三維隨機變量和諧指標(biāo)與二維邊緣和諧指標(biāo)的關(guān)系探討

張明珠，岳曉鵬，田 萍

（許昌學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，許昌 461000）

0 引言

在概率中總是假定隨機變量之間是相互獨立的，但在很多實際問題中獨立很難滿足，隨機變量之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系。因此對隨機變量的這種復(fù)雜關(guān)系，即相依性的研究一直以來是個熱點問題[1，2]，對它出現(xiàn)了很多不同指標(biāo)的刻畫，Kendall’s τ[3]就是其中的一個，它刻畫出了二維隨機變量，對于二維以上的隨機變量卻沒有定義。因此本文擬建立三維隨機變量的和諧定義，即從和諧的角度衡量了三維隨機變量之間的相依關(guān)系。借助于連接函數(shù)copula得到其計算公式，并且進一步討論得到幾個等價的計算公式。最后討論三維隨機變量和諧度量指標(biāo)和二維邊緣和諧度量指標(biāo)的關(guān)系，得到它們之間關(guān)系的表達式。本文第一部分將介紹copula[3]函數(shù)和Kendall’s τ的定義及相關(guān)結(jié)論;第二部分將建立三維隨機變量的和諧定義，并借助copula函數(shù)得到其計算公式;第三部分將具體討論三維隨機變量的 Kendall’s τ與二維邊緣Kendall’s τ的關(guān)系。

1 Copula函數(shù)和二維隨機變量的和諧指標(biāo)

布，則二維隨機變量的Kendall’s τ的定義為

τ=τX,Y=P((X1-X2)(Y1-Y2)＞0)-P((X1-X2)(Y1-Y2)＜0)

為了方便研究，這里把二維隨機變量的和諧度量指標(biāo)Kendall’s τ簡記為 τ(2)或 τ(2)X,Y。

引理1[3]條件同上，若二維隨機變量是連續(xù)型的，存在唯一的 Copula 有 H(x，y)=C(F(x)，G(y))，則

通過τ的定義可以看出，它從一個側(cè)面反映了二維隨機變量X和Y的相依關(guān)系。就是用二維隨機變量(X，Y)是一致增或一致減與非一致增或非一致減的差值來表現(xiàn)的它們之間的相依性，是衡量復(fù)雜的相依關(guān)系的一個度量。其實它是一種序的關(guān)系。這里把隨機變量之間的一致增和一致減統(tǒng)稱為一致序，把隨機變量之間的一增一減統(tǒng)稱為不一致序。當(dāng)然也可通過τ(2)值反映出隨機變量取值的一種變化。因此成為衡量相依關(guān)系的一個重要指標(biāo)。

三維隨機變量的相依性將更加復(fù)雜，下面就從和諧的角度給出相依性的一種度量，因為這種定義和二維的幾何意義相同，所以也把它命名為和諧指標(biāo)。

Copula是連接聯(lián)合分布函數(shù)與其邊緣分布函數(shù)的函數(shù)（有的文獻把它稱為連接函數(shù)[2]）。下面給出Copula的存在性定理。即Sklar定理[3]。

Sklar定理[3]令二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為H，邊緣分布函數(shù)分別為F和G，那么存在一個Copula，有

H（x，y）=C(F(x)，G(y))，?(x，y)∈R2

若F和G連續(xù)，則C是存在唯一的。相反，如果C是Copula，并且F和G是分布函數(shù)，則由上式確定的H是邊緣分布分別為F和G的聯(lián)合分布。

下面給出二維隨機變量的Kendall’s τ的定義[3]。

定義1[3]設(shè)二維隨機變量(X1，Y1)和(X2,Y2)服從同一分

2 三維和諧度量指標(biāo)Kendall’s

定義2 設(shè)三維隨機變量(X1,Y1,Z1)和(X2,Y2,Z2)具有相同的聯(lián)合分布函數(shù)H(x,y,z)，三維隨機變量和諧指標(biāo)的定義為

為了和二維和諧度量指標(biāo)Kendall’s τ區(qū)別，記三維和諧度量指標(biāo) Kendall’s τ為或 τ(3)X,Y,Z。

因為[P(X1-X2)(Y1-Y2)(Z1-Z2)＞0+P(X1-X2)(Y1-Y2)(Z1-Z2)＜0]=1，所以定義2可以簡化為

從定義2可以看出，三維和諧度量指標(biāo)Kendall’s τ是一致序減去不一致序，它與二維的定義的幾何意義是相同的。由于和諧度量指標(biāo)Kendall’s τ一般是衡量二維隨機變量之間序關(guān)系的度量，對三維隨機變量沒有具體的刻畫，而τ（3）也是從序的角度衡量隨機變量之間關(guān)系的度量，因此可以說三維和諧度量指標(biāo) Kendall’s τ是二維和諧度量指標(biāo)Kendall’s τ的一種推廣。

三維隨機變量的和諧指標(biāo)τ（3）同樣可以借助于Copula這個工具來表達。

定理1 設(shè)(X1,Y1,Z1)和(X2,Y2,Z2)是兩個同分布的三維連續(xù)型隨機變量，且聯(lián)合分布函數(shù)為H，邊際分布分別為F1（x），F(xiàn)2（x）和 F3（x）。 令 C 為三維隨機變量的聯(lián)合分布對應(yīng)的Copula，有 H(x，y，z)=C(F1（x），F(xiàn)2（x），F(xiàn)3（x）)，則

證明:首先

類似的

所以

結(jié)論得證。

由定理1的結(jié)論知，三維Kendall’s τ也可以完全借助Copula表達。三維Kendall’s τ還有另外一種Copula表述形式，如下定理所示:

定理2 前提條件同定理2，則

對 P(X1＜X2，Y1＜Y2，Z1＜Z2)的證明換一種角度

因為

又因為

因此

所以

結(jié)論得證。

通過定理1和2的證明可知，τ(3)的兩種Copula形式是等價的。定理2的結(jié)論更適合當(dāng)Copula C是對稱形式時的使用。當(dāng)然也可以根據(jù)不同的情況，采用不同的形式。通過上述兩個定理的證明，可以得到一個有趣的結(jié)論。

結(jié)論1 設(shè)(X，Y，Z)為任意的三維連續(xù)隨機變量，且聯(lián)合分布函數(shù)為 H，邊際分布分別為 F1（x），F(xiàn)2（x）和 F3（x）。 令 C為三維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)對應(yīng)的Copula，即H(x，y，z)=C(F1（x），F(xiàn)2（x）和 F3（x）)。 則

證明:只需利用定理1和2的結(jié)論即可得上式。

三維 Kendall’s τ和二維 Kendall’s τ具有一定的聯(lián)系，又有一定的差別。那么能否建立三維Kendall’s τ與其自身的二維邊緣Kendall’s τ的關(guān)系呢?下面來研究它們之間具有何種關(guān)系。

3 三維和諧度量指標(biāo)Kendall’s與二維邊緣Kendall’s 的關(guān)系

定理3 設(shè)(X，Y，Z)為三維連續(xù)的隨機變量，聯(lián)合分布函數(shù)為 H，一維邊緣分布函數(shù)分別 F1（x），F(xiàn)2（y）和 F3（x）。令分布函數(shù)對應(yīng)的 Copula 是 C，有 H(x，y，z)=C(F1（x），F(xiàn)2（y），F(xiàn)3（x）)則

其中 τ（2）X，Y、τ（2）Y，Z、τ（2）X，Z分別表示隨機變量（X，Y，Z）的二維隨機變量（X，Y）、（Y，Z）、（X，Z）的二維邊緣 Kendall’s τ。

證明:由隨機變量（X，Y，Z）和（X，Y）的關(guān)系知，隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 H（x，y，+∞），則聯(lián)合分布函數(shù)對應(yīng)的 Copula 為 C(F1(x)，F(xiàn)2(y)，1)。 由二維 Kendall’s 的定義知，隨機變量（X，Y），（X，Z）和（Y，Z）的 Kendall’s τ分別為

τ（2）X，Y、τ（2）Y，Z、τ（2）X，Z分別是 二 元函數(shù)的 積 分表達式 ，因此若想建立 τ（3）和它們的關(guān)系，就必須想辦法使 τ（3）這個三重積分表達式變?yōu)槎胤e分表達式。記

Δai=C(u1，u2，ai)-C(u1，u2，ai-1) (i=1,2，…，n)

令 λ=max{Δa1，Δa2，…，Δan},則

同理

所以由定理2得

結(jié)論得證。

由定理 3可得到三維 Kendall’s τ與二維邊緣 Kendall’s τ的關(guān)系。從而說明，三維Kendall’s τ可以通過它的分量，即二維邊緣Kendall’s來表示，二者之間存在密切的關(guān)系。定理4還給出了求三維Kendall’s τ的另一種方法，即可以借助二維邊緣 Kendall’s τ來求 τ（3）。

例 1：設(shè)三維連續(xù)的隨機變量（X，Y，Z）對應(yīng)的 Copula[2]形式如下，求 τ（3）。

解:(方法 1)首先利用定理 2 求 τ（3）。

由Copula的對稱性知

(方法 2)由定理 3知，只需要求出二維邊緣 Kendall’s τ即可求得 τ3。

4 結(jié)束語

本文從和諧的關(guān)系出發(fā)度量和刻畫了三維隨機變量之間復(fù)雜的相依關(guān)系，對解決實際問題提供幫助。并且進一步探討三維隨機變量的和諧指標(biāo) Kendall’s τ與二維邊緣Kendall’s τ之間的關(guān)系，還建立了它們之間關(guān)系的恒等式。這在二維的和諧關(guān)系的研究基礎(chǔ)之上又前進了一步，具有較強的理論意義。在今后的研究中，將對它們之間關(guān)系作更深入的挖掘。

[1]張堯庭.我們應(yīng)該選用什么樣的相關(guān)性指標(biāo)[J].統(tǒng)計研究，2002,（9）.

[2]Roger.B.Nelsen.Multidimensional Dependency Measures[J].Journal of Multivariate Analysis,2004,89.

[3]Roger.B.Nelsen.An Introduction to Copulas[M].New York：Springer-Verlag,Inc，1999.