淺水間斷流動數(shù)值模擬研究進展

潘存鴻

(浙江省水利河口研究院,浙江 杭州 310020)

涌潮、海嘯、水躍、潰壩波、水閘突然開啟和突然關(guān)閉而形成的間斷流、淺水變形后的波浪等淺水間斷流動的數(shù)值模擬具有較高的學(xué)術(shù)價值和廣闊的實際應(yīng)用背景,一直是計算水動力學(xué)的熱點和難點之一。由于間斷處存在水位、流速(流量)的突變,非線性效應(yīng)很強,傳統(tǒng)的數(shù)值計算方法求解間斷問題常常失效。原因在于:傳統(tǒng)的線性格式通常不能同時滿足抑制虛假振蕩和達(dá)到足夠高精度的要求,要么數(shù)值黏性太大,產(chǎn)生過分耗散,計算結(jié)果將突變的物理量抹平,不能反映間斷特性;要么數(shù)值黏性太小,產(chǎn)生虛假的數(shù)值振蕩,甚至失穩(wěn)。因此,模擬淺水間斷流動時,要求計算格式既具有模擬大梯度流動(間斷流動)的能力,又十分穩(wěn)定。

本文分析了淺水方程基本特性及其求解的困難,介紹了求解間斷的主要方法、底坡源項處理方法,以及間斷流動條件下的動邊界模擬方法。

1 雙曲型方程的基本特性及其求解困難

淺水方程屬雙曲型偏微分方程。大多數(shù)雙曲型偏微分方程來自物理守恒定律,如質(zhì)量守恒、動量守恒和能量守恒。因此,雙曲型偏微分方程又稱為雙曲守恒律(hyperbolic conservation laws)。與橢圓形方程相比,雙曲型方程在求解上既有優(yōu)點,又存在困難。優(yōu)點是信息以有限的速度傳播;困難是即使在光滑的初始條件和光滑的邊界條件下,在有限的時間內(nèi)仍有可能產(chǎn)生間斷解,即存在間斷的“無中生有”特性。

幾十年來,人們?yōu)闇?zhǔn)確求解激波(間斷)已做了大量的工作。1960年Lax等[1]從數(shù)學(xué)上證明:守恒型計算方法如果收斂的話,將收斂于方程的弱解。后來,Hou等[2]證明了一個補充結(jié)論:若應(yīng)用非守恒型計算方法得到的解包含激波,那么計算結(jié)果是錯誤的。對于虛假的非物理數(shù)值振蕩,Godunov[3]嚴(yán)格地證明了:如果采用精度大于一階的線性計算方法,那么虛假的非物理數(shù)值振蕩是不可避免的。Godunov的理論表明,即使對于線性問題,也必須應(yīng)用非線性計算方法。綜上所述,為準(zhǔn)確求解激波的傳播速度,必須應(yīng)用守恒型計算方法。

數(shù)學(xué)上求解間斷的第1個困難是:在解的間斷處由于導(dǎo)數(shù)無定義,不滿足經(jīng)典意義上的偏微分方程。為此,引進了弱解的概念。弱解在光滑處滿足偏微分方程,在通過間斷處滿足1組跳躍條件。另一個數(shù)學(xué)困難是弱解存在非唯一性。存在偽解(非物理解)的原因是:在方程推導(dǎo)過程中某些物理因素如流體的導(dǎo)熱性等被忽略了,或做了一些假定,控制方程只是真實模型的近似。這樣,必須強加一些附加條件來選擇正確的物理解。事實上,許多守恒律系統(tǒng)可以得到這種條件,稱之為“熵條件”。

由于有限差分離散依賴于泰勒級數(shù)展開的有效性,顯然,在間斷附近不滿足解光滑條件,因此,應(yīng)用有限差分方法在間斷附近不能得到理想的數(shù)值結(jié)果。為此,Lax和Wendroff提出了差分方程的守恒型計算方法(conservative method or conservation form)。下面以無黏性Burgers方程為例說明之[4]。

式中:u為流速。

式(1)可寫成等價的守恒形式:

對式(1)進行差分離散,時間用前差,空間用迎風(fēng)格式(這里為向后差分),則有

式中:i為空間步;n為時間步。

類似地,對式(3)離散得

對于給定的初始條件(式(2)),式(4)和式(5)得到完全不同的計算結(jié)果。由此可見,對于不同形式的雙曲型偏微分方程,在光滑解區(qū)它們互相等價,當(dāng)存在間斷時將得到不同的數(shù)值結(jié)果。一般地,只有采用守恒型方程,才可能得到正確的解。

此外,數(shù)值求解上還存在另一個困難。式(3)還可寫成另一種守恒型形式:

然而,對式(6)應(yīng)用同樣的離散方法,計算結(jié)果不同于式(3)的結(jié)果。

為避免上述錯誤的計算結(jié)果,必須遵循下述原則:從物理守恒律得到的守恒形式的偏微分方程(如式(3))應(yīng)是數(shù)值離散的控制方程。通過數(shù)學(xué)變換得到的其他形式的守恒型方程或非守恒型方程可以得到正確的光滑解;當(dāng)存在間斷時,將得到錯誤的解。

2 間斷模擬方法

淺水間斷流動數(shù)值模擬首先是間斷的準(zhǔn)確模擬。在大尺度模型中,間斷模擬方法可分為激波裝配法和激波捕捉法。用激波裝配法模擬間斷,認(rèn)為間斷沒有厚度,作為微分方程的廣義解,間斷前、后的流速和水深滿足Rankine-Hugoniot條件。該方法的優(yōu)點是間斷處滿足熵條件,故可認(rèn)為得到的解是唯一物理解,但它的缺點是要求流場結(jié)構(gòu)已知,而事實上大多數(shù)情況下流場事先未知。另外,在間斷形成初期或消失階段,因邊界、地形等因素的變化,常常出現(xiàn)間斷“時有時無”的現(xiàn)象,這給“裝配”也帶來困難。近10年來,隨著計算機技術(shù)的迅速發(fā)展,為激波捕捉法提供了條件。激波捕捉法在間斷區(qū)和非間斷區(qū)統(tǒng)一應(yīng)用同一計算格式,無需對間斷區(qū)做特別的處理,但要求計算網(wǎng)格較密且計算格式具有模擬大梯度流動的能力。

幾十年來,隨著計算方法的改進,目前已有很多計算方法能模擬淺水間斷流,主要有:①MacCormack格式;②TVD格式;③Godunov型格式;④Boltzmann模型方法:BGK格式和KFVS格式;⑤ENO和WENO格式;⑥間斷有限元DG格式;⑦時空守恒元和解元方法。

2.1 MacCormack格式

MacCormack格式耗散低,具有捕獲激波的能力,計算簡單且具有二階精度的差分格式,因此其被廣泛用來求解歐拉方程。然而,經(jīng)典的MacCormack格式在激波附近數(shù)值解常產(chǎn)生偽振蕩[5],因此,應(yīng)用MacCormack格式求解間斷流動時一般需進行改進,在實際計算中引入限制函數(shù),使改進型的MacCormack格式具有 TVD特性(稱為 TVDMacCormack(或 MacCormack-TVD) 格 式)。MacCormack格式及其改進型格式已應(yīng)用于模擬淺水間斷流動[6-10]。

2.2 TVD格式

1983年Harten[11]提出了一類高分辨率不振蕩的TVD(totalvariation diminishing,總變差縮減)格式。在時刻tn一維差分解的總變差定義為每個空間網(wǎng)格上解的變化的絕對值之和,即

一個格式具有TVD性質(zhì)的含義是:在沒有外力(方程中非齊次項和邊界條件)作用的條件下,差分解的總變差不會隨時間增大,即 TV(un+1)≤TV(un)。因總變差不會增大,在間斷附近不會產(chǎn)生虛假振動,且對間斷有高分辨率。理論上已證明TVD格式屬保單調(diào)格式,即若 tn時的解單調(diào),則tn+1時的解亦單調(diào)。

TVD格式最早應(yīng)用于求解空氣動力學(xué)中的歐拉方程,以后推廣應(yīng)用到求解淺水間斷流動。20世紀(jì)80年代后期以來國內(nèi)開始應(yīng)用TVD格式求解淺水間斷流動[12],90年代以來得到廣泛的應(yīng)用[13-17]。

2.3 Godunov型格式

1959年Godunov在博士論文中提出利用Riemann解求解雙曲型方程的格式。Godunov格式的基本思想是將各離散點上的值看做該值在離散點鄰域內(nèi)的平均值,即將離散值看成某臺階函數(shù)。于是,在離散點之間構(gòu)成一系列間斷,形成一系列Riemann問題,該間斷在經(jīng)過Δt時段傳播以后,各離散點上的值再次使用其鄰域內(nèi)的平均值,并重復(fù)進行相同步驟[18]。

在Godunov格式中,應(yīng)用準(zhǔn)確Riemann解求解單元界面的數(shù)值通量,由于非線性,需迭代求解。為簡化計算,后來發(fā)展了許多求Riemann解的近似方法[19-20],如Osher及HLL方法[21],Roe[22]方法等。

自從Godunov格式提出以來,其得到不斷改進,van Leer[23]發(fā)展了二階精度Godunov格式。因為Godunov型格式具有模擬大梯度流動和自動捕捉激波的能力,在計算流體力學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用。1981年,Marshall等[24]首次應(yīng)用Riemann解求解淺水流動方程。最近10余年來,基于 Riemann解的Godunov型格式求解淺水流動方程的研究成果逐漸增多,從一維發(fā)展到二維,成為目前求解淺水大梯度流動最流行的計算方法[25-33]。

2.4 Boltzmann模型方法:BGK格式和KFVS格式

Boltzmann模型方法,特別是在1954年提出的BGK(bhatnagar-gross-krook)Boltzmann模型方法,最早應(yīng)用于模擬氣體流動。20世紀(jì)90年代中后期以來,徐昆[34-35]將原來應(yīng)用在氣動中的基于Boltzmann方程的模型方法用于求解淺水方程。后來,Ghidaoui等[36]以及鄧家泉[37]進行了推廣應(yīng)用,并證明了BGK格式的解滿足熵條件。上述模型因通量計算中沒有考慮底坡項的作用,因此計算格式不具有“和諧性”。鑒于重力對水流運動的影響與水流變量如水深、流速的空間梯度同階,2002年徐昆在分子分布函數(shù)中考慮了重力對分子速度變化的影響,得到了和諧的KFVS(kinetic flux vector splitting)模型[38]和BGK模型[39]。潘存鴻等[40]建立了無結(jié)構(gòu)三角形網(wǎng)格下空間二階精度的二維淺水?dāng)?shù)值模型,并得到了廣泛的應(yīng)用[41]。

Boltzmann模型方法的出發(fā)點是利用Chapman-Enskog展開法,由Boltzmann方程的矩獲得宏觀的守恒律,如淺水方程,根據(jù)宏觀守恒律與Boltzmann方程之間的關(guān)系,可以將宏觀變量的差分方程表示為Boltzmann方程差分模式的矩的形式來求解。

KFVS模型是在BGK模型中不考慮Boltzmann方程碰撞項的簡化模型,相應(yīng)地,KFVS模型沒有計及二階項(即黏性項)的作用。事實上,對于天然河流、海岸等大尺度研究水域,二階項的作用很小,KFVS模型已足夠滿足研究精度,且其計算量僅為BGK模型的1/2～1/3[40]。

與傳統(tǒng)方法相比,Boltzmann模型方法具有許多優(yōu)點和長處[42]。如以BGK-Boltzmann方程為基礎(chǔ)的數(shù)值模型滿足熵條件,從而避免出現(xiàn)非物理解[43]。

近幾年來,Boltzmann模型方法在淺水間斷流動數(shù)值模擬中應(yīng)用日益增多[44-48]。

2.5 ENO和WENO格式

1986年 Harten[49]提出了無振蕩格式(nonoscillatory)的概念,接著提出了本質(zhì)無振蕩(essentially non-oscillatory,ENO)格式的方案和方法[50-53]。

為避免高階有限體方法等線性格式采用固定模板所產(chǎn)生的非物理數(shù)值振蕩,ENO格式利用牛頓插值多項式的遺傳性質(zhì),通過逐次計算逼近解函數(shù)的牛頓插值多項式的差商來選擇對應(yīng)于最光滑多項式的模板,從而盡可能地避免在所選擇的模板中包含間斷。ENO格式存在計算量大等缺點[54],為此Lui等[55]對ENO格式進行改進,提出了WENO(weighted ENO)格式。其主要思想是:不是選擇其中一種模板,而是利用所謂模板的凸組合。WENO格式彌補了ENO格式的不足,從而得到了更為廣泛的應(yīng)用。

從20世紀(jì)90年代后期以來,ENO和WENO格式已廣泛應(yīng)用于淺水間斷流的數(shù)值模擬[56-62]。

2.6 間斷有限元DG(discontinuous Galerkin)格式

間斷有限元方法是1973年由Reed等[63]首先提出來的,并應(yīng)用于求解中子輸運方程,但這種方法長期以來一直沒有得到很好的研究和應(yīng)用。直到20世紀(jì)80年代后期和90年代,Cockburn和Shu等結(jié)合Runge-Kutta方法將間斷有限元方法推廣到非線性一維守恒律方程和方程組以及高維守恒律方程和方程組,并給出了部分關(guān)于收斂性的理論證明,此后這一方法才引起人們的注意,并開始應(yīng)用于計算流體力學(xué)領(lǐng)域[64]。

一般的有限元方法難以合理地處理間斷解,因為它的出發(fā)點是基函數(shù)的統(tǒng)一性。間斷有限元方法具備通常有限元方法的弱解特點,它既采用有限元方法的弱解變分形式,又采用單元上的插值逼近,同時允許在時間和空間離散時存在間斷。該方法插值基函數(shù)的采用與單元分析要求計算單元之間的輸運,因而與通常的有限元方法不同,單元之間的連接更加復(fù)雜和精細(xì)[65]。間斷有限元方法不但保持了通常有限元方法的優(yōu)點,并且還具有以下優(yōu)點:能夠顯式求解;容易實現(xiàn)并行算法;具有很好的穩(wěn)定性,滿足l2穩(wěn)定性和熵相容性[66]。

間斷有限元方法的缺點是程序設(shè)計比較復(fù)雜。但隨著計算條件的不斷改善,間斷有限元方法能夠較容易地把求解二維問題的方法推廣到三維問題,實現(xiàn)自適應(yīng)算法和并行算法。近幾年來,間斷有限元方法已開始應(yīng)用于淺水間斷流的模擬[67-71]和對流擴散方程[72-73]。今后,間斷有限元方法與其他方法的結(jié)合可能是求解間斷解的新的發(fā)展方向[74]。

2.7 時空守恒元和解元方法(CE/SE法)

1995年Chang[75]提出一種新的數(shù)值方法——時空守恒元和解元方法(簡稱CE/SE法)。該方法無論從概念上還是從構(gòu)造方法上都與傳統(tǒng)的數(shù)值方法有區(qū)別,它把時間與空間完全統(tǒng)一同等對待,并從守恒積分型方程出發(fā),通過設(shè)立守恒元和解元,使局部和全局都嚴(yán)格保證滿足物理意義上的守恒律。另外,該方法把流場變量及其空間導(dǎo)數(shù)均作為變量同時求解,這樣與傳統(tǒng)的差分格式相比,在相同的網(wǎng)格點數(shù)的情況下其格式精度可以更高,同時更便于精確地滿足邊界條件。張增產(chǎn)等[76-77]對該方法進行了改進和優(yōu)化,使其更有利于離散與求解,同時易于編程。目前,該方法已應(yīng)用于淺水方程和對流擴散方程的求解[78-79]。

3 底坡源項的處理

淺水流動方程與多方氣體流動方程相似,因此,淺水間斷類似于氣體動力學(xué)中的激波。如果不考慮底坡效應(yīng)和摩阻作用,則無源項的淺水流動方程類似于氣體動力學(xué)中的歐拉方程,早期的相關(guān)工作大多針對齊次淺水流動方程,直接移植氣體動力學(xué)中成熟的計算方法[20,24,80]。

與氣體動力學(xué)相比,淺水流動模擬的最大特點是計算中如何考慮床底變化。如前所述,模擬間斷流動時控制方程必須采用守恒型方程,二維淺水流動方程x方向動量方程的守恒形式為

式中:u和v分別為x和y方向的流速;g為重力加速度;h為水深;S f x為摩阻項;S b x為底坡源項,S b x;b為床底高程。

與守恒型控制方程不同,非守恒型控制方程中的重力項在守恒型控制方程中被拆成壓力項和底坡源項之和,即

式中:z為水位。

因此,求解守恒型非平底淺水方程時,需對壓力項和底坡源項做特殊處理,要求控制方程離散后方程左端的壓力項與方程右端的底坡源項之和始終滿足式(8),使得壓力項與底坡源項達(dá)到“和諧”,即在靜水條件下始終保持流速為零、水位為常數(shù)的計算結(jié)果[36]。

所謂“和諧”格式,對于與 i單元相鄰的所有j單元,若在n時刻滿足

20世紀(jì)90年代以來,已有學(xué)者致力于非平底淺水流動方程和圣維南方程求解的研究,取得了豐碩的成果。大多數(shù)處理方法中,保持“和諧”的基本思路是底坡源項的離散形式與壓力項相同。

Zhao等[81]、譚維炎等[82]將床底地形概化為階梯狀,假設(shè)在計算單元內(nèi)為平底,從而底坡項為零。為了彌補底坡項為零引起的誤差,需將單元界面處的計算通量按照水深進行修正,這種方法適合于地形變化平緩水域的水流模擬。

Bermudez等[83]首先針對一維圣維南方程應(yīng)用迎風(fēng)方法處理底坡源項,以后推廣到二維情形[84-85],而后 Burguete等[86]、Brufau等[87]和 Guinot等[88]對該方法進行了改進和完善。Jenny等[89]提出了考慮源項的Rankine-Hugoniot-Riemann求解器;Smolarkiewicz等[90]應(yīng)用 MPDATA(multidimensional positive definite advection transport algorithm)方法處理底坡源項;Greenberg等[91]、Le Veque[92]將淺水方程中的底坡源項處理與水波傳播算法相結(jié)合;王志力等[93]用特征分解方法處理底坡源項;Hubbart等[94]、Tomas等[95]、Mohammadian等[96]也用不同方法處理了底坡源項。

Zhou等[97]提出了水面梯度法(簡稱SGM法),該方法在單元界面上用水位代替水深進行數(shù)據(jù)重構(gòu),處理簡單,是目前較為流行的底坡源項處理方法[31-32,37]。

潘存鴻等[28-29]、Hui等[98]提出了水位床底法(簡稱WLTF法),盡管WLTF法和SGM 法的思路、控制方程均不同,但本質(zhì)相同,因此計算結(jié)果也相同。WLTF法在概念上更簡單,并能在理論上解釋SGM法的誤差性質(zhì)及其大小[98]。事實上,為滿足“和諧”條件,除應(yīng)用SGM法或WLTF法外,還要求方程左端的壓力項與方程右端的底坡源項采用同樣的方法離散。

對于無結(jié)構(gòu)三角形網(wǎng)格,建立“和諧”格式要比一維或二維四邊形網(wǎng)格困難得多,Audusse等[99]建立了以三角形節(jié)點為控制體中心的“和諧”格式;潘存鴻等分別應(yīng)用控制方程變換法[100]和靜水壓力變換法[40]建立了以三角形單元為控制體的“和諧”格式。近年來,各種“和諧”方法得到了廣泛的應(yīng)用[101-103]。

4 間斷流動條件下的動邊界模擬

應(yīng)用淺水?dāng)?shù)值模型求解實際問題時,常常遇到動邊界(即干濕邊界)問題,如感潮水域潮汐漲落引起的水陸邊界變化、潰壩波和洪水波的漫灘(堤)過程、波浪在灘地上爬高等。一般地,在計算域中動邊界范圍不大、水流不存在間斷的情況下,常用的動邊界處理方法大多能滿足工程精度要求,但在模擬潰壩波、涌潮以及波浪在淺灘上的傳播變形時,由于干底占整個計算域的比例較高,同時波前峰到達(dá)時水位、流速變化梯度極大,緩、急流同時存在并相互轉(zhuǎn)化,波前峰間斷處也是動邊界發(fā)生之處。常用的大多數(shù)動邊界處理方法往往不能準(zhǔn)確模擬上述復(fù)雜的水流現(xiàn)象,甚至計算失穩(wěn)。鑒于干底Riemann解具有模擬動邊界條件下間斷流的能力,近年來,基于近似Riemann解的動邊界處理方法已應(yīng)用于間斷流情況下干濕邊界的模擬[104-106]。潘存鴻等[107-108]應(yīng)用準(zhǔn)確干底Riemann解模擬潰壩、涌潮等間斷流動情況下的動邊界問題,在間斷捕捉、水量守恒等方面取得了較好的結(jié)果。

5 結(jié) 語

通過最近10余年國內(nèi)外學(xué)者的努力,一、二維淺水間斷流動數(shù)值模擬取得了突破性的進展,解決了數(shù)學(xué)模型中間斷模擬、底坡源項處理、間斷流動條件下的動邊界模擬等關(guān)鍵技術(shù)問題,已經(jīng)達(dá)到了較為成熟的應(yīng)用階段,宏觀問題的三維間斷流動數(shù)值模擬是淺水間斷流動數(shù)值模擬下階段研究的主要方向之一。

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