代數(shù)多項式零點的位置

摘 要：由代數(shù)學基本定理可以知道，n次代數(shù)多項式有n個零點（其中幾重根算幾個零點）.本文主要討論形如的n次代數(shù)多項式的零點的位置.第一節(jié)討論任意系數(shù)的代數(shù)多項式的零點的分布，對一個任意系數(shù)的代數(shù)多項式，其零點都在某一個圓環(huán)內(nèi)，此圓環(huán)大小和位置由多項式的系數(shù)決定；第二節(jié)討論系數(shù)有一些特殊的代數(shù)多項式的零點的位置，如系數(shù)是實數(shù)的代數(shù)多項式的零點位置.

關(guān)鍵詞：代數(shù)學基本定理；代數(shù)多項式；零點.

[中圖分類] O17

一 一般系數(shù)代數(shù)多項式的零點位置

此節(jié)討論系數(shù)為任意數(shù)的n次代數(shù)多項式的零點的范圍.為了討論n次代數(shù)多項式的零點位置，讓我們先來看一個引理：

引理1 若，則多項式

只有一個正零點.

證明 當時

=，

若要使，則必有.

因為，又因為我們要討論的是函數(shù)的正零點，則在的情況下，函數(shù) 必是單調(diào)遞減的，且當時，；當 時，.由連續(xù)函數(shù)介值定理可得，必然存在唯一一點，使得，因此只有一個正的零點.

由引理1及其證明過程，我們可以證明一個關(guān)于代數(shù)方程根的位置的定理：

定理1 對于多項式

的任何一個零點，必有不大于多項式

（1）

的唯一正零點；不小于多項式

（2）

的唯一正零點；

證明（1）是多項式的一個零點.則代入得

.

由此可得：

，

則.

由引理1可知：；

（2）由可知，不是的零點.

假設(shè)是的零點，則是的零點，進而也是的零點，

.

假設(shè)的唯一正零點是，則由（1）得：，即.

又因為

兩邊同乘，則有

，

，

即：是的唯一正零點，

由此：.

由（1）（2）得，結(jié)論成立，證畢.

定理1說明了代數(shù)多項式零點的大致位置，我們只要求出 與即可，而解一個實系數(shù)方程的唯一正根這一問題本身是比解一個復系數(shù)方程簡單而具體的，由此可見定理1還是有一定可行性的，在這里我們來看一個比較簡單的例子.

例1 求多項式的零點的位置.

解 假設(shè)為的一個零點，由題意：的唯一正零點是，則由定理1得 .

由此，可見此多項式的零點在以原點為圓心，為半徑的圓周上.

從例1來看，由定理1 得出的是一個比較完美的結(jié)論，但是很多實例并不是像定理1一樣完美，因為不是每一個實系數(shù)代數(shù)方程都可以像例1中的方程一樣容易得到一個很好的解，為了防止出現(xiàn)這種情況，我們再引入另一個定理：

定理2 若是的某一零點，則

，

其中是正數(shù)，且；

證明 設(shè)，假設(shè) .

由引理1與定理1可知，必有

此時我們只要證明此式成立即可，又因為

由此可得，結(jié)論成立.

對于定理2，如果能適當?shù)倪x?。ǎ┑拇笮。涂梢院芊奖愕牡玫椒匠谈倪m當位置，此處提供幾個可供選擇的的特例，僅供參考：

（1）；

（2）；

（3）.

二 特殊系數(shù)代數(shù)多項式零點位置

第一節(jié)討論的是任意系數(shù)代數(shù)多項式的零點的范圍，在本節(jié)我們來討論系數(shù)特殊的代數(shù)多項式的零點的范圍：

引理2 對次多項式，若系數(shù)有這樣的關(guān)系：，則在單位圓內(nèi)有個零點；

證明 令，

.

因為，則在單位圓周上有.

又因為在單位圓內(nèi)有個零點，則由儒歇定理得：在單位圓內(nèi)也有個零點.

由引理2，我們可以得到另一個定理：

定理3 若為多項式的某零點，

若有

，則必在單位圓內(nèi)；

若有

，

則必在單位圓外.

在這里有一個很有意思的結(jié)論，這是對于實系數(shù)代數(shù)多項式來說的：

結(jié)論1 對于多項式

，

若有

，

則的零點必在單位圓外.

證明 用反證法：

（1）對于單位圓盤，當時

=

由此可知；

（2）當時，直接代入得：；

由（1）（2）可知，多項式的零點不可能在單位圓盤內(nèi).

可以看出，代數(shù)方程根的位置與系數(shù)之間的關(guān)系是很密切的，如果能方便的找到這種關(guān)系，就能很容易確定根的位置，下面這個定理就很明白的說明了這一點.

定理4假設(shè)多項式的系數(shù)都是正的，則它的零點位于圓環(huán)內(nèi)，其中，.

證明 設(shè).

（1）用代替z，則的零點為，

因

，

由結(jié)論1，只要，則的零點不在內(nèi).

即只要（），就有的零點不在內(nèi)，也就是當時，的零點在上；

（2）用代替z，則的零點為.

此時

，

即：.

由結(jié)論1，只要

，

則的零點不在內(nèi).

即只要

（），

就有的零點不在內(nèi).即當時，也就是時，的零點不在內(nèi).由此：的零點在內(nèi).

由（1）（2）得：多項式的零點位于圓環(huán)內(nèi).

上面的定理3，定理4實際上討論的都是特殊的具體問題，雖然并不如定理1，定理2一樣可用于任何一個代數(shù)方程，卻為求一些出現(xiàn)頻率很高的代數(shù)多項式零點的位置找到了很好的解決方法，這是值得借鑒的.

結(jié)論

本論文探討的是代數(shù)方程根的位置問題，從兩個方面討論了代數(shù)多項式的零點的位置，從而為解決代數(shù)方程的根找到了一個比較可靠的檢驗方法，雖然還并不很完善，但是此方法還是有一定效果的，并可以運用于實踐.本論文還存在一些漏洞，這有待于繼續(xù)研究.

參考文獻

[1]鐘玉泉.復變函數(shù)論.北京：高等教育出版社，1988.

[2]北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù).北京：高等教育出版社，1998.

[3]G.波利亞，G.舍貴.數(shù)學分析中的問題和定理.上海：上?？茖W技術(shù)出版社，1981.

作者簡介

聶海燕（1969—），女，山西晉中人，講師，山東省淄博職業(yè)學院教師，主要從事數(shù)學科研與教育教學工作。

（作者單位：淄博職業(yè)學院）