變異函數(shù)S-粗集

秦登鵬

（黃淮學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系，河南 駐馬店 463000）

1 引言

文獻(xiàn)[1]提出 S-粗集（singular rough sets），給出了它的兩類結(jié)構(gòu)：?jiǎn)蜗?S-粗集（one direction singular rough sets），雙向 S-粗集（two direction singular rough sets）[2～7]。 對(duì) S-粗集的特性、應(yīng)用給出了進(jìn)一步的討論。S-粗集推廣了1982年波蘭數(shù)學(xué)家Z.Pawlak提出的粗集。在Z.Pawlak粗集中，集合X奐U是靜態(tài)的，在S-粗集中，集合X奐U是動(dòng)態(tài)的（單向動(dòng)態(tài)X=X°或雙向動(dòng)態(tài)X=＾）。由此推測(cè)，在更一般的情況下，函數(shù)S-粗集是否也具有變異函數(shù)S-粗集？

S-粗集是以元素作為研究對(duì)象的，變異S-粗集則是以屬性為研究對(duì)象的，兩者是等價(jià)的[6]。函數(shù)S-粗集是以函數(shù)屬性作為研究對(duì)象的，以同樣的思維方式思考，如果以函數(shù)值作為研究對(duì)象，這就是變異函數(shù)S-粗集。鑒于兩者的等價(jià)性，通過(guò)研究函數(shù)值的相關(guān)性質(zhì)和規(guī)律，可以從側(cè)面來(lái)反映和研究函數(shù)屬性的相關(guān)性質(zhì)和規(guī)律。

為了使本文的符號(hào)簡(jiǎn)化，又不致引起誤解，這里約定：值域類[u（x）]記作[u]，值域 u（x），v（x）記作 u，v；值域論域 D（x）記作 D，值域集 Q（x）={u（x）1，u（x）2，…，u（x）m}D（x），記作 Q={u1，u2，…，um}D。

2 單向變異函數(shù)S-粗集

定義1.1 設(shè)D是函數(shù)值域，Q={u1，u2，…，um}D.是值域集，如果存在變換 f∈F，使得 v∈D，v埸Q，v在 f∈F 的作用下變成 f（v）=u∈Q，稱 f∈F 是 D 上的函數(shù)值遷移，F(xiàn)={f1，f2，…fm}稱作 D 上的函數(shù)值遷移族；或者堝v∈D，v埸Q圯f（v）=u∈Q。（1.1）

定義1.2 給定Q∈D，稱Q°是Q的單向變異 S-集合，如果 Q°=Q∪｛v|v∈D，v埸Q，f（v）=u∈Q｝.（1.2）

Qf稱作 Q 的 f-擴(kuò)張，而且 Qf=｛u|v∈D，v埸Q，f（v）=u∈Q｝.（1.3）

定義 1.3 稱（R，F(xiàn)）。 （Q°）是 Q°∈D 的下近似，如果（R，F(xiàn)）。 （Q°）=∪[u]=｛u|u∈D，[u]哿Q｝（1.4）稱（R，F(xiàn)）°（Q）°是 Q°∈D 的上近似，如果（R，F(xiàn)）。 （Q）°=∪[u]={u|u∈D，[u]∩Q°≠φ}.（1.5）

定義 1.4 由（R，F(xiàn)）。 （Q°），（R，F(xiàn)）°（Q°）構(gòu)成的集合對(duì)，稱作 Q∈D 的單向變異函數(shù) S-粗集，而且（（R，F(xiàn)）。 （Q°），（R，F(xiàn)）°（Q）°），（1.6）稱 Bnr（Q°）是 Q°∈D 的邊界，而且 Bnr（Q°）=（R，F(xiàn)）。 （Q°）-（R，F(xiàn)）°（Q°）.（1.7）

定義 1.5 稱 As（Q°） 是單向變異函數(shù) S-粗集（（R，F(xiàn)）。（Q°），（R，F(xiàn)）°（Q°））生成的副集合，如果 As（Q°）={u|v∈D，v埸Q，f（v）=u∈Q}（1.8）

3 雙向變異函數(shù)S-粗集

定義2.1 設(shè)D是函數(shù)值論域，Q={u1，u2，…un}∈D是值域集，如果存在變換 f∈F，使得 v∈D，v埸Q，v在 f∈F 的作用下變成 f（v）=u∈Q；如果存在變換 f∈F，使得 uj∈Q，uj在 f∈F 的作用下變成 f（uj）=vj埸Q；f，稱作 D 上的函數(shù)值遷移，F(xiàn)={f1，f2，…，fm}，F(xiàn)={f1，f2，…，fn}稱作 D 上的函數(shù)值遷移族。

定義2.2 給定Q∈D，稱 Q*是Q的雙向S-集合，如果Q*=Q′∪{v|v∈D，v埸Q，f（v）=u∈Q）（2.3）Q′=Q-{u|u∈Q，f（u）=v埸Q}，（2.4）Qf稱作 Q∈D 的 f-萎縮， 而且Qf={u|u∈Q，f （u）=v埸Q}.（2.5）

定義 2.3 稱（R，F(xiàn)）。 （Q*）是 Q*D 的下近似，而且（R，F(xiàn)）。（Q*）=∪[u]={u|u∈D，[u]哿Q*}（2.6）稱（R，F(xiàn)）°（Q*）是 Q*D 的上近似，而且（R，F(xiàn)）。（Q*）=∪[u]={u|u∈D，[u]∩Q*≠φ}.（2.7）這里：F=F∪，F(xiàn)≠φ，F(xiàn)≠φ.

定義 2.4 由（R，F(xiàn)）。 （Q*），（R，F(xiàn)）°（Q*）構(gòu)成的集合對(duì)，稱作 Q奐D 的雙向變異函數(shù) S-粗集，而且（（R，F(xiàn)）。 （Q*），（R，F(xiàn)）°（Q*））.（2.8）稱 Bnr（Q*）是 Q*D 的邊界，而且 Bnr（Q*）=（R，F(xiàn)）。 （Q*）-（R，F(xiàn)）°（Q*）.（2.9）

定義 2.5 稱 As（Q*）是雙向變異函數(shù) S-粗集（（R，F(xiàn)）。 °（Q*），（R，F(xiàn)）°（Q*））生成的副集，如果 As（Q*）={u|v∈D，v埸Q，f（v）=u∈Qandu∈Q，（u）=v埸Q}.（2.10）

由1和2節(jié)的概念，容易得到下述命題1

命題1 雙向變異函數(shù)S-粗集是單向變異函數(shù)S-粗集的一般形式，單向變異函數(shù)S-粗集是雙向變異函數(shù)S-粗集的特例。

命題1是明顯的事實(shí)，證明略。

4 函數(shù)值遷移與它的特征

設(shè)[u（x）]是 D 上的 α-函數(shù)值等價(jià)類，[u（x）]={u（x）1，u（x）2，…，u（x）m}，坌k，u（x）k∈[u（x）]的離散形式是 u（x）k={u（x）k，1，u（x）k，2，…，u（x）k，n}.（3.1）設(shè)[a，b]是[u（x）]的值域，[c，d]是[u（x）]的定義域，a，b，c，d∈R+，ab，cd；α 是函數(shù)值集.顯然，若 u（x）j∈[u（x）]，則 x∈[a，b]，u（x）j∈[c，d]；若 u（x）p埸[u（x）]，則 x埸[a，b]，u（x）p埸[c，d].如果存在變換 f∈F，對(duì)于 v（x）埸[u（x）]，使得 f（v（x））的 x∈[a，b]，f（v（x））∈[c，d]變換 f∈F 是函數(shù)值遷移，而且堝v（x）∈D，v（x）埸[u（x）]]f圯（v（x））=u（x）∈[u（x）].（3.2）顯然，f∈F 構(gòu)造是簡(jiǎn)單的，具體的f∈F，在利用變異函數(shù)S-粗集分析應(yīng)用問(wèn)題中給出。

5 結(jié)論

文獻(xiàn)[1]提出 S-粗集（singularroughsets），[2～13]對(duì) S-粗集的特性與應(yīng)用給出了討論.S-粗集（單向S-粗集，雙向S-粗集）比1982年波蘭數(shù)學(xué)家Z.Pawlak提出的粗集具有理論與應(yīng)用的一般性;這是因?yàn)镾-粗集不僅能解決系統(tǒng)中靜態(tài)粗分析問(wèn)題，也能解決系統(tǒng)中動(dòng)態(tài)粗分析問(wèn)題.將Z.Pawlak粗集向前推了一步.由史開泉教授提出的函數(shù)S-粗集又將S-粗集向前退了一步，本文以函數(shù)值作為研究對(duì)象，分析了變異函數(shù)S-粗集，這對(duì)于通過(guò)函數(shù)值的性質(zhì)和規(guī)律來(lái)研究和挖掘函數(shù)屬性的性質(zhì)和規(guī)律，進(jìn)而應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)投資系統(tǒng)，保險(xiǎn)虧盈預(yù)測(cè)，風(fēng)險(xiǎn)投資分析，金融信貸的預(yù)警估計(jì)將有著重要的意義。

[1]史開泉.函數(shù) S-粗集[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2005（1）：1-10.

[2]Z Pawlak.Rough Sets[J].International Journal of International Sciences，1982，（11）：341-356.

[3]史開泉，崔玉泉.S-粗集和它的一般結(jié)構(gòu)[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2002，（12）.

[3]史開泉.函數(shù) S-粗集[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2005，（1）：1-10.

[4]Zhang Ping，Shi Kai-quan，Lu Chang-jing.Function S-rough sets and rough law mining-separation [J].Systems Engineering and Electronics，2005，27（11）：1899-1902.

[5]Shi Kai-quan，Chang Ting-cheng.One direction S-rough sets[J].International Journal of Fuzzy Mathematics，2005，（2）：319-334.

[6]史開泉，崔玉泉.變S-粗集與它的變異結(jié)構(gòu)[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2004，39（5）：7-13.

[7]史開泉，劉月蘭.S-粗集與它的（F，)-遺傳（Ⅲ）[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版），2004，（3）：109-114.