一種基于Logistic與Henon混沌系統(tǒng)的彩色圖像加密方法

陳 翎，潘中良

（華南師范大學物理與電信工程學院電子工程系，廣東廣州510006）

近年來，隨著網(wǎng)絡通信技術特別是Internet的快速發(fā)展，信息安全正越來越受到普遍關注。例如對數(shù)字圖像而言，在傳輸過程中可能要求發(fā)送端與接收端進行保密通信，以保證圖像信息的完整性、可靠性和安全性[1]。對于數(shù)字圖像，目前主要有兩種有效的保護方法，即數(shù)字水印方法和圖像加密方法。數(shù)字水印方法，是在圖像中加入水印信息，為數(shù)字圖像提供知識產(chǎn)權保護；圖像加密方法，是對圖像進行加密操作，把原來的圖像轉變?yōu)轭愃朴谛诺涝肼暤男畔?，這些信息對不知道密鑰的網(wǎng)絡竊聽者是不能識別的，進而可以有效地保護傳輸中的圖像數(shù)據(jù)[2~3]。目前對圖像的加密，主要有如下的方式：基于現(xiàn)代密碼體制的圖像加密、基于秘密分割與秘密共享的圖像加密、基于矩陣變換（或像素置換）的圖像加密、基于混沌的圖像加密等。

基于混沌的數(shù)字圖像加密的原理，是在發(fā)送端把待傳輸?shù)膱D像信息疊加上多個混沌信號，使得在傳輸信道上的信號具有類似于隨機噪聲的特性；在接收端通過去除所疊加的混沌信號，恢復出真正傳輸?shù)膱D像信息[4~5]。本文將Logistic混沌映射和Henon混沌映射進行結合，設計了一種基于混沌的圖像加密方法，能夠改變圖像象素的空間分布和灰度分布，具有較強的魯棒性。

1 混沌映射

混沌是指在一個非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種貌似無規(guī)則的，類似于隨機的現(xiàn)象。對于確定型的非線性系統(tǒng)出現(xiàn)的具有內(nèi)在隨機性的解，就稱為混沌解。這種解在短期內(nèi)可以預測，而在長期內(nèi)卻不可預測，因此與確定解和隨機解都不同?；煦缬兄约邯氂械谋闅v性、有界性、內(nèi)隨機性和普適性等特征。例如混沌具有對初值的敏感依賴性，只要初始條件稍有差別或有微小的擾動，就會使系統(tǒng)的最終狀態(tài)出現(xiàn)很大的差異；混沌具有各態(tài)歷經(jīng)的遍歷性，混沌系統(tǒng)可以在特定范圍內(nèi)，按自身規(guī)律不重復地遍歷所有狀態(tài)。

Logistic映射是一個典型的非線性混沌方程，它起源于一個人口統(tǒng)計的動力學系統(tǒng)。Logistic映射的表達式如下：

這里0＜λ≤4，稱λ為分支參數(shù)。在確定了λ的值之后，由任意初值x0∈[0，1]，就可以迭代出一個確定的序列x1，x2，…，xn，…。對于不同的λ值，式（1）的系統(tǒng)將呈現(xiàn)不同的特性；隨著參數(shù)λ的值的增加，系統(tǒng)不斷地經(jīng)歷倍周期分叉，最終達到混沌。

Logistic映射的另一種形式為

其中 μ∈(0，2)，yi∈[-1，1]。式（2）的系統(tǒng)與式（1）的系統(tǒng)具有類似的特征。

如下的Henon映射，在一定的條件下也呈現(xiàn)混沌

在Henon映射中，含有兩個參數(shù)a和b，可以取一個參數(shù)為常數(shù)，把另一個參數(shù)作為變量進行迭代，這樣可以得到類似于Logistic映射的分岔，也是經(jīng)歷了一系列的倍周期分岔而達到混沌。

2 產(chǎn)生多個混沌序列的步驟

為了實現(xiàn)對數(shù)字圖像的加密，下面提出一種多個混沌系統(tǒng)相結合的加密方法。在該方法中，首先用如下的步驟產(chǎn)生多個混沌序列：

（1）第一步——由Logistic映射的式（1）進行N次迭代，產(chǎn)生一個混沌序列x0，x1，…,xN。將1.39+|xN|/100作為Henon映射中的參數(shù)a的值；

（2）第二步——由Logistic映射的式（2）進行M次迭代，產(chǎn)生一個混沌序列y0，y1，…，yM。將作為Henon映射中的參數(shù)b的值。

（3）第三步——由Logistic映射的式（1）進行K次迭代，產(chǎn)生一個混沌序列作為Henon映射中的初值z0的值；將0.1+|xK'|/200作為Henon映射中的初值w0的值；

（4）第四步——對Henon映射，使用在第三步中選定的z0和w0的初值，以及在第一步和第二步選定的參數(shù)a和b的值，進行迭代，產(chǎn)生一個混沌序列。從所產(chǎn)生的這個混沌序列中選出一部分zt，zt+1，…，zt+s作為圖像加密時使用的混沌序列。這里t和s為給定的正整數(shù)。

對如上的四步依次多次運行，每次運行時選取不同的初始值x0，y0和x0'，獲得用于圖像加密的多個不同的混沌序列。在上述步驟中，N，M和K都為正整數(shù)。

3 加密步驟

整個圖像加密方法的步驟如下：

（1）打開一個圖像文件；

（2）順序讀取圖像中的象素信息；

（3）選定初始參數(shù)；根據(jù) Logistic映射的式（1）和式（2），以及Henon映射的式（3），用如上方法產(chǎn)生混沌序列。這里，由于所產(chǎn)生的混沌序列中每一個數(shù)是實數(shù)，因此將這種混沌實數(shù)序列在其最大值與最小值之間，按照256級的等級進行線性映射，獲得8位二進制序列，并作為加密因子序列。

（4）把圖像的像素所對應的二進制序列與加密因子序列進行異或運算。異或的結果是一個與圖像原來的二進制序列不相同的序列，將該序列轉換為像素信息，即得到經(jīng)過加密后的圖像。

4 解密過程

對加密圖像的解密過程，如圖1所示。

圖1 加密與解密的實現(xiàn)過程

我們用Visual C++編制了如上的基于混沌的圖像加密算法的程序，實現(xiàn)了對彩色圖像的加密與解密。在實驗時，對Logistic映射的式（1）中的參數(shù)λ的值取為4，對Logistic映射的式（2）中的參數(shù) μ的值取為1.99。圖2至圖5是對一副彩色圖像的實驗結果。

圖2 原圖像

圖3 加密后的圖像

圖4 解密后的圖像

圖5 具有誤差時解密后的圖像

圖2是原圖像，圖3是經(jīng)過加密后的圖像，圖4是解密后的圖像。圖5是當Henon映射中參數(shù)a的值具有10-5的誤差時解密后的圖像。通過實驗結果說明，從加密后的圖像看不出原圖像的內(nèi)容；利用正確的密鑰解密出的圖像與原圖像看不出差別；當解密密鑰與加密密鑰存在微小的差別時，都完全不能正確解密出原始圖像。因此本文的加密算法對密鑰有極強的敏感性。

3 結束語

混沌具有自相似性、遍歷性、對初值敏感等特征，非常適合于對圖像數(shù)據(jù)進行加密。基于混沌的加密方法，可以防范頻率分析攻擊、窮舉攻擊等攻擊，使得密碼難于分析和破譯。若單獨使用一種混沌系統(tǒng)對圖像進行加密，若密鑰選得不是很好，則加密的效果有限，例如有時加密之后還能看見原圖像的大概輪廓。采用多個混沌系統(tǒng)的結合，來實現(xiàn)圖像的加密，可以取得較好的加密效果，增強加密系統(tǒng)的安全性。

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