沉降預測廣義Usher模型參數確定的優(yōu)化算法

許小健,干 洪,張金輪

(1.蕪湖市勘察測繪設計研究院,安徽 蕪湖 241000;2.安徽工程科技學院,安徽 蕪湖 241000)

隨著軟土地區(qū)鐵路和高速公路的大力發(fā)展,軟土路基的沉降問題日益突出[1]。有關路基沉降的研究已有相當多的報道,其中沉降預測問題一直是眾多研究者廣泛關注的問題。現(xiàn)有的沉降預測方法主要有兩大類:一是根據固結理論基于土的本構模型,應用數值方法計算沉降量;二是根據實測資料推算沉降量與時間關系的預測方法。由于路基沉降影響因素的復雜性及本構模型參數選取困難等問題,基于固結理論的沉降計算值往往與實測值差異較大。因此,如何從前期的沉降數據來推算軟土路基后期的沉降規(guī)律,這方面的研究工作具有重要意義。在第2類方法中,長期以來,常用的方法有雙曲線法[2]、修正雙曲線法[3]、指數曲線法[2]、Asaoka法[4]、灰色預測法[4]、星野法[5]等。

近來,有關研究結果表明,線性加載過程中,軟土路基的沉降可以分為4個階段[6]:沉降量線性增長階段—沉降速率不斷增加階段—沉降速率遞減階段—沉降趨于穩(wěn)定階段,即軟土路基沉降發(fā)展過程呈S形曲線。Logistic曲線的形狀也呈S形,與沉降曲線特點極為一致,因此被用來描述沉降的發(fā)生發(fā)展過程,從而在沉降的預測中得到了應用[7]。除此之外,具有飽和增長趨勢的S形曲線如Gompertz曲線模型[8]、Weibull曲線模型[9]、Usher曲線模型[10]等幾種經驗曲線模型也逐漸得到應用,取得了良好的效果。然而上述幾種S形曲線模型在模型結構上仍然存在一些不足。針對這一缺點,筆者將用于資源預測的廣義Usher模型[11]引入沉降預測中,通過對廣義Usher模型的分析,表明了 Logistic模型、Bertalanffy模型、Gompertz曲線模型[8]、Weibull曲線模型[9]、Usher曲線模型[10]均為廣義Usher模型的幾種特例,因此,廣義Usher模型具有更強的適應性;同時,鑒于合理的優(yōu)化方法可以進一步改善模型的預測精度,本文選用筆者研發(fā)的基于并行優(yōu)進策略的差分進化算法[12](DEPES算法)來優(yōu)化模型結構參數。實例計算結果顯示,本文給出的模型及參數優(yōu)化方法有效,可取得滿意的結果。

1 軟土路基沉降預測的廣義Usher模型

用于資源預測的廣義Usher模型是以Usher模型為基礎拓展建立起的一個新的生長曲線模型。其建立的微分表達式為[11]

式中:t為時間變量;α為時間t的修正因子;y為被描述事物的特征指標;r為增長速度因子,正實數;β為形狀因子;L為y的上限。

對式(1)進行分離變量求解,得通解為

式中:s為沉降量;s∞為極限沉降量。

分析可知,在式(3)中,若令 c=1,a=d=-1,該模型可簡化為指數曲線沉降預測模型;令c=1,該模型可簡化為Usher沉降預測模型;若令a=-1,c=1,d=-3,該模型可簡化為Bertalanffy沉降預測模型;若令c=d=1,該模型可簡化為Logistic沉降預測模型;若令 a=d=-1,該模型可簡化為Weibull沉降預測模型;若令微分表達式(1)中α=0,β→1,由式(1)經羅必塔法則求導后可得Gompertz模型的微分表達式,從而可以得到Gompertz沉降預測模型。由此可見,沉降預測的指數曲線模型、Bertalanffy曲線模型、Logistic曲線模型、Weibull曲線模型、Gompertz曲線模型、Usher曲線模型均為廣義Usher模型的幾種特例,通過選取不同的模型參數,廣義Usher模型可以將現(xiàn)有的幾個沉降預測模型統(tǒng)一起來。因此,廣義Usher模型具有更強的適應性,能夠更好地擬合實測數據。

2 模型參數確定的改進差分進化算法

設一般非線性模型參數優(yōu)化問題為

式中:J為優(yōu)化準則系數;f為非線性系數模型輸出值;c1,c2,…,cD為D個模型參數;Ul,Vl為m對輸入、輸出觀測數據;q為任意實常數,工程上一般取q=2,即為通用的最小二乘法準則。

由于式(4)是一個非線性函數,因此該問題的參數確定是一個非線性參數的確定問題。可以采用許多方法,如高斯-牛頓或麥夸特法等,但這些傳統(tǒng)的算法都對輸入的模型參數初始值有一定的要求,若輸入的參數值與參數的真實值偏離較大,可能造成迭代不收斂,而且也很難得到全局優(yōu)化解。而進化算法如遺傳算法[13]是目前處理一般非線性數學模型優(yōu)化的一種新的優(yōu)秀算法,它對模型是否線性、連續(xù)、可微等沒有限制,也不受優(yōu)化變量數目、約束條件的束縛,直接在優(yōu)化準則函數(目標函數)的引導下進行全局自適應尋優(yōu),該方法直觀、簡便、通用、適應性強。因此可以用進化算法進行搜索,從而確定模型結構參數。

差分進化算法(DE算法)是Storn等[14]于1995年提出的一種較為簡單、有效的進化算法。由于其原理簡單,受控參數少,易于理解和實現(xiàn),實施隨機、并行、直接的全局搜索,已成為進化算法的一個重要分支。目前,DE算法已在優(yōu)化應用方面取得了良好的效果[15]?？紤]到已有較多文獻研究證明DE算法優(yōu)化性能優(yōu)于遺傳算法,這里采用筆者改進研發(fā)的DEPES算法來進行優(yōu)化求解。下面給出DEPES算法求解沉降預測廣義Usher模型的步驟[12]:

步驟1 構建目標函數:根據式(3)和式(4),由m對實測沉降觀測數據{tl,sl}可構建待優(yōu)化目標函數(累計殘差平方和)如下:

式中,X為列向量,X=[s∞,a,b,c,d]T;^sl為根據式(3)得出的沉降量計算值;g1為考慮極限沉降量s∞大于最后一次沉降觀測值 s latest而設置的約束;g2,g3為使式(5)目標函數式有意義而設的約束。以上約束采用罰函數法進行處理。

步驟2 初始化種群:置當前進化代數G←1,利用預設的算法控制參數(種群中個體數量N p、交叉概率Cr、最大進化代數 Gmax、變量維數D)在變量下上限范圍[XL,XU]內(問題可行域)隨機初始化種群個體 Xi,G(i=1,2,…,Np)。

步驟3 種群評價:將種群個體代入式(5)計算出目標函數值,以確定最優(yōu)目標函數值Vbf和相應的最優(yōu)個體 X best。

步驟4 參數調整:隨機產生差分進化模式集合DE/x/y/z(x表示在變異操作時,是隨機選取當前代中某一個體Xrand,G作為父個體還是選擇當前代中最優(yōu)個體作為父個體 Xbest,G;y表示在變異操作時,所使用差分個體的個數;z表示交叉方案),作為第G代的差分進化模式;并在[0.2,0.9]范圍內隨機動態(tài)調整當前代的縮放因子F G。

步驟5 變異操作:對每個目標個體Xi,G,按步驟4確定的進化模式變異得到擾動個體 V i,G+1。

步驟6 交叉操作:根據 Xi,G和Vi,G+1按步驟4確定的相應進化模式交叉,生成新的試驗個體U i,G+1。

步驟7 并行試驗搜索:按式(6)產生新的試驗個體Y i,G+1:

式中:Xbest,G為第G代的最優(yōu)秀個體;σi,G,σi,G+1分別為父代、子代個體的標準差;σε,σi,0分別為標準差基數和初始標準差,應用中常取 σε=0,σi,0∈[1,3];隨機實數A∈[1,10];N(0,1)為服從標準正態(tài)分布的隨機數。

步驟8 變量邊界約束處理:對不符合變量邊界約束的新個體Ui,G+1,Yi,G+1,Xi,G用在可行域內產生的隨機個體來代替。

步驟9 選擇操作:將 Ui,G+1,Yi,G+1,Xi,G所對應的目標函數值進行比較,保留優(yōu)秀解;更新 Vbf和X b est;置 G←G+1。

步驟10 判斷是否收斂:若是,則結束算法,輸出結果;否則,轉入步驟4,直至滿足收斂條件。

基于上述步驟,在Matlab軟件環(huán)境中編制了相應的計算程序。下面結合實際工程的沉降觀測數據,將DEPES算法應用于計算分析中。

3 工程實例計算分析

3.1 實例計算

為便于比較幾種常用預測模型的擬合預測情況,選用文獻[10]中的實例為例,即寧杭高速公路工程。其NH標k95+520觀測點的沉降觀測資料如表1所示。沉降觀測從2002年8月19日至12月14日止?，F(xiàn)同樣以該處沉降觀測資料前80 d的沉降觀測數據作為計算模擬值,用本文的廣義Usher模型及DEPES算法對沉降數據進行模擬和預測。經編程并在計算機上實現(xiàn),DEPES算法的參數設置為Np=50,Cr=0.5,Gmax=1000,Vf=10-6。利用DEPES算法進行若干次隨機試驗搜索,取最好的一組結果為 s∞=12.346,a=338.381,b=8.90529,c=0.106501,d=871.744。即廣義Usher模型為

?

根據式(7)可計算出30～100 d的沉降模擬值和預測值,及相對誤差對比情況,如表1所示,得出的沉降與時間關系曲線如圖1所示。

圖1 實測曲線與各模型計算曲線的比較

3.2 討論分析

為提高預測的精度,首先要保證有充分高的模擬精度,尤其是 t=80 d時的模擬精度。從表1可見,廣義Usher模型在t=80 d時的沉降模擬值為10.103cm,與觀測值10.11cm非常接近,相對誤差的絕對值僅為0.073%,均小于表中所列其他模型相對誤差絕對值;再從30～80 d的整體沉降模擬情況來看,本文方法使平均絕對值相對誤差較小(2.001%),也均小于其他模型平均絕對值相對誤差。表2為各模型評價指標,表2中,無論是從相關指數還是從累計殘差平方和等評價指標來看,廣義Usher模型的模擬和預測效果都是最佳的。以上分析表明,廣義Usher模型能更好地適應實際情況的變化,可以獲得很高的擬合精度,其推算的結果是可靠的。

表2 各模型評價指標

對于DEPES算法和DE算法的優(yōu)化搜索性能比較,圖2、圖3繪出了該次算法試驗搜索的進化過程曲線。圖中縱坐標采用對數坐標。由圖2可見,當各算法在處理如本文這一含有多變量、帶約束的較復雜非線性優(yōu)化模型時,DE算法表現(xiàn)欠佳,而DEPES算法較為理想,DEPES算法所對應的最優(yōu)目標函數值下降曲線比DE算法的下降曲線具有更快的下降速度和更好的下降程度。這說明DEPES算法比DE算法具有更快的收斂速度和更好的收斂精度。為便于觀察各算法前期進化搜索情況,結合圖2,從圖3繪出的算法前200代進化過程曲線可見,DEPES算法大約在120代左右就可以收斂到問題的滿意解,而DE算法卻在給定的進化代數1000代內仍未能收斂至DEPES算法的計算結果。綜上所述,DEPES算法可快速收斂至高精度解,是DE算法的一種有效改進算法。

圖2 各算法整體搜索過程的進化曲線

圖3 各算法進化200代的進化曲線

4 結 論

a.通過對軟土路基沉降預測廣義Usher模型分析,常用的指數曲線模型、Logistic模型、Gompertz模型 、Bertalanffy模型 、Weibull模型 、Usher模型等 6 種沉降預測模型均為其特例,該模型具有更強大的可塑性和適應性,可獲得較其他模型更高精度的沉降模擬預測值。

b.給出了沉降預測廣義Usher模型參數優(yōu)化求解的改進差分進化算法,該算法具有計算速度快、自動化程度高、通用性強等特點,是一種有效的智能優(yōu)化算法,適用于非線性優(yōu)化問題的數值優(yōu)化求解,可在其他巖土工程非線性優(yōu)化問題中推廣應用。

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