含時滯的房地產風險投資模型穩(wěn)定性分析

姚洪興，王娜娜

（江蘇大學 理學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013）

0 引言

房地產是一高風險、高投入、高回報的行業(yè)，房地產投資在給投資者帶來收益的同時，也可能給投資者帶來風險并遭受損失。由于房地產商品受自然因素以及社會、經濟、行政、心理等其他因素的影響，投資面臨較多的不確定性。投資房地產時，由于房地產開發(fā)建設周期較長，所需投資額大，開發(fā)成本受土地費用、稅費等不確定因素影響較大，所以具有一定的風險性。房地產開發(fā)需要較長的開發(fā)周期，加之土地資源有限，房地產供給呈現出低彈性，而市場對房地產的需求及需求變化卻非常大，房地產需求呈高彈性，供給的低彈性和需求的高彈性注定了房地產只能預先生產，導致房地產的供給滯后。而房地產開發(fā)在某階段的投資開發(fā)量和許多因素有關，例如市場上原有的房產數量，需求量，其他投資商本期的投資開發(fā)量，房產的售價以及前期市場上房產的價格都有一定的關系。

許多文獻對房地產的投資風險進行了相應的研究,阮萍[1],張建旭[2]等從理論上進行了房地產投資風險研究；Osama Ahmed Jannadi[3]等從統計學角度對房地產投資風險進行描述,并構造了一個風險評價模型,用計算機對一項具體實例進行分析并針對相應的風險特征提出改進措施；Choi Hyun-ho[4]運用模糊理論并借助一款風險分析軟件從參數估計和主觀判斷方面對建筑工程的風險進行識別鑒定、分析、評價和管理。然而由于房地產有一定的建設周期,即具有時滯效應，上一期的某些因素也會影響到本期的投資。文獻[5]中談到t-τ時物資價格和后期t時刻的物資供應量變化率滿足一定的關系。

本文考慮到房地產投資開發(fā)量與本期及上期房產價格的關系，擬把時滯因素引入房地產投資開發(fā)中,建立一類含時滯的房地產風險投資模型，將時滯神經網絡模型應用到房地產投資中，研究該模型平衡點存在的唯一性以得到平衡點全局指數穩(wěn)定的充分條件。

1 模型的建立

假設市場上有n個房地產投資開發(fā)商，xi(t)為第i個開發(fā)商在t時刻投資開發(fā)的數量；xi(t-τ)為第i個開發(fā)商在t-τ時刻投資開發(fā)的數量（i=1，2，3，…，n）；f代表價格函數，那么 f是x的函數，f當然也是t的函數；τ為房子的建設周期即時滯；fi(x(t))，fi(x(t-τ))分別為第 i個投資商在 t和 t-τ時刻所建設房子的價格。由于t時刻的投資開發(fā)量對t-τ時刻房產價格的反映是滯后的，因此我們用下面的時滯神經網絡模型來描述房地產的投資開發(fā)量：

其中 n 代表開發(fā)商的數量，xi(t)、xi(t-τ)分別代表 t、t-τ時刻市場上房地產開發(fā)的數量，fj(xj(t))、fj(xj(t-τ))分別代表 t、t-τ時刻市場上房子的售價，aij、bij分別代表 t、t-τ時刻第 j個開發(fā)商房產售價對第i個投資商開發(fā)商的影響因子，0＜aij＜1，0＜bij＜1。房地產投資開發(fā)量的變化率可以用開發(fā)數量和房子價格來表示，因此，模型（1）可以表示房地產投資開發(fā)量的變化率。這里假設

C=dig(c1，c2，c3，…，cn)，A=(aij)n×n，B=(bij)n×n

2 預備知識

定義 1 稱函數 x(t)=(x1(t)，x2(t)，…，xn(t))為方程（1）滿足初值條件 x(s)=φ(s)，φ=C([-τ,0]，Rn)的解，如果 x(t)連續(xù)，當 t≥0 時，滿足方程（1）。 特別地，稱點 x*∈Rn為方程（1）的平衡點，如果 x(t)=x*是（1）的解。

定義2 一個實矩陣A(aij)n×n稱為一個M矩陣，若下列條件滿足：

（1）aii＞0；aij＜0；i≠j；i，j=1，2，3，…，n

下列條件與定義2等價

（3）aii＞0；aij≤0；i≠j；i，j=1，2，3，…，n

A-1≥0，即A-1是一個非負矩陣。

定義3 假設f滿足利普希茲條件，即存在一個Lipschitz常數 Li＞0 使得

|fi(x)-fi(y)|≤Li|x-y|成立。

定義 4 設 V:R+×Rn→R+，V∈V0，如果

（2）V滿足局部利普希茲條件。

定義5 假設V∈V0，定義沿方程（1）的解的右導數為：

c為一常數且c＞0，則（1）的零解全局指數穩(wěn)定。

引理[6]若存在 V（t，x），滿足

（1）||x||≤V(t，x)≤k(α)||x||，x∈Sα={x:||x||≤α}

3 模型穩(wěn)定性分析

定理1 假設f滿足利普希茲條件，并且存在一正數λ和向量 z=(z1，z2，z3，…zn)T＞0，使(λE-A+(A+B)Leλτ)z＜0，則（1）的平衡點是唯一存在的。

證明：系統（1）的平衡點滿足方程-(x+Af(x)+Bf(x)+I)=0定義算子T(x)=C-1((A+B)f(x)+I)

因為(C-|A+B|L)z≥(C-λE-|A+B|Leλτ)z＞0

所以必有一足夠大的數r使得

(|A+B||f(0)+|I|)≤(C-|A+B|L)rz

從而C-1(|A+B||f(0)+|I||)≤(E-C-1|A+B|L)rz

即 C-1(|A+B|Lrz+|A+B||f(0)|+|I|)≤rz

設 Ω={x∈Rn，|x|≤rz}

?x∈Ω有

|T(x)|∈C-1||A+B||f(x)|+|I||≤C-1||A+B|L|x|+|A+B||f(0)|+|I||≤rz

因此算子是有界閉集上的自映射。利用不動點定理，至少有一個不動點，它是（1）的平衡點x*。下面證明此平衡點是唯一的。

若 y*也是（1）的平衡點，則

-C(x*-y*)+(A+B)[f(x*)-f(y*)]=0

即C|x*-y*|=|C(x*-y*)|=|(A+B)||f(x*)-f(y*)|≤|(A+B)|L|x*-y*|

亦即(C-|A+B|L)|x*-y*|≤0

從(C-|A+B|L)z＞0 知 C-|A-B|L∈M

所以(C-|A+B|L)-1≥0，從而|x*-y*|=0，即 x*=y*

所以（1）的平衡點存在且唯一。

定理2 假設f滿足利普希茲條件，并且有

那么系統（1）的平衡點是全局指數穩(wěn)定的。

顯然 V 正定，所以存在 φ1，φ2∈K，使得 φ1(||x||)≤V≤φ2(||x||)。

V沿系統（2）的Dini導數為：

當 t-τ≤s≤t，V∈V0時，有 V（s,x(s)）＜V(t,x(t))

所以 D+V(t，y(t))≤-(k1-k2)V(t,x(t))

存在 α＞0使得 k1-k2≥α

即 D+V(t,y(t))≤-αV(t,y(t))

所以系統（3）的零點即系統（2）的平衡點是全局指數穩(wěn)定的。

這里的穩(wěn)定是指從狀態(tài)空間的任意有限非0初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運動x(t)=x(t，t0，x0)是有界的,且運動軌跡最終收斂于系統的某個平衡點x*,且該平衡點存在唯一性。系統(1)實質上是用一個帶時滯的神經網絡模型反映房地產投資開發(fā)量的變化情況。定理2說明第i個投資開發(fā)商開發(fā)數量的變化率與市場上其他投資開發(fā)商無論在本期還是上期房產的售價有關,當滿足(3)式時,系統(1)是全局指數穩(wěn)定的,也就是說,此時,市場上房地產投資開發(fā)量趨于穩(wěn)定，與市場需求相一致，投資的風險小,可以進行投資開發(fā)。相反，如果（3）式不滿足，那么市場上房地產開發(fā)量與市場需求不一致，進行投資時風險相對較大，可能給投資者造成損失。

4 結語

房地產投資本身是一項風險投資，加之投資開發(fā)周期較長，供給具有一定的滯后性，所以在房地產投資開發(fā)時把時滯因素考慮進去才更加符合實際情況。本文將時滯神經網絡模型引入房地產風險投資中，基于本期開發(fā)量與上期開發(fā)量、價格的關系，建立了一類含時滯的房地產風險投資模型，分析了模型平衡點存在的唯一性和全局指數穩(wěn)定的充分條件。當條件滿足時，房地產投資風險較小，條件不滿足時，風險相對較大。這為房地產投資開發(fā)提供了一些依據。然而，當房地產投資開發(fā)出現混沌現象時，如何通過制定切實可行的宏觀調控政策以消除系統混沌是一個有待于進一步研究的熱點問題。這方面研究的深入展開必將對房地產業(yè)的健康、穩(wěn)定發(fā)展產生積極、深遠的影響。

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