兩種基于過程能力指數(shù)的抽樣方案研究

周小喜

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241003）

為了更好地減少成本和提高工作效率，企業(yè)越來越注重在生產(chǎn)過程中檢驗產(chǎn)品以做到在線監(jiān)控產(chǎn)品質(zhì)量.抽樣檢驗的首要任務(wù)是依據(jù)接收概率曲線(OC曲線)[1]確定抽樣檢驗方案.即從被檢產(chǎn)品中確定隨機抽取的樣本大小和對樣本進行檢驗時判斷產(chǎn)品是否合格的合格判定數(shù).進行抽樣的另一個目的就是要了解過程(工序)的生產(chǎn)能力即生產(chǎn)合格品的能力.過程能力指數(shù)(Process Capability Index，簡稱PCI)1989年Ford公司引入過程能力指數(shù)(Process Capability Index，簡則稱PCI)進行組織內(nèi)部和供應(yīng)商的過程評價，目前在全球制造業(yè)廣泛應(yīng)用.隨著QS9000的推廣，過程能力指數(shù)的應(yīng)用已經(jīng)涵蓋了生產(chǎn)、服務(wù)、管理等多個過程.美國學(xué)者Zachary G Stoumbos提出了由接收概率曲線(OC曲線)來分析過程能力指數(shù)，使得過程(工序)能力指數(shù)與抽樣檢驗方案建立聯(lián)系.Taguchi博士建立質(zhì)量損失函數(shù)[2]，并且基于損失函數(shù)給出更加明確的抽樣方案，本文對這兩種抽樣方案進行分析.

1 兩種抽樣方案介紹

1.1 接收概率曲線(OC曲線)思想下的抽樣方案

在質(zhì)量特性x服從正態(tài)分布情況下，通常把過程(工序)控制在μ±3δ之內(nèi)(δ為標準差).這種思想在1924年由美國的休哈特(Shewhart)博士提出.在這里討論單側(cè)公差情形，當(dāng)產(chǎn)品公差要求為單側(cè)下規(guī)格界限時，過程能力指數(shù)Cp[3]定義如下：

式中：LSL為產(chǎn)品公差的下規(guī)則界限；μ為理論均值；δ為理論標準差.

在實際生產(chǎn)中過程(工序)輸出的產(chǎn)品質(zhì)量通常存在偏離，通過下式來估計Cp

進而有

Leroy A Franklin 提出了由過程(工序)能力指數(shù)確定抽樣樣本容量n的方法[5].當(dāng)下置信限水平為(1-α)，過程(工序)能力指數(shù)的估計值和理論值之間的關(guān)系為

由式(5)和式(6)可得

因此，樣本容量n取決于式(7).由過程(工序)能力指數(shù)估計值可知合格判定數(shù)c，合格判定數(shù)c由檢驗批量N和批量檢驗不合格品率p確定.

1.2 產(chǎn)品質(zhì)量特性反饋控制過程(工序)能力指數(shù)思想下的抽樣方案

這種思想是建立在休哈特博士于1924年提出的統(tǒng)計過程(過程)控制技術(shù)中的常規(guī)控制圖得出的.休哈特博士提出常規(guī)控制圖(可以推算出過程能力指數(shù))要求每隔一定時間或每隔一定產(chǎn)品抽樣一次，但對于間隔多長時間或多少產(chǎn)品沒有明確說明.但借助Taguchi質(zhì)量損失函數(shù)[6]可以解決這個問題.在這里討論雙側(cè)公差情形.在企業(yè)生產(chǎn)過程中，設(shè)產(chǎn)品的質(zhì)量特性為y，目標值為m，規(guī)格界限為m± Δ.每隔一定的間隔n，對加工后的產(chǎn)品測量一次質(zhì)量特性值y，若y位于管理界限m±D之內(nèi)，則繼續(xù)生產(chǎn)；相反則調(diào)整生產(chǎn)過程(工序)能力，這種用產(chǎn)品質(zhì)量特性反饋來控制系統(tǒng)，針對這種情況Taguchi博士建立了質(zhì)量損失函數(shù)基礎(chǔ)下的抽樣方案.Taguchi博士建立的質(zhì)量損失函數(shù)[6]為

式中：A為產(chǎn)品不合格時的損失；B為測量費用；n為最佳控制系統(tǒng)的測量間隔；C為調(diào)整費用(指工序異常時，即產(chǎn)品的特性y超出管理界限m±D時，使其恢復(fù)正常狀態(tài)下進行工序(過程)調(diào)整的總費用)；Δ為規(guī)格公差；D為管理界限的公差；l為時滯；δm2為測量誤差引起的方差；μ為最佳控制系統(tǒng)平均過程(工序)調(diào)整間隔預(yù)測值.

由式(8)知L是參數(shù)n、D、μ的函數(shù).即L=L(n，D，μ).此外，初期平均過程(工序)調(diào)整間隔統(tǒng)計值μ0和初期管理界限D(zhuǎn)0，之間的關(guān)系為

則式(8)轉(zhuǎn)化為n、D的函數(shù)，即：

由式(9)可知n、D分別是最佳抽樣間隔和最佳控制界限.據(jù)L(n，D)=min 的原則.采用最小平方法，分別對兩個未知參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，得到方程組

解方程組(10)可得如下解

這兩個核心參數(shù)即為控制圖最佳控制界限D(zhuǎn)和最佳抽樣間隔n.

2 兩種抽樣方案的評價

2.1 接收概率曲線(OC曲線)思想下的抽樣方案評價

由文獻[5]和式(7)得到一個基于過程能力指數(shù)的抽樣方案(N，n，c).這種抽樣方案工序(過程)能力指數(shù)小于1.33時，不能保證工序(過程)不發(fā)生不合格品，抽樣不能完全控制不合格品，且也不能做到反控制控制圖(可推算出過程能力指數(shù))的效果.當(dāng)工序(過程)能力指數(shù)為1.67到2.0之間時是一個非常理想狀態(tài)，這種狀態(tài)下抽樣方案也將失去抽樣檢驗的作用.例如：在一個生產(chǎn)周期(設(shè)周期為12 h)內(nèi)檢驗批量N=532.針對工序(過程)能力指數(shù)判斷的界限值為0.67，1.0，1.33，1.67，2.0，可以利用式(1)-式(7)推算出最大不合格率0.022 8，0.001 3，3×10-5，3×10-7，3×10-9，由此推算出對應(yīng)的合格判定數(shù)c為：12.13，0.7，0.02，0，0.由此構(gòu)成四種抽樣方案，這四種抽樣方案不能保證不合格產(chǎn)品被抽到.

2.2 產(chǎn)品質(zhì)量特性反饋控制過程(工序)能力指數(shù)思想下的抽樣方案評價

由文獻[8]可知這種抽樣方案可以反饋控制過程能力指數(shù)并且給出在常規(guī)控制圖下(即過程能力指數(shù)在非常理想狀態(tài))能預(yù)測下一個抽樣時間，能明確知道控制系統(tǒng)的控制界限.例如：在某個零件生產(chǎn)過程中每隔50個產(chǎn)品抽檢一個產(chǎn)品對其中一尺寸(5.000±0.1) mm進行檢驗，測量數(shù)據(jù)見表1.

表1 測量的數(shù)據(jù)

假設(shè)上述控制界限和抽樣間隔在常規(guī)控制圖的管理狀態(tài)下，即有管理界限D(zhuǎn)0=60 μm，測量間隔n=50個.

已知其他參數(shù)如下： A=1.2元，B =1.4元，C=15元，l=5個，δm=4 μm，調(diào)整間隔統(tǒng)計值為 μ0=2 000個.

由式(11)，計算得

由式(12)，計算得

在實際生產(chǎn)和應(yīng)用中，取D=30 μm，則平均調(diào)整間隔預(yù)測值為

則最佳抽樣間隔為n=125個，平均調(diào)整間隔預(yù)測值為μ=500個.從這個抽樣方案可以看到該設(shè)計優(yōu)于由接收概率曲線(OC曲線)思想下的抽樣方案.這種抽樣方案基于過程(過程)能力指數(shù)，但能反饋控制質(zhì)量特性和控制圖(有控制圖可推出過程能力指數(shù))，并且可以診斷出過程(工序)故障.

3 結(jié) 論

基于過程(工序)能力指數(shù)下的抽樣方案能更好地控制產(chǎn)品質(zhì)量和減少生產(chǎn)過程中的成本損失，這兩種抽樣方案能夠建立生產(chǎn)和抽樣檢驗之間的聯(lián)系，能夠?qū)ιa(chǎn)過程中依據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量特性和質(zhì)量成本對生產(chǎn)過程(工序)能力進行有效的評價和判斷.尤其是產(chǎn)品質(zhì)量特性反饋控制過程(工序)能力指數(shù)思想下的抽樣方案能夠很好地反控制常規(guī)控制圖和質(zhì)量特性的預(yù)測，使得在生產(chǎn)過程中更好地診斷過程能力異常的原因，并能讓管理者作出更好的調(diào)整.但是這兩種抽樣方案都存在同樣的問題：如果在過程(工序)能力指數(shù)不能滿足1.67到2.0之間時，這兩種抽樣方案都很難實施.因此，現(xiàn)在有很多學(xué)者提出在線監(jiān)控.

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