非線性元件算法的建模與仿真

王 葵，商 瑩

（1.山東大學(xué)，濟(jì)南 250013;2.山東電力工程咨詢院有限公司，濟(jì)南 250061）

0 引言

電磁暫態(tài)程序（EMTP）最初版本Transients Program（TP），是H.W.Dommel在60年代后期完成的。我們也稱EMTP為Dommel-Meyer（DM）scheme。DM結(jié)合了貝瑞隆Bergeron方法和梯形法，形成了求解暫態(tài)過程的一整套算法。此方法可以求解集中參數(shù)或分布參數(shù)的單相或多相網(wǎng)絡(luò)方程[1]。

最常見的非線性元件有非線性電感和非線性電阻。EMTP用補(bǔ)償法和分段線性化法2種技術(shù)解決非線性問題。分段線性化就是把非線性元件的特征曲線用幾段具有不同斜率的直線段來表示，即把曲線近似的等值為折線。補(bǔ)償法是將非線性元件看成電流源，將不含非線性元件的線性部分做戴維南等效，最后應(yīng)用疊加原理得出最后結(jié)果[2]。

本文將在介紹非線性電阻和非線性電感的基礎(chǔ)上，對三角形連接的非線性網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行理論證明和仿真。新方法具有普遍性，可以擴(kuò)展EMTP的節(jié)點(diǎn)分析法，使之容納更多數(shù)量的非線性元件[3]。

1 非線性元件分析

1.1 非線性元件

非線性元件如圖1所示。

圖1 與線性網(wǎng)絡(luò)連接的非線性元件電路

電流ikm必須滿足以下2個(gè)方程：

下標(biāo)0表示無非線性元件時(shí)的電壓，即戴維南開路電壓。RThev是線性部分等效電阻。方程（2）是非線性元件特性方程。

如果方程（2）是解析表達(dá)式，就要用牛頓法迭代求解。如果方程（2）是將非線性元件應(yīng)用分段線性化技術(shù)處理的，則無需迭代就可以找到2條曲線的交點(diǎn)[4]。如圖2所示。

圖2 2個(gè)方程的聯(lián)立解

對于含有多個(gè)非線性元件的電路，如圖3所示，我們首先計(jì)算戴維南等效電路。

圖3 與線性網(wǎng)絡(luò)連接的非線性元件電路

對每一個(gè)非線性元件，從線性網(wǎng)絡(luò)中流出的電流等于流入的電流。

1.2 EMTP的局限

EMTP補(bǔ)償法要求流入非線性元件的電流等于流出的電流。在如圖4的情況下，非線性元件類似三角形連接，使得Ia≠Ia′，因此，EMTP補(bǔ)償法無法計(jì)算戴維南等效電阻。在EMTP中三角形連接的真的非線性元件是無法運(yùn)行的[5]。

圖4 類似于三角形連接的非線性元件電路

2 牛頓-拉夫遜法非線性元件模型

圖5（a）中假定非線性電感和非線性電阻是電流控制型的。圖5的狀態(tài)方程為

解：第一步是用數(shù)值計(jì)算公式將方程離散化，并且寫作代數(shù)方程。應(yīng)用梯形公式可得，

圖5 非線性電流控制的電阻和電感電路圖和它的線性伴隨電路

這里下標(biāo)表示時(shí)間步序，步序n是已經(jīng)完成的一步，步序n+1是下一步。

應(yīng)當(dāng)指出，λn+1和vR,n+1分別是在時(shí)刻tn+1的近似值λ和vR。

方程式（5）是一般意義的隱式非線性方程，它可以通過牛頓－拉夫遜的方法求解。

令

由牛頓－拉夫遜法得，

這里

這里上標(biāo)是牛頓－拉夫遜迭代步序，迭代步序j被看作是完成的一步，迭代步序j+1是下一步。

方程式（9）、（10）定義了雅可比函數(shù)，增量電感和增量電阻，它們分別是在時(shí)間步序（n+1）和牛頓－拉夫遜迭代步序（j+1）處定義的函數(shù)。

也即

這里

因此式（12）是視在電感和視在電阻，它們決定了最終的解。電感增量的倒數(shù)（d i/dλ）或電納增量的倒數(shù)（d i/d v）用于求解節(jié)點(diǎn)電壓，視在電感的倒數(shù)（i/λ）或視在電納的倒數(shù)（i/v）用于求解非線性元件支路電流。然而當(dāng)用牛頓－拉夫遜方法求解非線性電路時(shí)，增量電感和電阻也參與迭代。這表明，當(dāng)?shù)諗繒r(shí)，視在電感和視在電阻決定了精度。增量電感和增量電阻則影響牛頓－拉夫遜法的迭代次數(shù)，但不會(huì)影響精度[6]。

3 算例證明

新算法有2個(gè)循環(huán)迭代，時(shí)間步序n的迭代和牛頓－拉夫遜步序j的迭代。新模型中假非線性元件Type-96－99不需要進(jìn)行j迭代，不需要再次三角因子分解；真非線性元件需要2個(gè)迭代，j迭代一般2到3次即可以收斂，三角因子分解中，需要修改和非線性元件有關(guān)的部分元素。

非線性元件二極管的伏安特性如圖6所示。其中v1=-0.5，v2=0，v3=0.6，v4=0.9。v1至v2段簡化為直線，斜率為k1=（i2-i1）/（v2-v1），v3至v4段亦簡化為直線，斜率為k2=（i4-i3）/（v4-v3），EMTP中非線性元件一般都是這樣線性化處理的，如ZnO避雷器的低電壓段。

圖6 非線性元件二極管的伏安特性

只有v2至v3段有解析表達(dá)式，iD=Is（eVD/VT-1），所以稱二極管為非線性元件。它是一個(gè)電壓控制型的非線性元件。

上式中Is=10-15A，vT=0.025 V，非線性電阻為

圖7電路用來證明本算法的正確性。非線性元件二極管做三角形連接，這在EMTP中是不運(yùn)行的。在EMTP中3個(gè)三角形連接的TYPE－96或3個(gè)三角形連接的TYPE－93電路都是不能運(yùn)行的。圖8（a）中，Ra，Rb，Rc為線性電阻；La，Lb，Lc為線性電感；Da，Db，Dc為非線性二極管。它的伴隨電路如圖8（b）所示。

用節(jié)點(diǎn)電壓法求各節(jié)點(diǎn)電壓[I]=[Y][U]

其中Y為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，

圖7 三角連接二極管電路及其伴隨電路

運(yùn)行結(jié)果如圖8所示。電源電壓ea，eb，ec和節(jié)點(diǎn)va，vb，vc為正弦波電壓，負(fù)載節(jié)點(diǎn)電壓v4，v5，v6為交替導(dǎo)通的正向電壓。電源電流iLa，iLb，iLc在2～3個(gè)周波的暫態(tài)后變?yōu)檎也娏?。?fù)載二極管電流i45，i56，i64為正向?qū)娏?，電流值大?，電流交替達(dá)到最大值。

圖8 三角形連接二極管電路的運(yùn)行波形

結(jié)果表明牛頓-拉夫遜法非線性元件模型算法是正確的。

運(yùn)行結(jié)果還表明，牛頓-拉夫遜法非線性元件模型具有良好的穩(wěn)定性。在二極管的非線性特性下，沒有出現(xiàn)數(shù)值振蕩。

4 結(jié)語

運(yùn)用本算法的非線性元件模型，可以將非線性元件模型和線性元件模型直接組成導(dǎo)納矩陣，這一點(diǎn)類似于分段線性化模型，因此可以適用任意接線的和任意數(shù)量的非線性元件，即任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。這種算法的缺點(diǎn)是，因非線性參數(shù)變化而需要重新三角分解，因而增加的運(yùn)算量比補(bǔ)償法要多。若非線性元件采用分段線性化的方法，本算法不會(huì)增加任何運(yùn)算量，因?yàn)橥欢紊厦看蝞迭代的導(dǎo)納矩陣不變。因此本算法適用于比較復(fù)雜的非線性元件電路，這需要進(jìn)一步的研究探討。

[1]Dommel H W.Electromagnetic Transients Program Reference Manual（EMTP Theory Book）[M].BPA,Portland,Oregon,USA.,August 1986.

[2]Watson N R，Jos Arrillaga.Power Systems Electromagnetic Transients Simulation[M].The Institution of Electrical Engine ers,London,United Kindom,2003.

[3]Christos Mademlis.Compensation of Magnetic Saturation in Maximum Torque to Current Vector Controlled Synchronous Reluctance Motor Drives[J].IEEE Trans.Energy Conversion,2003,18（3）：379-385.

[4]Essah D N，Sudhoff S D.An Improved Analytical Model for the Switched Reluctance Motor[J].IEEE Trans.Energy Conversion,2003,18（3）：349-356.

[5]Perkins B K,Marti J R,Dommel H W.Nonlinear Elements in the EMTP:Steady-state Initialization[J].IEEE Trans.Power Syst.,1995,10（2）：593-601.

[6]Canadian /American EMTP User Group Alternative Transients Program（ATP）Rule Book[M].1987-1992.