《數(shù)學(xué)分析》課程內(nèi)容與教學(xué)方法的研究

郝 彥

(浙江海洋學(xué)院數(shù)理與信息學(xué)院，浙江舟山 316004)

《數(shù)學(xué)分析》課程是高等院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)和信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課程之一，其內(nèi)容經(jīng)典、體系完整、理論嚴(yán)密、應(yīng)用廣泛。這門課程在大學(xué)1-2年級開設(shè)，教學(xué)時(shí)數(shù)最多、學(xué)分值最高，對后續(xù)的微分方程、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析、概率統(tǒng)計(jì)、微分幾何等的教學(xué)有直接影響，是數(shù)學(xué)專業(yè)研究生必考科目?！稊?shù)學(xué)分析》學(xué)得好壞也常作為衡量學(xué)生基礎(chǔ)是否扎實(shí)的一個(gè)重要標(biāo)志，正因如此，其教學(xué)與課程建設(shè)在許多學(xué)校都受到高度重視，該校這門課程在2003年被確立為校級重點(diǎn)建設(shè)課程，2007年被確立為校級精品課程。

《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)方式在許多學(xué)校幾乎與50年前的教學(xué)方式一樣，數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展與數(shù)學(xué)教學(xué)之間并未起到相互促進(jìn)作用。面對20世紀(jì)下半葉，高等教育從“精英教育”到“大眾教育”的轉(zhuǎn)變，《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)方法的研究也越來越引起人們的重視[1-5]，筆者在《數(shù)學(xué)分析》的課程內(nèi)容和教學(xué)方法上也做了一些研究，經(jīng)過幾年的教學(xué)實(shí)踐，取得了一定的效果，下面把筆者的做法作一總結(jié)，供同行們參考。

1 “分層次”教學(xué)方法的應(yīng)用

提起分層次教學(xué)方法，現(xiàn)今各高校普遍使用的是根據(jù)成績而劃分的“快慢班”式的教學(xué)方式，這種做法在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)上還是比較適用的，但是對于《數(shù)學(xué)分析》使用這種教學(xué)方法的高校還是很少的。柴俊[2]對試行過“快慢班”式分層次教學(xué)的華東師大99級數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生進(jìn)行過問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果顯示對這種做法持贊成態(tài)度的學(xué)生比例不足20%，也就是說這種分快慢班式的教學(xué)方法學(xué)生是不贊成的，學(xué)生們不贊成分快慢班的一個(gè)重要原因是這種考核標(biāo)準(zhǔn)的特點(diǎn)是對學(xué)生的短處進(jìn)行處罰，要求學(xué)生在任何一個(gè)方面均不能落后，而對學(xué)生的長處則鼓勵(lì)不夠。這或多或少在學(xué)生的心中留下了陰影，使許多學(xué)生因此對分“快慢班”的做法持反對態(tài)度。

筆者的“分層次”教學(xué)方法不是根據(jù)學(xué)生的成績對學(xué)生分層次，而是就數(shù)學(xué)分析的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分層次，這種分層次方法的原因和具體做法如下：

筆者學(xué)校從2006級學(xué)生開始，為了培養(yǎng)學(xué)生多方面的知識能力，增加了選修課的學(xué)時(shí)，專業(yè)基礎(chǔ)課和專業(yè)課的教學(xué)時(shí)數(shù)都進(jìn)行了一定量的壓縮。數(shù)學(xué)分析的教學(xué)時(shí)數(shù)由原來的288學(xué)時(shí)降為256學(xué)時(shí)，為了保證數(shù)學(xué)分析的教學(xué)質(zhì)量，采取了如下分層教學(xué)法：

在《數(shù)學(xué)分析》前3個(gè)學(xué)期的教學(xué)任務(wù)完成后，第4學(xué)期開設(shè)了選修課《數(shù)學(xué)分析續(xù)論(1)》，以補(bǔ)充加深前3個(gè)學(xué)期沒有講完的內(nèi)容，《數(shù)學(xué)分析續(xù)論(1)》的教學(xué)時(shí)數(shù)是48學(xué)時(shí)。把《數(shù)學(xué)分析》課程內(nèi)容中理論性很難、相對獨(dú)立的內(nèi)容，同時(shí)對第四學(xué)期的后續(xù)課程學(xué)習(xí)沒有影響的內(nèi)容，如實(shí)數(shù)的完備性、可積理論補(bǔ)充、傅立葉級數(shù)收斂定理的證明等安排在《數(shù)學(xué)分析續(xù)論(1)》中講解。當(dāng)然《數(shù)學(xué)分析續(xù)論(1)》還包括在前3個(gè)學(xué)期沒有補(bǔ)充深入講解的內(nèi)容，如求極限的各種方法，包括前3個(gè)學(xué)期沒有講過的Stolz定理，黎曼引理，上、下極限等方法。

在第5學(xué)期開設(shè)了選修課《數(shù)學(xué)分析續(xù)論(2)》，教學(xué)時(shí)數(shù)48學(xué)時(shí)，是為部分考研學(xué)生開設(shè)的考研專項(xiàng)輔導(dǎo)訓(xùn)練課。

這種“分層次”的教學(xué)思想，經(jīng)過2年多的教學(xué)實(shí)踐，較好地滿足了各種層次的學(xué)生要求，學(xué)生反映效果很好。

2 加強(qiáng)對《數(shù)學(xué)分析》的課程內(nèi)容和教學(xué)重點(diǎn)的研究

由于《數(shù)學(xué)分析續(xù)論(1)》和《數(shù)學(xué)分析續(xù)論(2)》都是選修課，勢必有一些學(xué)生不選這兩門課程。為此，學(xué)校非常重視《數(shù)學(xué)分析》前3個(gè)學(xué)期的教學(xué)內(nèi)容的。在《數(shù)學(xué)分析》前3個(gè)學(xué)期的教學(xué)過程中，對《數(shù)學(xué)分析》的課程內(nèi)容和教學(xué)重點(diǎn)進(jìn)行了認(rèn)真細(xì)致的研究。

1)高度重視《數(shù)學(xué)分析》課程內(nèi)容的設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)分析是歷史悠久的經(jīng)典課程，所涉及的內(nèi)容具有很強(qiáng)的抽象性，根據(jù)學(xué)校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)方向的發(fā)展規(guī)劃及課程教學(xué)特點(diǎn)，“分層次”教學(xué)方法使用以來筆者對課程內(nèi)容的設(shè)計(jì)就給予了高度重視。

數(shù)學(xué)分析的課程內(nèi)容共包括3大塊：一元函數(shù)微積分、多元函數(shù)微積分、級數(shù)理論。

一元函數(shù)微積分部分是課程教學(xué)的最主要部分，是課程教學(xué)的重點(diǎn)部分。使學(xué)生首先建立極限的思想和運(yùn)算，依此為工具來研究函數(shù)的變化率問題—導(dǎo)數(shù)問題，通過對導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算的掌握，研究導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算問題—不定積分問題，通過牛頓—萊布尼茨公式來解決定積分的計(jì)算問題等。這是整個(gè)教學(xué)的關(guān)鍵，其教學(xué)成敗直接影響到整個(gè)數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)的成敗。

多元函數(shù)微積分部分是課程教學(xué)的難點(diǎn)部分，要求學(xué)生在空間中建立微積分思想。它要以學(xué)生前面掌握的極限思想為工具，研究多元函數(shù)的極限與連續(xù)問題，多元函數(shù)的變化率問題—導(dǎo)數(shù)問題，多元函數(shù)的改變量問題—微分問題，多元函數(shù)的積分問題，其中多元函數(shù)積分問題的教學(xué)是這一部分難點(diǎn)的難點(diǎn)。

級數(shù)理論部分從形式上看是數(shù)學(xué)分析課程相對獨(dú)立的一部分內(nèi)容，實(shí)際上是用極限思想研究數(shù)學(xué)問題的繼續(xù)，是高等數(shù)學(xué)的有機(jī)組成部分。它包括數(shù)項(xiàng)級數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、函數(shù)的級數(shù)展開問題(函數(shù)的冪級數(shù)展開、函數(shù)的三角級數(shù)展開—傅立葉級數(shù))等。這些問題在其他后續(xù)課程中有廣泛的應(yīng)用。

2)抓住《數(shù)學(xué)分析》課程的教學(xué)重點(diǎn)

《數(shù)學(xué)分析》盡管內(nèi)容繁多，但在教學(xué)過程中只要抓住教學(xué)重點(diǎn)，繁多的內(nèi)容還是可以簡單明了的。

在教學(xué)過程中首先是緊緊抓住“極限”這一線索，可以說極限思想貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)分析的始終，極限理論是整個(gè)數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)：導(dǎo)數(shù)是一類結(jié)構(gòu)特殊的函數(shù)的極限；定積分、重積分、曲線積分、曲面積分都是某類特殊和式的極限；級數(shù)可以歸結(jié)為數(shù)列的極限。“逼近”的思想也要讓學(xué)生深刻地體會到：用割線代替切線；用很短時(shí)間間隔的平均速度代替瞬時(shí)速度；用若干個(gè)小矩形面積之和代替所求曲邊梯形面積；用折線段的長度代替所求曲線的長度；用多項(xiàng)式代替連續(xù)函數(shù)等.當(dāng)然在教學(xué)中還要強(qiáng)調(diào)學(xué)生熟練深刻的掌握極限、導(dǎo)數(shù)和積分的各種求法。

其次是正確處理一元和多元的關(guān)系，一元函數(shù)的理論教學(xué)是基礎(chǔ)，通過一元函數(shù)的理論教學(xué)使學(xué)生明確《數(shù)學(xué)分析》的研究對象，扎實(shí)掌握所研究問題的思想、理論與方法。研究多元時(shí)要充分考慮一元函數(shù)的理論、思想與方法在多元函數(shù)研究中的遷移和滲透。

3 多媒體課件的合理使用

多媒體課堂計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)目前正在各個(gè)高等院校蓬勃展開，但在數(shù)學(xué)課堂上是否適合使用多媒體教學(xué)一直以來還是一個(gè)備受爭議的問題，反對在數(shù)學(xué)課堂上利用多媒體的人認(rèn)為：數(shù)學(xué)課的思維靈活、推理嚴(yán)密，單純的利用多媒體課件不能把一個(gè)問題的多種思考角度都體現(xiàn)出來，相應(yīng)的一個(gè)問題的多種解法也不能體現(xiàn)出來，因?yàn)槎嗝襟w課件是事先做好的，討論時(shí)不如黑板教學(xué)靈活。再者一些定理證明的推導(dǎo)過程、題目的演算過程如果學(xué)生只是看多媒體上的屏幕的顯示過程，走馬觀花，效果肯定是不如用板書在黑板上一步一步地推導(dǎo)演算，事實(shí)上，教師在一筆一筆的板書的過程中，學(xué)生會緊緊地跟著教師的思路往下思考，這樣學(xué)生才能更好的體會和掌握做題的思路和步驟。筆者在《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)中采用的方法是“粉筆+黑板”再加上“鼠標(biāo)+屏幕”，將傳統(tǒng)教學(xué)方法與現(xiàn)代化教學(xué)手段相結(jié)合，以達(dá)到最好的教學(xué)效果。

《數(shù)學(xué)分析》課堂上在采用傳統(tǒng)教學(xué)方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合使用多媒體課件，具有以下兩點(diǎn)優(yōu)勢：

1)效率高、信息量大

利用多媒體課件主要是把問題的背景、定義、定理、例題以及圖形等直觀地展示給學(xué)生，而定理證明的推導(dǎo)過程、題目的演算過程以及學(xué)習(xí)中需要注意的地方由教師在黑板上板書，兩種方法相結(jié)合就節(jié)約了教師許多背對學(xué)生板書或畫圖的時(shí)間，這樣教師就有更多的時(shí)間用于講授新知識，從而提高了效率、加大了課堂的信息量。

2)效果好、印象深

多媒體教學(xué)不同于傳統(tǒng)的教學(xué)，它比較直觀生動、圖文并茂，可以把抽象的數(shù)學(xué)教學(xué)變得直觀生動。在傳統(tǒng)的黑板課堂教學(xué)中，學(xué)生難以想象出三維空間的一些圖形，比如旋轉(zhuǎn)曲面、馬鞍面等一系列圖形，通過多媒體的演示，學(xué)生對這些圖形的印象就非常深刻，從而可以幫助學(xué)生提高空間想象能力。再如在引進(jìn)定積分和二重積分的概念時(shí)，我們要先求曲邊梯形的面積和曲頂柱體的體積，用一系列動感的畫面來演示分割、近似替代、作和、求極限的過程，從而學(xué)生就能清楚地理解定積分和二重積分的概念。這種生動的視覺效果能增加學(xué)生對一些抽象數(shù)學(xué)概念和方法的理解與掌握。

幾年的教學(xué)實(shí)踐證明，在數(shù)學(xué)分析的課堂教學(xué)中，將傳統(tǒng)的教學(xué)模式與現(xiàn)代的多媒體教學(xué)合理有效地結(jié)合起來，既提高了課堂教學(xué)的效率，又加強(qiáng)了課堂教學(xué)的效果，從而在有限的課堂教學(xué)時(shí)間里，最大限度的發(fā)揮傳統(tǒng)教學(xué)方式與多媒體課件在提高教學(xué)質(zhì)量方面的作用。

[1]黃 貴.高師《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)改革嘗試[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005,21(5)：10-12.

[2]柴 俊.數(shù)學(xué)專業(yè)多模式分層次教學(xué)實(shí)證研究[J].高等師范教育研究,2003,15(5)：59-64.

[3]劉 瀏.淺談數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)[J].達(dá)縣師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005,15(2)：72-74.

[4]劉仁義.數(shù)學(xué)分析的教學(xué)創(chuàng)新研究與實(shí)踐[J].高等理科教育,2004(3)：61-64.

[5]馬新文.《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)探析[J].瓊州學(xué)院學(xué)報(bào),2009,16(5)：75-77.

[6]王美娟.高等數(shù)學(xué)習(xí)題課CAI的思考[J].上海理工大學(xué)學(xué)報(bào):社會科學(xué)版,2004,26(1)：35-37.