Kendall協(xié)調(diào)系數(shù)W檢驗(yàn)及其SPSS實(shí)現(xiàn)*1

程 琮 劉一志 王如德

(1.泰山醫(yī)學(xué)院衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)教研室，2.統(tǒng)計(jì)學(xué)教研室, 山東 泰安 271016；3.臨沂市疾病預(yù)防控制中心，山東 臨沂 276001)

1 基本原理和方法

1.1基本概念

在等級(jí)資料或非正態(tài)分布的數(shù)據(jù)中，研究人員經(jīng)常對(duì)觀察對(duì)象的不同類型的能力進(jìn)行評(píng)分，觀察不同能力之間的評(píng)分是否具有一致性。此類數(shù)據(jù)屬于雙因素設(shè)計(jì)，即為多樣本相關(guān)數(shù)據(jù)的分析?？蓱?yīng)用Kendall協(xié)調(diào)系數(shù)W檢驗(yàn)(Kendall’s coefficient of concordance W)的分析方法。該檢驗(yàn)由Kendall 和Babington-Smith在1939年提出。

資料類型及特點(diǎn)：設(shè)有b個(gè)評(píng)判員(區(qū)組)，對(duì)k個(gè)觀察對(duì)象或觀察指標(biāo)(處理組)進(jìn)行評(píng)分。按照每個(gè)評(píng)判員的評(píng)分，對(duì)k個(gè)觀察對(duì)象或觀察指標(biāo)的評(píng)分由小到大編排秩次。秩次為從1，2，…，k。數(shù)據(jù)見表1。表1顯示：共有k=10個(gè)學(xué)生為觀察對(duì)象。由b=6個(gè)專家對(duì)每個(gè)學(xué)生6個(gè)方面的學(xué)習(xí)能力給予評(píng)分，表1中的數(shù)值不是原始評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，而是根據(jù)評(píng)分已經(jīng)編排好的秩次。

1.2應(yīng)用條件

(1)數(shù)據(jù)由k個(gè)觀察對(duì)象及b種測(cè)試能力或b個(gè)評(píng)判員的評(píng)分構(gòu)成。

(2)測(cè)量尺度至少是順序尺度。

(3)觀察值可以為原始評(píng)分的數(shù)據(jù)，也可以是對(duì)原始數(shù)據(jù)編排的秩次。

1.3基本原理

檢驗(yàn)假設(shè) H0：b組秩次沒有一致性；H1：b組秩次存在一致性。

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量W計(jì)算公式為：

(1)

式中： b是評(píng)判個(gè)數(shù)。k是觀察對(duì)象或觀察指標(biāo)個(gè)數(shù)。Rj是分配給第j個(gè)觀察對(duì)象的秩次的合計(jì)。

如果b種學(xué)習(xí)才能或特征之間無相關(guān)，則各列出現(xiàn)的秩次值是隨機(jī)的。期望的各列合計(jì)值近似相等。如果b種特征之間存在相關(guān)，則期望的某些列有較大的秩次，而另一些列則有較小的秩次。當(dāng)H0成立時(shí)，則理論上各列的合計(jì)值相等，如表1數(shù)據(jù)的各列合計(jì)值等于330/10=33，則6個(gè)特征之間無相關(guān)。本例，計(jì)算的離均差平方和S的觀察值為：

S=(28-33)2+(25-33)2+…+(45-33)2=514

在6種學(xué)習(xí)能力中，如果每個(gè)學(xué)生有相同的能力，則應(yīng)得到相同的評(píng)分和秩次。例如，若第一個(gè)學(xué)生在機(jī)械能力方面編排秩次為1，則在藝術(shù)才能方面也編排秩次為1，其它各才能方面編排秩次均為1，則秩次之和為6×1=6；第二個(gè)學(xué)生各能力方面均編排秩次為2，則秩次之和為6×2=12。余類推。

如果各個(gè)能力方面完全相關(guān)，則各列秩和為：

第1列秩和為：6×1=6，

第2列秩和為：6×2=12，

第3列秩和為：6×3=18，

……

第10列秩和為：6×10=60，

此時(shí)，離均差平方和S的期望值為：

S=(6-33)2+(12-33)2+…+(60-33)2=2970

將本例的S觀察值與S期望值相比，有：

若存在完全一致性，則其比值為1。若完全沒有一致性，則比值為0(由于分子為0)。介于0和1之間，則有一定程度的相關(guān)性。

計(jì)算S的公式為：

(2)

公式中符號(hào)意義，見公式(1)。如果各組秩次有完全一致性，則列合計(jì)為1b,2b,…kb,但可以不按順序排列。各列與期望值之差的平方和，公式為：

(3)

公式(2)與公式(3)之比，即為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量W：

(4)

經(jīng)過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換，公式(4)可以變換為公式(1)。兩者等價(jià)。

表1 6名專家對(duì)10名學(xué)生學(xué)習(xí)能力的評(píng)分(秩次)

1.4出現(xiàn)相同數(shù)據(jù)

若出現(xiàn)2個(gè)或更多個(gè)相同數(shù)據(jù)時(shí)，計(jì)算平均秩次。公式(1)中分母被替換為下式：

b2k(k2-1)-bΣ(t3-t)

(5)

校正的Wc公式為：

(6)

式中：t為相同數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。

1.5判斷原則

當(dāng)觀察的各組秩次接近一致時(shí)，S值傾向于更大。當(dāng)S值較大時(shí)，W值也較大，傾向于1。當(dāng)觀察的各組秩次不一致時(shí)，S值傾向于更小。當(dāng)S值較小時(shí)，W值也較小，傾向于0。當(dāng)W值充分大時(shí)，結(jié)果將導(dǎo)致拒絕沒有一致性的無效假設(shè)。

當(dāng)b和k較小時(shí)，可以根據(jù)α、b、k和W值，查Kendall協(xié)調(diào)系數(shù)W值表，判斷結(jié)論。

如果b、k值超出Kendall協(xié)調(diào)系數(shù)W值表，則應(yīng)用大樣本近似法計(jì)算卡方值，并根據(jù)自由度υ=k-1，查閱卡方界值表作出判斷和結(jié)論。Kendall推薦當(dāng)k>7時(shí)，計(jì)算卡方值。卡方值計(jì)算公式為

χ2=b(k-1)W

(7)

2 實(shí) 例

2.1應(yīng)用公式計(jì)算

例1 研究人員對(duì)戒酒中心的15名病人進(jìn)行調(diào)查。讓病人對(duì)戒酒計(jì)劃中的10項(xiàng)指標(biāo)給出評(píng)分。數(shù)據(jù)見表2。表2中的數(shù)據(jù)是對(duì)評(píng)分編排的秩次。試分析戒酒中心的病人對(duì)戒酒計(jì)劃其中的10項(xiàng)指標(biāo)的評(píng)分是否具有一致性。

表2 Kendall協(xié)調(diào)系數(shù)W檢驗(yàn)數(shù)據(jù)

表2中：no為編號(hào)，即為15個(gè)病人。x1～x10為10個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)。

檢驗(yàn)步驟如下：

(1)建立檢驗(yàn)假設(shè)

H0：病人對(duì)10項(xiàng)指標(biāo)的評(píng)分沒有一致性；

H1：病人對(duì)10項(xiàng)指標(biāo)的評(píng)分存在一致性。

α=0.05。

(2)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

將各列數(shù)據(jù)合計(jì)后平方再相加，有下列計(jì)算結(jié)果：

代入公式(1)有：

=0.4036

(3)確定P值，推斷結(jié)論

由于b=15，k=10，超出Kendall W一致性系數(shù)表范圍，可應(yīng)用大樣本近似法計(jì)算卡方值：

χ2=b(k-1)W=15(10-1)0.4036=54.486

結(jié)論：可以認(rèn)為15個(gè)病人對(duì)10項(xiàng)指標(biāo)的評(píng)分具有一致性。

例2 3個(gè)監(jiān)督員為5個(gè)雇員的工作能力進(jìn)行評(píng)分。分值最低為1分，最高為10分。見表3。

表3 3個(gè)監(jiān)督員為5個(gè)雇員工作能力評(píng)分(秩次)

注意：表3中的數(shù)據(jù)為3個(gè)監(jiān)督員的評(píng)分值，括號(hào)中數(shù)據(jù)為編排的秩次。對(duì)每個(gè)監(jiān)督員的評(píng)分值橫向編排秩次。第1個(gè)監(jiān)督員有兩個(gè)相同的評(píng)分即2分，求平均秩次為1.5。則t1=2。第3個(gè)監(jiān)督員也有兩個(gè)相同的評(píng)分，求平均秩次為3.5。則t2=2。

當(dāng)出現(xiàn)相同數(shù)據(jù)時(shí)，計(jì)算校正的統(tǒng)計(jì)量Wc。

Σ(t3-t)=(23-2)+(23-2)=12

根據(jù)b=3，k=5，查Kendall W一致性系數(shù)表，當(dāng)近似界值W=0.733時(shí)，P=0.038。由于P<0.05，拒絕H0，接受H1。可以認(rèn)為3個(gè)監(jiān)督員對(duì)5個(gè)雇員工作能力的評(píng)分具有一致性。

注意： Kendall W一致性系數(shù)表中的W界值不一定與計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量W值完全相同，可以取相近的W界值即可。

2.2應(yīng)用SPSS13.0統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算

操作步驟如下:

1.建立數(shù)據(jù)文件

輸入數(shù)據(jù)模式見表2數(shù)據(jù)。注意：將所有變量定義為數(shù)值型變量。

2.運(yùn)行非參數(shù)的“K Related Samples過程”

(1)打開待分析的數(shù)據(jù)文件，見表2數(shù)據(jù)；

(2)在SPSS Data Editor窗口中，依次選擇：Analyze→Nonparametric Tests→K Related Samples→顯示“Tests for Several Related Samples”主對(duì)話框：進(jìn)行參數(shù)設(shè)置。見圖1。

(3)在“Test Varibles”框中：選入“x1～x10”；

(4)選定“Kendall’s W”復(fù)選框；

(5)單擊“OK”按鈕，運(yùn)行該過程。

圖1 Tests for Several Related Samples過程對(duì)話框

3.顯示“K Related Samples”過程結(jié)果

結(jié)果中顯示兩個(gè)表。

(1)Ranks表：顯示x1～x10這10個(gè)指標(biāo)的平均秩次。

(2)Test Statistics表：顯示N為15例，Kendall’s W值為0.404，卡方(Chi-Square)值為54.491。P值(Asymp. Sig.)為0.000。結(jié)果與例1中用公式計(jì)算的相同，只是在第2位或第3位小數(shù)上有一點(diǎn)差別。

3 小 結(jié)

Kendall協(xié)調(diào)系數(shù)W檢驗(yàn)是一種非參數(shù)檢驗(yàn)方法，用于雙因素設(shè)計(jì)資料的一致性檢驗(yàn)。其基本原理是由b個(gè)評(píng)判員對(duì)k個(gè)觀察對(duì)象或觀察指標(biāo)進(jìn)行評(píng)分，然后檢驗(yàn)b個(gè)評(píng)判員的評(píng)價(jià)結(jié)果是否具有一致性。此方法在醫(yī)學(xué)心理測(cè)量指標(biāo)及調(diào)查表中調(diào)查項(xiàng)目或指標(biāo)的評(píng)價(jià)中應(yīng)用廣泛?？墒褂肧PSS統(tǒng)計(jì)分析軟件進(jìn)行分析。

[1] Wayne W Daniel. Applied nonparametric statistics[J]. 2th edition. Boston: PWS-KENT Punlishing Company,1990:386-391.

[2] 程琮. SPSS統(tǒng)計(jì)分析教程[M]. 北京:現(xiàn)代教育出版社,2009.