豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)中的拋體運(yùn)動(dòng)

馮明志

(徐州一中 江蘇 徐州 221002)

圓周運(yùn)動(dòng)問題是力學(xué)中的基本問題之一，中學(xué)主要研究在水平面內(nèi)和豎直面內(nèi)的兩種圓周運(yùn)動(dòng).通常我們認(rèn)為，只要物體運(yùn)動(dòng)時(shí)有提供與運(yùn)動(dòng)方向相垂直的向心力,物體就能在一定軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，而事實(shí)上由于物體所處的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和受力特征不同,不是每種圓周運(yùn)動(dòng)都能發(fā)生；在一定情況下，就會(huì)由圓周運(yùn)動(dòng)變拋體運(yùn)動(dòng).這類問題總是出現(xiàn)在變速圓周運(yùn)動(dòng)中,而豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是典型的變速圓周運(yùn)動(dòng)，下面我們主要通過豎直平面的圓周運(yùn)動(dòng)來探討這一問題.

1 圓軌道內(nèi)側(cè)的拋體運(yùn)動(dòng)

當(dāng)物體沿圓軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)(如過山車)，如果軌道對物體有作用力，只能是垂直支承面向內(nèi)的壓力；當(dāng)軌道與物體間沒有作用力時(shí)，物體將做拋體運(yùn)動(dòng).

【例1】一質(zhì)量m=2 kg的小球從光滑斜面上高h(yuǎn)=3.5 m處由靜止滑下，斜面底端緊接著一個(gè)半徑R=1 m的光滑圓環(huán)[圖1(a)]，求：

(1)小球滑至圓環(huán)頂點(diǎn)時(shí)對環(huán)的壓力；

(2)小球至少應(yīng)從多高處靜止滑下才能越過圓環(huán)最高點(diǎn)；

(3)小球從h′=2 m處靜止滑下時(shí)將在何處脫離圓環(huán).(取g=10 m/s2)

圖1

解：(1)設(shè)小球滑至環(huán)頂時(shí)速度為v，所受環(huán)的壓力為N，由機(jī)械能守恒和圓周運(yùn)動(dòng)條件得(以軌道最低點(diǎn)為零勢面)

(1)

(2)

聯(lián)立解得

N=40 N

(2)剛好越過圓環(huán)時(shí)，在環(huán)頂由重力提供向心力，球與環(huán)間的壓力等于零，在(1)解法中令N=0，可得

(3)由于h′

(3)

(4)

聯(lián)立解得

2 圓軌道外側(cè)的拋體運(yùn)動(dòng)

圖2

解析：設(shè)物體在N處滿足彈力FN=0,設(shè)此時(shí)距頂點(diǎn)高度為h，

從頂點(diǎn)至N，由動(dòng)能定理，有

(1)

在N處：FN=0有

(2)

而

(3)

由式(1)、(2)、(3)得

則有

(4)

3 輕質(zhì)繩作用下的拋體運(yùn)動(dòng)

【例3】用長為L=1.6 m的細(xì)繩，一端系著質(zhì)量M=1 kg的木塊，另一端掛在固定點(diǎn)上.現(xiàn)有一顆質(zhì)量m=20 g的子彈以v1=500 m/s的水平速度向木塊中心射擊，結(jié)果子彈穿出木塊后以v2=100 m/s的速度前進(jìn).求木塊能運(yùn)動(dòng)到的最高位置.(取g=10 m/s2，空氣阻力不計(jì))

解析：木塊在向上運(yùn)動(dòng)的過程中，速度逐漸減小，有可能通過最高點(diǎn)B，也有可能不會(huì)通過B點(diǎn)，即木塊運(yùn)動(dòng)到某一臨界位置C時(shí)，若木塊所受的重力在沿半徑的分力恰好等于木塊做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，此時(shí)繩子的拉力為零，繩子便開始松弛.如果C點(diǎn)在圓心O所在水平面以上[圖3(a)]，木塊就以此刻所具有的速度vC做斜上拋運(yùn)動(dòng).木塊所能到達(dá)的高度就是C點(diǎn)的高度和從C點(diǎn)開始的斜上拋運(yùn)動(dòng)的最大高度.如果C點(diǎn)在圓心O所在水平面以下[圖3(b)]，即木塊的最高點(diǎn)在O點(diǎn)水平面下方時(shí)速度就減為零，此處即為物塊運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn).由上分析可知，要先根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件判斷木塊的運(yùn)動(dòng).

圖3

具體解答如下：

在水平方向動(dòng)量守恒，有

mv1=MvA+mv2

(5)

式(5)中vA為木塊被子彈擊中后的速度,木塊被子彈擊中后便以速度vA開始擺動(dòng).

從式(5)求得

vA=8 m/s

設(shè)木塊剛好能擺動(dòng)到了B點(diǎn).則它在B點(diǎn)時(shí)的速度vB.應(yīng)滿足方程

(6)

這時(shí)木塊的重力提供了木塊在B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力.

解上述方程得

vB=4 m/s

如果vB<4 m/s，則木塊不能升到B點(diǎn)，會(huì)在到達(dá)B點(diǎn)之前的某一位置以某一速度開始做斜向上拋運(yùn)動(dòng)，或者直接從該位置滑下，選A點(diǎn)為零勢能點(diǎn)，木塊在A點(diǎn)時(shí)的能量為

木塊在B點(diǎn)時(shí)的能量為

兩者不相等，可見木塊升不到B點(diǎn)；而物體在與圓心等高處的重力勢能為

Ep=MgL=16 J

所以物體上升的高度h滿足

1.6 m

設(shè)木塊在臨界位置C時(shí)的速度為vC，高度為h′如圖所示，則有

h′=L(1+cosθ)

(7)

根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

(8)

在C處，有

(9)

由式(7)、(8)、(9)得

所以

木塊從C點(diǎn)開始以速度vC做斜上拋運(yùn)動(dòng)所能達(dá)到的最大高度h″為

所以物體上升的最大高度為

通過對以上例題的分析，不難看出在變速圓周運(yùn)動(dòng)中的某些特殊位置上，常存在著最小(或最大)的速度，小于(或大于)這個(gè)速度，物體就不能再繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)了.通過對此類題型的分析，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)物理學(xué)的興趣,掌握物理學(xué)的基本規(guī)律,培養(yǎng)創(chuàng)造性思維.