擬常曲率空間中具常平均曲率的閉超曲面

吳澤九

(華東交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，江西南昌330013)

設(shè)Nn+1是n+1維單連通完備黎曼流形，其黎曼曲率張量分量取如下形式

則稱Nn+1為擬常曲率空間，其中a，b是Nn+1上的C∞-函數(shù)，g是Nn+1的黎曼度量，λ是Nn+1上的單位向量函數(shù)，稱它為Nn+1的生成元。顯然，當(dāng)a為常數(shù)且b=0時(shí)，擬常曲率空間即為常曲率空間。對于擬常曲率空間中具常平均曲率的超曲面M，文[2，3]得到關(guān)于M第二基本形式模長平方S的積分不等式及S的值域估計(jì)等結(jié)果。本文討論S滿足一定條件下超曲面M的分類，推廣文[4]中相應(yīng)結(jié)論。

1 預(yù)備知識

文中各種指標(biāo)范圍規(guī)定如下:1≤A，B，C…≤n+1;1≤i，j，k…≤n;不特別說明時(shí)，∑表示對重復(fù)指標(biāo)求和。設(shè)M是擬常曲率空間Nn+1的閉超曲面，在Nn+1

其中:Rijkl與Kijkl分別是M與Nn+1的曲率張量分量。M的第二基本形式模長的平方S與平均曲率H分別是

用hijk及hijkl分別表示hij的共變導(dǎo)數(shù)，則

所以

由于Nn+1的生成元λ切于M，則

由(1)(11)，對任意i，j，k有

從而(9)式變?yōu)?/p>

于是hij的Laplacian為

等式成立當(dāng)且僅當(dāng)a1，…，an中至少有n-1個(gè)彼此相等。

2 主要結(jié)果及證明

定理1 設(shè)M是擬常曲率空間Nn+1具常平均曲率的連通閉超曲面，Nn+1的生成元λ切于M，則

由(26)(27)為等式，有

由引理1及(22)為等式有，k1，k2，…，kn中至少有n-1個(gè)相等，下分情況討論。

當(dāng)k1，k2，…，kn全相等，即k1=k2=…=kn時(shí)，M是全臍超曲面。

當(dāng)k1，k2，…，kn不全相等時(shí)，不妨假設(shè)

因?yàn)?21)式等號成立，即

成立。事實(shí)上，此時(shí)b≡0，這是因?yàn)?/p>

(i)若存在某點(diǎn)使得b＞0，由(11)(30)(31)式，在該點(diǎn)有所以k1=k2，這與條件k1≠k2=…=kn矛盾。

(ii)若存在某點(diǎn)使得b＜0，由(11)(30)(31)式，在該點(diǎn)有

所以有k1=k2，與條件k1≠k2=…=kn矛盾。

在Sn+1(a)上選取適當(dāng)，使得hij=kiδij。(7)式中，令i=j，由(29)式有

所以ki為常數(shù)。再由(7)有

因此由(30)(32)有

由(4)(33)得

如果對某一m使得ω1m≠0和ωm2≠0，由(32)有k1=km=k2，這與k1≠k2矛盾，因此∑R12klωk∧ωl=0，故

由(35)(36)有

因此M是球面Sn+1(a)中具有二個(gè)不同主曲率的超曲面，其重?cái)?shù)分別是1重和n-1重。由M的連通性與緊致性，類似文[7]討論一樣，M是球面Sn+1(a)中的H(r)-環(huán)面S1(r)×Sn-1(t)，其中:r2=

類似定理1的證明，Nn+1的生成元λ法于M時(shí)，可得

定理2 設(shè)M是擬常曲率空間Nn+1具常平均曲率的連通閉超曲面，Nn+1的生成元λ法于M，則

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