ESTAR模型單位根檢驗的性質(zhì)研究

袁 銘

（天津財經(jīng)大學(xué) 理工學(xué)院，天津 300222）

0 引言

平滑轉(zhuǎn)移自回歸模型(STAR)是 Granger和 Ter?svirta于1993年提出的。作為機制轉(zhuǎn)換類模型的一種，該模型的機制轉(zhuǎn)換是平滑的，并且可以通過選取不同的轉(zhuǎn)移變量和轉(zhuǎn)移函數(shù)形式較為準確地捕捉經(jīng)濟過程中對稱與非對稱機制轉(zhuǎn)換以及確定性趨勢等現(xiàn)象，具有較高的靈活性。在此基礎(chǔ)上，針對實證研究中經(jīng)濟時序普遍存在的非平穩(wěn)現(xiàn)象，人們開始關(guān)注機制轉(zhuǎn)換模型的單位根檢驗問題，相關(guān)的研究成果包括：Kapentanios和Shin[1]針對TAR模型提出了Wald類型的單位根檢驗，并通過Monte Carlo方法驗證了它比DF統(tǒng)計量具有更高的檢驗功效，此后二人相繼提出了針對多機制TAR模型以及指數(shù)平滑轉(zhuǎn)移自回歸模型（ESTAR）的單位根檢驗方法，推導(dǎo)出非線性ADF檢驗統(tǒng)計量的極限分布，并將其應(yīng)用于實際利率實證研究；Pascalau[2]提出了基于F統(tǒng)計量的LSTAR單位根檢驗方法，使其能夠解決機制轉(zhuǎn)換的非對稱問題；Rothe和Sibbertsen[3]則引入了非參數(shù)方法，提出了基于PP-Z統(tǒng)計量的ESTAR單位根檢驗。

本文將在上述研究的基礎(chǔ)上，以ESTAR模型為代表，進一步研究非線性單位根檢驗的小樣本特征，以及當(dāng)誤差項非獨立同分布時兩類檢驗的可靠性，以期為拓展STAR類模型在非平穩(wěn)時序建模中的應(yīng)用提供一定的理論支持。

1 STAR族模型的單位根檢驗

ESTAR模型的基本形式為：

單位根檢驗的原假設(shè)與備擇假設(shè)為：H0:β=1；θ=0；H1:θ＞0

在原假設(shè)成立的條件下。（1）式將退化為非平穩(wěn)AR(1)過程yt=yt-1+εt；在備擇假設(shè)成立下，ESTAR模型將轉(zhuǎn)化為 yt=(β+β*)[1-exp(-θy2t-d)]yt-1+εt。若 yt-d=0 或者 yt-d→∞，則（1）式也會退化為近似AR(1)過程。同時，如果真實數(shù)據(jù)過程是平穩(wěn)的，但呈現(xiàn)明顯的非線性特征，則標準的線性ADF檢驗失效。

針對ESTAR模型的單位根檢驗問題，George Kapetenios和Phillips Sibbertsen分別提出了基于ADF-t統(tǒng)計量以及PP-z統(tǒng)計量的方法。這兩種方法的核心思想都是在（1）式中令 β=1，d=1，并將按照一階泰勒級數(shù)展開，從而構(gòu)造檢驗輔助回歸為Δyt=δy2t-d+εt。其中，非線性ADF-t統(tǒng)計量（NLADF-t）為：

非線性PP-Z統(tǒng)計量（NLPP-Z）為：

則可以使用如下輔助回歸：

Kapentanios和 Shin[1]中指出，根據(jù)(7)式得到的 ADF(p)統(tǒng)計量與標準ADF檢驗擁有相同的漸進分布，并且在備擇假設(shè)成立的條件下ADF(p)統(tǒng)計量是一致統(tǒng)計量。對于原始數(shù)據(jù)過程含有漂移項或者含有線性趨勢的情況，可以參考Fuller的方法進行相應(yīng)處理。（1）若原始數(shù)據(jù)包含漂移項 （記為Case 2），則可以針對原過程{xt}構(gòu)造 yt=xt-μ，其中 μ 為{xt}的均值；（2）若原始過程同時含有線性趨勢（記為Case 3），則可以構(gòu)造其中對于是回歸 xt=yt+μ+φt的 OLS估計量。表1給出了運用蒙特卡羅方法模擬100000次，在T=1000時三種情況下的臨界值。

2 NLADF-t統(tǒng)計量與NLPP-Z統(tǒng)計量檢驗功效的比較

在STAR族模型實際應(yīng)用中，特別在宏觀經(jīng)濟過程建模中，樣本容量較小（一般小于200），必然會對統(tǒng)計量的檢驗功效帶來影響。因此，本節(jié)將通過模擬實驗比較NLADF-t和NLPP-Z統(tǒng)計量的功效，進而比較二者在小樣本下的可靠性。實驗使用的數(shù)據(jù)生成過程為：

其中，β={0.2,0.5,0.8,0.9}，θ={0.05,0.1,1}，考察的樣本容量分別為25、50、100。實驗使用的名義水平均為5%，使用統(tǒng)計量的實際分位數(shù)作為臨界值，模擬次數(shù)為10000。在檢驗設(shè)定方面，使用SIC信息準則來確定計算ADF統(tǒng)計量的滯后階數(shù)，使用Newey和West[4]中的方法確定PP檢驗中的帶寬以估計長期方差，最終得到的實驗結(jié)果如表2所示，我們可以得出如下三個結(jié)論：

(1)總的來說，當(dāng)θ較小時（此種情形在實證研究中較為常見），NLADF-t和NLPP-Z都比線性檢驗統(tǒng)計量優(yōu)越，并且PP檢驗的功效要略高于ADF檢驗，顯示出非參數(shù)方法在處理非線性時間序列問題時具有一定優(yōu)越性。在小樣本情況下，三種檢驗統(tǒng)計量的功效都很低，例如在T=25，β=0.9時，所有統(tǒng)計量的檢驗功效均小于0.15。雖然，Philips和Perron以及Schwett指出在線性單位根檢驗中也存在此現(xiàn)象，但非線性時尤甚。此外，表2中數(shù)據(jù)還顯示非線性時間序列的單位根檢驗對樣本容量的變化較為敏感。

表1 不同情形下，ESTAR模型單位根檢驗臨界值表

表2 小樣本容量下NLADF、ADF、NLPP-Z統(tǒng)計量檢驗功效的比較

(2)θ對檢驗功效的影響。在各種樣本容量下，三種統(tǒng)計量的檢驗功效都隨著θ值的增加而提高。但當(dāng)θ值較大時，ESTAR模型將退化為AR(p)模型，因此NLADF-t或者NLPPZ的功效反而不如線性ADF統(tǒng)計量。

(3)樣本容量對檢驗功效的影響。線性ADF-t統(tǒng)計量對樣本容量的變化反應(yīng)最為敏感，顯示出兩種非線性統(tǒng)計量在穩(wěn)健性方面具有一定優(yōu)勢。同時，θ值對檢驗功效的影響也隨著樣本容量發(fā)生變化，圖1給出了這一現(xiàn)象的直觀說明；當(dāng)θ值和樣本容量都較大時，線性ADF-t統(tǒng)計量具有最高的檢驗功效，說明非線性過程逐漸呈現(xiàn)近似線性的特征。

3 誤差項存在序列相關(guān)時非線性單位根檢驗的可靠性

下面研究在小樣本情形下，當(dāng)誤差項為MA(1)過程時，NLADF-t統(tǒng)計量和NLPP-Z統(tǒng)計量的實際檢驗水平和檢驗功效，實驗使用的數(shù)據(jù)生成過程與公式（8）相同，誤差項的數(shù)據(jù)生成過程如公式（9）。

其中，ψ的參數(shù)集為{-0.8,-0.5,-0.2,0,0.2,0.5,0.8}，研究檢驗功效時，令 β=0.9，θ={0.01，0.05，0.1}，樣本容量設(shè)定為100。NLADF檢驗滯后階數(shù)的確定和NLPP檢驗帶寬的確定與第2節(jié)相同。表3給出了三種統(tǒng)計量在不同θ值和ψ值下的檢驗功效，圖2給出了實際水平隨ψ值的變化規(guī)律。從表3和圖2可以得出如下兩個結(jié)論：

(1)檢驗水平方面，當(dāng)|ψ|較大時，三種方法都表現(xiàn)出明顯的扭曲（具體表現(xiàn)為水平過甚），隨著|ψ|降低，水平扭曲程度也隨之降低，并逐漸接近名義檢驗水平。本文還發(fā)現(xiàn)這種扭曲是非對稱的，即ψ＜0時水平扭曲要甚于ψ＞0時的情況。在方法間比較方面，當(dāng)|ψ|較小時，三者可靠性相近；當(dāng)|ψ|較大時，NLPP統(tǒng)計量可靠性最差，ADF和NLADF統(tǒng)計量性質(zhì)相近，前者在強序列相關(guān)時（|ψ|＞0.6）可靠性略優(yōu)于后者。

(2)檢驗功效方面，三者表現(xiàn)出與檢驗水平間的權(quán)衡關(guān)系，即檢驗水平較高，檢驗功效也相應(yīng)較高，θ對檢驗功效的影響與第2節(jié)得出的規(guī)律相似。需要注意的是，ψ對功效的影響隨著θ值變大而降低。

表3 NLADF、NLPP和ADF統(tǒng)計量的檢驗功效與ψ的關(guān)系

為了研究滯后階數(shù)對NLADF統(tǒng)計量功效的影響，本文再設(shè)計一組實驗。實驗的相關(guān)設(shè)定為：T=100，β=0.9，θ=0.05，滯后階數(shù)l={1,2,3…,7}，得到的實驗結(jié)果如圖3所示，我們可以得出如下規(guī)律：當(dāng)ψ≤0時，隨著l的增加，NLADF的檢驗功效單調(diào)下降，并且|ψ|越大，檢驗功效衰減的速度就越快；當(dāng)ψ＞0時，檢驗功效呈現(xiàn)交替升降的情況，并且呈現(xiàn)收斂于某一穩(wěn)定水平的趨勢。

4 誤差項存在異方差時非線性單位根檢驗的可靠性

Van Dijk和Terasvirta[5]指出微觀金融市場時序建模將會成為STAR模型未來研究的熱點問題。這類序列中普遍存在異方差現(xiàn)象。因此本節(jié)以概括能力很強的GARCH(1,1)模型為代表，研究誤差項存在異方差時STAR模型單位根檢驗的可靠性。實驗使用的數(shù)據(jù)生成過程與公式（8）相同，誤差項的數(shù)據(jù)生成過程如公式（10）。

本文將樣本容量設(shè)定為100，研究檢驗功效時，固定β=0.9，θ=0.05。實驗主要考察GARCH過程單整程度就波動參數(shù)α以及非線性參數(shù)θ的影響，因此將參數(shù)集合設(shè)定為：α0+α1={0.97,0.9,0.85}，α0={0，0.1,0.2,…,0.8}，固定 γ=0.05。 在研究非線性參數(shù)θ的影響時，固定α0=0.3，θ={0.05,0.1,0.2,…，0.9}。由于篇幅所限，本文只研究NLADF統(tǒng)計量的可靠性，得到的結(jié)果如圖4和圖5所示，我們可以得到如下結(jié)論：

(1)在單整程度相同時，NLADF統(tǒng)計量的檢驗水平隨波動參數(shù)α0增加而增加，而功效卻表現(xiàn)出不同的特征，即隨著α0先上升而后向下彎曲，并且曲線頂點位置取決于GARCH過程的單整程度。

(2)GARCH過程的單整程度與統(tǒng)計量的功效正相關(guān)，這一特征在α0較小時表現(xiàn)得尤為明顯。當(dāng)α0→1時，不同單整程度的功效曲線呈現(xiàn)收斂趨勢。在檢驗水平方面，當(dāng)α0＜0.1時，不同單整程度下的水平基本無差異。當(dāng)α0＞0.1，水平扭曲程度隨單整程度增加而增加。

(3)隨著非線性參數(shù)θ的增加，NLADF-t統(tǒng)計量的功效呈現(xiàn)先增加而后趨于平穩(wěn)的特征，并且檢驗功效的變化程度與GARCH過程的單整程度密切相關(guān)，這一點在θ＜0.4時表現(xiàn)得尤為明顯。圖5還顯示θ對實際檢驗水平影響微弱，當(dāng)α0+α1=0.97和α0+α1=0.85時，檢驗水平分別圍繞0.12和0.09波動。

5 結(jié)論與展望

本文研究了基于ESTAR模型的非線性單位根檢驗NLADF和NLPP統(tǒng)計量的小樣本特征，并以MA(1)和GARCH(1,1)為代表研究誤差項分別存在序列相關(guān)和異方差時，序列相關(guān)程度ψ和單整程度對單位根檢驗的水平和功效的影響。未來的研究工作將圍繞以下三方面展開：（1）為了拓展STAR模型在微觀金融市場建模領(lǐng)域的應(yīng)用，進一步拓展誤差項存在異方差時檢驗可靠性研究的范疇，例如描述收益率序列非對稱性的EGARCH和長記憶性的FIGARCH；（2）參考本文的結(jié)構(gòu)研究LSTAR模型單位根檢驗的性質(zhì)，并與ESTAR模型時得出的主要結(jié)論對比，分析二者差異；（3）構(gòu)造基于模擬的單位根檢驗框架，例如Block Bootstrap和Sieve Bootstrap，以期能夠修正漸近檢驗的水平扭曲。

[1]Kapentanios G,Y Shin.Testing for a Unit Root Against Nonlinear STAR Models[Z].Unpublished Manuscript,UniversityofEdinburgh，2000.

[2]Pascalau.Testing for a Unit Root in the Asymmetric Nonlinear Smooth Transition Framework[C].Working Paper，2007.

[3]Rothe，Sibbertsen.Phillips-Perron-type Unit Root Tests in the Nonlinear ESTAR Framework[J].ASTA Advances in Statistical Analysis,2006，（3）.

[4]Newey W,WestK.A Simple,Positive Semi-Definite,Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix[J].Econometrica,1987,55(3).

[5]Van Dijk，Terasvirta T.Smooth Transition Autoregressive Models—A Survey of Recent Developments[R].Econometric Institute Research Report EI2000-23/A，2000.