一維無限深勢阱內粒子概率密度演示儀

易其順

(廣西民族師范學院物理與信息技術系,廣西崇左532200)

1 引 言

薛定諤方程是近代物理的一個主要內容,而一維無限深勢阱又是應用薛定諤方程解決實際問題的典型例子,因此講解一維無限深勢阱相關內容時如何讓學生學會利用薛定諤方程解決問題和進一步理解波函數(shù)的統(tǒng)計解釋非常重要.可是這部分內容又比較抽象,學生學習比較困難,興趣不高,因此有必要將這部分抽象的內容進一步具體化.基于這樣的考慮,在多年的教學研究的基礎上,設計并制作了一維無限深勢阱中粒子概率密度分布的演示儀,效果良好.

2 實驗原理

2.1 一維無限深勢阱的模型

在金屬中的自由電子不會自發(fā)地逃出金屬,就是因為它們在各晶格結構點(正離子)形成的“周期場”中運動,可以抽象地認為電子在無限深的勢能勢阱中運動.圖1為一維無限深勢阱的勢能曲線圖[1],其中縱坐標表示勢能,橫坐標表示距離.從圖中可看出,當 x≤0或 x≥a時,勢能為無窮大,此時粒子態(tài)函數(shù)的表達式為ψ(x)=0,即粒子不會出現(xiàn).當0＜x＜a時,勢能表達式為V(x)=0.這樣,粒子就被限制在 x=0和 x=a兩點之間無限深的平底深阱中運動.勢阱內勢能與時間無關,所以滿足定態(tài)薛定諤方程,因此勢阱內的方程為

其解為

圖1 一維無限深勢阱的勢能曲線

由標準化條件和歸一化條件,確定各參量得定態(tài)波函數(shù)為

圖2 粒子定態(tài)波函數(shù)和概率密度函數(shù)圖

2.2 實驗原理

這樣,波函數(shù)就可以看成是2列沿 x軸相反方向傳播的單色平面波的疊加.由 kn=nπ/a及kn=pn/得

圖3 電子在勢阱內的駐波圖及概率密度圖

3 實驗裝置

實驗裝置如圖4所示,裝置總共由兩部分組成,第一為駐波產(chǎn)生部分,第二為演示部分.駐波產(chǎn)生部分由信號發(fā)生器、喇叭、升降臺以及固定于喇叭上的果凍殼、木條、細線和小沙桶組成.其中,振動部分參考了文獻[2]的振動源.演示部分主要由如圖4所示的演示板組成,演示板上將各個能級所對應的直線按1∶3∶5的間隔比例畫在板上,在每條能級線上標出該能級狀態(tài)下粒子態(tài)函數(shù)的駐波圖像和概率密度圖像同時取最大值的位置(用虛線標出),同時在每條能級線的左端裝上1個小滑輪.

圖4 演示實驗裝置圖

4 實驗演示

4.1 演示 n=1時的粒子的概率密度

調節(jié)升降機的高度,使細線與n=1的直線重合,調好信號發(fā)生器的輸出信號,打開信號發(fā)生器的電源,此時,喇叭開始振動,木條也跟著振動,再調節(jié)砂桶的重量,使細線在0和 a之間形成1個駐波.如圖3中的 n=1所示.從圖中可看出,在a/2處粒子出現(xiàn)的概率最大.在0和 a處粒子概率最小.

4.2 演示n=2時的粒子的概率密度

調節(jié)升降機的高度,將細線換到n=2的滑輪上,使細線與 n=2的直線重合,重復4.1操作使細線在0～a之間形成2個駐波.如圖3中的 n=2所示.從圖中可看出,在 a/4和3a/4處粒子出現(xiàn)的概率最大.在0,2a/4和a處粒子概率最小.

4.3 演示n=3時的粒子的概率密度

調節(jié)升降機的高度,將細線換到n=3的滑輪上,使細線與 n=3的直線重合,重復4.1操作使細線在0～a之間形成3個駐波.如圖3中 n=3所示.從圖中可看出,在 a/6,3a/6和5a/6處粒子出現(xiàn)的概率最大.在0,2a/6,4a/6和 a處粒子概率最小.

5 注意的問題

5.1 制作注意的問題

1)制作演示板時 x軸及n=1,2,3所代表的線的距離要按1∶3∶5的比例(按各能級間隔).

2)駐波產(chǎn)生部分的喇叭要選用低音喇叭,先將小木條穿過果凍殼頂部,并用固膠固定好,待固膠凝結后,再將果凍殼底部用固膠固定在喇叭的振動膜上,然后在小木條上系棉線.其實振動部分如果用音叉或打點記時器(經(jīng)改裝后),效果更明顯,本文只是因為實驗室有廢舊的喇叭才采用它作為振動部分.

5.2 演示時注意的問題

1)低頻信號發(fā)生器的信號調到50 Hz.

2)事先分別調好n=1,n=2,n=3時,桶的重量(以便實驗時節(jié)省時間),先調節(jié)升降臺,使小木條基本與n=1,n=2,n=3所代表的線重合,然后掛上相應的滑輪,最后進行細調.

6 結束語

本儀器只能夠從總體上讓學生觀察到電子在阱內概率密度的分布規(guī)律,不能從圖像中看出粒子在某一點的概率密度多大,這是本儀器的不足之處.但是演示教具構思巧妙,結構簡單,制作容易,所用的材料都是實驗室里或是日常生活中常見的物品,在課堂上利用它進行演示,能夠讓學生觀察到直觀的一維無限深勢阱內粒子不同的地方概率密度的分布規(guī)律,有助于學生對這一知識點的理解.更重要的是透過這種由常見物品巧妙融合而成的教具,能激發(fā)學生學習的興趣,同時給他們某種啟迪.

[1] 梁紹榮,劉昌年,盛正華,等.普通物理學(近代物理學基礎)[M].北京:高等教育出版社,2001:113-114.

[2] 易其順,黃國現(xiàn).一種演示 RLC電路相頻特性實驗儀[J].大學物理,2007,26(1):41.

[3] 劉名揚,孫維瑾,張民.一種演示 RLC電路相頻特性實驗儀[J].物理實驗,2008,28(11):12.

[4] 胡志日,張鈺,房熊俊,等.基于LabV IEW的衍射自動演示儀的設計[J].物理實驗,2009,29(3):14.

[5] 張朝民,張欣,陸申龍,等.巨磁電阻效應實驗儀的研制與應用 [J].物理實驗,2009,29(6):15.