同時(shí)優(yōu)化權(quán)值和初始值的PGM(1,1)模型

羅圣敏 ，陳鵬宇

(1.清遠(yuǎn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 清遠(yuǎn) 511500；2.中山大學(xué)，廣州 510275；3.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）工程學(xué)院，武漢 430074)

0 引言

灰色預(yù)測(cè)模型是灰色理論的重要組成部分，而GM(1,1)模型是灰色預(yù)測(cè)模型中最基本的預(yù)測(cè)模型，已經(jīng)在許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1～3]。但是GM(1,1)模型在許多情況下預(yù)測(cè)精度并不高，即使擬合純指數(shù)序列也得不到滿意的結(jié)果，因此一些學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究。劉思峰研究了GM(1,1)模型的適用范圍[4]，張小璇指出GM(1,1)模型的白化響應(yīng)式并不是其灰微分方程的真正解[5]，其他還有一些學(xué)者做了大量有意義的研究[6～8]，每一種研究對(duì)于提高灰色預(yù)測(cè)模型的精度都有一定的意義。本文將從分析GM(1,1)模型的缺陷出發(fā)，對(duì)PGM(1,1)模型[9]的背景值構(gòu)造進(jìn)行分析，證明PGM(1,1)模型中存在權(quán)值p使模型能避免GM(1,1)模型中的缺陷，并以模式搜索法求解最佳權(quán)值p以及優(yōu)化初始值，以期提高PGM(1,1)模型的預(yù)測(cè)精度。

1 GM(1,1)模型的缺陷

令x(0)為GM(1,1)建模序列：

x(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))

令 x(1)為 x(0)的 AGO 序列：

x(1)=(x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n))

x(1)(1)=x(0)(1)

令 z(1)為 x(1)的均值(MEAN)序列：

則GM(1,1)的定義型，即GM(1,1)的灰微分方程模型為

其中a為發(fā)展系數(shù)，b為灰作用量，是微分方程的參數(shù)?；椅⒎址匠贪谆蜑?/p>

GM(1,1)白化型響應(yīng)式為

由最小二乘法，可以求得參數(shù)

[a b]T=(BTB)-1BTY

其中

將式（1）代入式（2）有

將 x(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1)代入式（4）有

整理得

將式（5）中k變?yōu)閗+1有

取 x(1)(1)=x(0)(1)，由式（6）遞推有

只考慮前四項(xiàng)，則

2 PGM(1,1)模型的建模機(jī)理及分析

PGM(1,1)模型相對(duì)于GM(1,1)模型的改變僅為背景值的構(gòu)造不同，其背景值構(gòu)造為

將式（8）代入式（2）有

整理上式有

取 x(1)(1)=x(0)(1)，由式（10）遞推有

以指數(shù)序列x(0)(k)=ck累加后代入式（9）以最小二乘法可求得

此時(shí)有

將上式代入式（3）有

累減有

證畢。

因此PGM(1,1)模型不僅存在權(quán)值使模型可以避免白化時(shí)額外增加的誤差，該權(quán)值還可以使模型滿足白指數(shù)律，但是由于p值與a值有關(guān)，尋找一個(gè) p值使

成立并不容易，通常權(quán)值p的求解方法如下：p從0.01開始，每次遞增0.01，按PGM(1,1)的建模步驟，依次求出對(duì)應(yīng)的殘差平方和，直到p=0.99為止，通過比較找到最小的殘差平方和及其對(duì)應(yīng)的p值，即為最佳權(quán)值。

3 優(yōu)化的PGM(1,1)模型

尋找權(quán)值p的過程實(shí)際上就是在尋找一個(gè)p值使模型白化時(shí)的額外誤差最小，從而使最小二乘法得到的“最小”基本保持，但是由可知p值通常情況下并不是有限小數(shù)，因此其取值精度對(duì)預(yù)測(cè)精度是有影響的，按照原始p值的求解方法，p值的取值精度只有0.01，為了求取更高精度的p值，本文采用模式搜索法求取高精度p值。模式搜索(pattern search)法是Hooke和Jeeves于1961年提出的，這種方法的基本思想是先“探測(cè)性移動(dòng)”尋找最佳點(diǎn)信息，然后用“模式性移動(dòng)”沿著找到的最佳點(diǎn)信息前進(jìn)，兩種移動(dòng)交替進(jìn)行直到步長(zhǎng)δ小于事先給定的某個(gè)小正數(shù)ε為止[11]，其基本原理及搜索過程可參考文獻(xiàn)[12][13]。具體操作可利用Matlab模式搜索工具箱，以p=0.5為初始點(diǎn)，以原始數(shù)據(jù)的殘差平方和最小為目標(biāo)進(jìn)行搜索。下面以指數(shù)序列說明p值取值精度對(duì)預(yù)測(cè)精度的影響。

表1 對(duì)應(yīng)于不同精度p值的殘差平方和

取原始數(shù)據(jù)為 X(0)={9，92，93，94，95}

以模式搜索法求得p=0.33011961331341

代入式（8）中，取不同精度的p值建立PGM(1,1)模型，所得殘差均方差見表1。

從表1可以看出p值的取值精度較小時(shí)，取值精度僅僅增加一位便會(huì)對(duì)預(yù)測(cè)精度產(chǎn)生明顯影響，當(dāng)p值精度取到小數(shù)點(diǎn)后六位時(shí)，模型預(yù)測(cè)誤差才可以基本忽略，而模式搜索法所得到的p值下的預(yù)測(cè)誤差已經(jīng)可以完全忽略。

由式（11）可以看出PGM(1,1)模型同GM(1,1)模型一樣默認(rèn)經(jīng)過初始值點(diǎn)，而上面的討論是以純指數(shù)函數(shù)為基礎(chǔ)的，由于PGM(1,1)模型可以滿足白指數(shù)律，所以模型默認(rèn)經(jīng)過初始點(diǎn)是可以理解的，但是當(dāng)原始數(shù)據(jù)為近似指數(shù)序列時(shí)，PGM(1,1)模型默認(rèn)經(jīng)過初始點(diǎn)便與最小二乘法的思想不符，此時(shí)模型雖然保證了模擬序列首位數(shù)據(jù)誤差為零，但無法保證整個(gè)預(yù)測(cè)序列殘差平方和最小，因此需要對(duì)初始值進(jìn)行優(yōu)化。具體優(yōu)化方法如下：

對(duì)以模式搜索法求得最佳p值的式（3）添加修正項(xiàng)有

以模式搜索法在原始數(shù)據(jù)殘差平方和最小的目標(biāo)下搜尋最佳β值，代回式（13）便得最終優(yōu)化后的PGM(1,1)模型。

由于應(yīng)用需求的不斷刺激，網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和相應(yīng)的應(yīng)用程序得到了快速開發(fā)和應(yīng)用。網(wǎng)絡(luò)通信量管理對(duì)網(wǎng)絡(luò)性能有著直接的影響，而性能因素已經(jīng)成為衡量一個(gè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)事務(wù)處理能力的重要尺度。維持不了一致和可靠的性能水平，作為底層基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)就會(huì)阻礙整個(gè)系統(tǒng)的有效運(yùn)轉(zhuǎn)。本文以網(wǎng)絡(luò)通訊流量預(yù)測(cè)問題為例，原始數(shù)據(jù)及預(yù)測(cè)值見表 2，其中優(yōu)化后的 p=0.479088，β=-1.61×10-4。 從表2可以看出，相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的PGM(1,1)模型，本文優(yōu)化的PGM(1,1)模型平均擬合相對(duì)誤差從0.784%降低到0.075%，平均預(yù)測(cè)相對(duì)誤差從1.348%降低到0.086%。很明顯模型的優(yōu)化是有效的。

表2 原始值與不同模型預(yù)測(cè)值比較

4 結(jié)束語

本文通過分析GM(1,1)模型的缺陷，指出PGM(1,1)模型中存在p值使模型可以避免白化時(shí)的缺陷，并且滿足白指數(shù)律，但是由于p值通常是無限小數(shù)，其取值精度對(duì)預(yù)測(cè)精度存在影響，因此本文提出了以模式搜索法求取高精度p值，實(shí)例證明了該方法的有效性；同時(shí)本文也指出了原有PGM(1,1)模型初始值確定的不足，提出了以模式搜索法再優(yōu)化PGM(1,1)模型；最后實(shí)例應(yīng)用結(jié)果證明了優(yōu)化的PGM(1,1)模型可以再次提高預(yù)測(cè)精度，這對(duì)提高PGM(1,1)模型的應(yīng)用價(jià)值具有一定的意義。

[1]鄧聚龍.灰預(yù)測(cè)與決策（修訂版）[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2002.

[2]劉思峰，黨耀國(guó)，方志耕.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[3]Liu S F，F(xiàn)orrest J.The Role and Position of Grey System Theory in Science Development[J].The Journal of Grey System(UK)，1997，9（4）.

[4]劉思峰，鄧聚龍.GM(1,1)模型的適用范圍[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2000，（5）.

[5]Zhang X X.Study on the Connotation of Parameters of GM(1,1)Model[J].The Journal of Grey System，2006，（3）.

[6]王正新，黨耀國(guó)，劉思峰.基于離散指數(shù)函數(shù)優(yōu)化的GM(1,1)模型[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2008，（2）.

[7]姚天祥，劉思峰.改進(jìn)的離散灰色預(yù)測(cè)模型[J].系統(tǒng)工程，2007，25（9）.

[8]李翠鳳，戴文戰(zhàn).非等間距GM(1,1)模型背景值構(gòu)造方法及應(yīng)用[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007，47（S2）.

[9]賴志坤，王新洲，朱欣焰.PGM(1,1)預(yù)測(cè)模型及其參數(shù)估計(jì)[J].測(cè)繪通報(bào)，2003，（11）.

[10]謝乃明，劉思峰.離散GM(1,1)模型與灰色預(yù)測(cè)模型建模機(jī)理[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2005，（1）.

[11]陳炳瑞，馮夏庭，丁秀麗等.基于模式搜索的巖石流變模型參數(shù)識(shí)別[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2005，24（2）.

[12]Yosef S S，Bruce A B.Optimization by Pattern Search[J].European Journal of Operational Research，1994，78(13).

[13]陳寶林.最優(yōu)化理論與方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，1989.