工作。首先采用極大似然方法，在利用隨機游走逼近分數(shù)布朗運動的條件下，推到出帶漂移項的分數(shù)布朗運動的參數(shù)估計量。其次，利用分數(shù)布朗運動的性質(zhì)證明該估計量在一定條件下滿足均方收斂和一致收斂。最后，給出數(shù)值算例，比較本文結(jié)果與已有結(jié)果，說明本文給出的估計量的精確性。

1 參數(shù)估計及一致收斂性

為了體現(xiàn)標的資產(chǎn)的長期記憶性，近年來，許多學者采用幾何分數(shù)布朗運動刻畫金融資產(chǎn)的價格變化過程，即t時刻標的資產(chǎn)的價格行為模式滿足以下過程：

由文獻[11]知在L1空間中采用黎曼求和可得該隨機微分方程(1)的解可以表示為

其中，S0表示初始時刻標的資產(chǎn)的價格。由此估計模型(1)的參數(shù)等價于估計下面模型的參數(shù)：

從而可以容易對參數(shù)σ進行估計。不失一般性，本文假設(shè)波動率σ=1。同時，很多文獻對赫斯特指數(shù)H進行了參數(shù)估計研究，所以本文著重研究漂移參數(shù)μ。即本文研究下面模型的參數(shù)估計

文獻[10]給出了模型(3)的參數(shù)μ估計，本文旨在給出參數(shù)μ的另外一種形式的估計量，并研究估計量的統(tǒng)計性質(zhì)。為了研究的需要，這里首先給出文獻[12]中的引理。

引理1[12]分數(shù)布朗運動可以采用下面的隨機游走逼近

其中ξi為獨立同分布均值為零方差為1的隨機變量，表示不超過 x 的最大整數(shù)，，且

首先，離散化模型(3)，我們有

將(4)代入(5)中即有

利用(5)，對于每一個 j∈{1，…，Nα}，每個 ξi可以表示為Yi，…，Yj與 μ 的函數(shù)。 因此我們有

其中A=(aij)=進一步我們可以得到

根據(jù)(7)和(8)，對于 j∈{1，…，Nα}，有

其中函數(shù)gj和hj依賴于aij和fij。 從而有

這里我們假設(shè)隨機變量ξi滿足標準正態(tài)分布N(0，1)。從而易得轉(zhuǎn)移密度函數(shù)為

因此似然函數(shù)可以表述為

故得到參數(shù)μ的極大似然估計量為

定理1 μ的極大似然估計量(由式(10)給出)是無偏的，而且在L2空間中滿足均方收斂。

證明：由式(10)，顯然μ^為無偏估計量。同時由于

根據(jù)ξj的獨立性，我們有

我們得到gj滿足下面關(guān)系

從1到Nα-1求和我們得到

因此

從而

另一方面，我們有

將 Nα-1改為 Nα

再由柯西不等式可得

其中C為一個正數(shù)。即

從而有 E|μ^-μ|2≤CN(2-2H)(1-α)，定理證畢。

定理2 μ的極大似然估計量(由式(9)給出)強收斂，即滿足

證明：要證明(12)，利用 Borel-Cantelli定理，只需證明:存在ε使得

取0＜ε＜1-H，則由Chebyshev不等式以及Nelson's hypercontractivity不等式[13]，立即得到

對于足夠大的 p，我們有 2pε+(p-Hp)(1-α)＜-1 如果 α＞-1。從而(13)式成立，再根據(jù)Borel-Cantelli定理易得(12)式也成立，定理證畢。

2 算例

為了說明本文提出的估計量的準確性，我們對本文提出的估計量進行數(shù)值分析。首先根據(jù)文獻[14]的算法產(chǎn)生分數(shù)布朗運動，繼而得到不同的赫斯特指數(shù)下模型(3)的路徑如圖1、圖 2。

同時，我們根據(jù)不同赫斯特指數(shù)，對比文獻[10]和本文提出的估計量。對于每次模擬，設(shè)定N=200且α=1.305。然后根據(jù)估計量的表達式計算所得結(jié)果分別如表1和表2所示。其中表1給出了根據(jù)文獻 [10]結(jié)果計算的估計量均值及標準差；表2給出了根據(jù)本文結(jié)果所得的估計量均值及標準差。

從表中的結(jié)果可以看出，不同赫斯特指數(shù)下漂移參數(shù)的估計均值都非常接近實際值，且方差非常小。從而可以得出只要樣本容量足夠大的話，方差就可能接近于零。同時可以發(fā)現(xiàn)在同樣的前提下，本文提出的估計量比文獻[10]給出的估計量更接近真實值且方差更小，說明了本文提出的估計量的優(yōu)越性。

3 結(jié)論

本文對帶漂移項分數(shù)布朗運動下模型進行了參數(shù)估計，并研究了估計量的收斂性，進一步用數(shù)值算例說明了本文提出的估計量的精確性。對比文獻[10]和本文的估計量，可以得出以下結(jié)論：在理論方面前者提出的估計量不僅依賴于觀察量Yj，同時也依賴于模擬量ξj。而本文提出的估計量僅僅依賴于觀察量Yj。在數(shù)值模擬結(jié)果方面，本文提出的估計量比文獻[10]的估計量具有均值更接近真實值，方差更接近于零的特點。所以本文在理論和實際應(yīng)用上都有所創(chuàng)新。當然，如何采用更好方法得到更高階收斂的估計量有待進一步研究。

表1 根據(jù)文獻[10]計算的不同赫斯特指數(shù)下的值

表1 根據(jù)文獻[10]計算的不同赫斯特指數(shù)下的值

μ的真實值μ的均值μ的方差μ的真實值μ的均值μ的方差H=0.55 0.1000 0.1019 0.1205 0.8000 0.8035 0.1013 H=0.60 0.2000 0.1960 0.6835 0.9000 0.9035 0.1962 H=0.65 0.3000 0.3078 0.1135 1.0000 1.0869 0.3073 H=0.70 0.4000 0.4035 0.1529 1.1000 1.1143 0.4025 H=0.75 0.5000 0.4912 0.1689 1.2000 1.1689 0.4926 H=0.80 0.6000 0.5931 0.1321 1.3000 1.3325 0.5907 H=0.85 0.7000 0.6891 0.1054 1.4000 1.4054 0.6973

表2 根據(jù)本文結(jié)果計算的不同赫斯特指數(shù)下的值

表2 根據(jù)本文結(jié)果計算的不同赫斯特指數(shù)下的值

μ的真實值μ的均值μ的方差μ的真實值μ的均值μ的方差H=0.55 0.1000 0.1014 0.0201 0.8000 0.7984 0.0962 H=0.60 0.2000 0.2009 0.0634 0.9000 0.9018 0.0375 H=0.65 0.3000 0.2989 0.0843 1.0000 1.0325 0.0156 H=0.70 0.4000 0.4003 0.0354 1.1000 1.0985 0.0364 H=0.75 0.5000 0.5013 0.0537 1.2000 1.2009 0.0658 H=0.80 0.6000 0.5976 0.0549 1.3000 1.2987 0.0954 H=0.85 0.7000 0.7012 0.0345 1.4000 1.4019 0.0648

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