論高斯的幾何學(xué)思想及其意義

陳惠勇

(江西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西 南昌 330022)

1827年高斯《關(guān)于曲面的一般研究》一書的發(fā)表，標(biāo)志著內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)的創(chuàng)立。高斯在這篇文章中提出了一個(gè)全新的觀念——一個(gè)曲面本身就是一個(gè)空間！并從曲面本身的度量出發(fā)，展開曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何研究，得出了決定曲面在空間的形狀等一系列的理論與方法。在高斯的幾何學(xué)思想中有幾個(gè)核心概念：即直線與測地線；平行公設(shè)的否定與彎曲空間概念的產(chǎn)生；第一基本形式與彎曲空間的度量；曲面的度量與曲面在空間的形狀。正是由于這些核心概念以及高斯的絕妙定理和高斯-博內(nèi)定理等的揭示，才真正揭示出非歐幾何的本質(zhì)。高斯的思想后經(jīng)黎曼等人的發(fā)展，推廣到高維情形——黎曼幾何學(xué)。20世紀(jì)，黎曼幾何學(xué)已成為愛因斯坦廣義相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本文考察了高斯幾何學(xué)思想中幾個(gè)核心概念的發(fā)現(xiàn)及其意義，并由此探究高斯幾何學(xué)思想的思維軌跡。

一、直線與測地線

幾何學(xué)研究的基本出發(fā)點(diǎn)是點(diǎn)、線、面等基本元素。在《幾何原本》中，歐幾里得首先給出它們的定義：“點(diǎn)是沒有部分的；線只有長度而沒有寬度；一線的兩端是點(diǎn)；直線是它上面的點(diǎn)一樣平放著的線”[1]。歐氏幾何所討論的點(diǎn)、線是數(shù)學(xué)上抽象的點(diǎn)和線。歐幾里得的直線概念是非常樸素而且是直觀地描述的，并且定義中的線是指直線段。如何理解“直線是它上面的點(diǎn)一樣平放著的線”，“線只有長度而沒有寬度”，也就是如何理解直線的概念。從歐幾里得在定義19中關(guān)于直線、三邊形等的定義，以及第一卷命題20“在任何的三角形中，任意兩邊之和大于第三邊”等中可以看出，就是對“長度”的概念必須有一個(gè)確切的定義。歐氏幾何的直線，其本質(zhì)是平面上任意兩點(diǎn)之間的最短線。

事實(shí)上，要給直線下一個(gè)精確的定義幾乎是不可能的。希爾伯特在他著名的《幾何基礎(chǔ)》中，建立了歷史上第一個(gè)完備的公理化體系，第一次明確提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的三大原則：相容性、獨(dú)立性和完備性。他真正抓住了幾何元素的本質(zhì)——公理系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)與內(nèi)在聯(lián)系。希爾伯特并不給出點(diǎn)、線、面等幾何基本概念的定義，而是將它們叫做空間幾何的元素或空間的元素，并設(shè)想點(diǎn)、線、面之間有一定的相互關(guān)系，用“關(guān)聯(lián)”(“在……之上”、“屬于”)、“介于”(“在……之間”)、“全同于”(“全合于”、“相等于”)等詞來表示，并用幾何公理——關(guān)聯(lián)公理(結(jié)合公理、從屬公理)；順序公理(次序公理)；合同公理(全合公理、全等公理)；平行公理和連續(xù)公理——將這些關(guān)系予以精確而又完備的描述。這樣，在希爾伯特的幾何體系中，所有的問題就有了一個(gè)嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)和起點(diǎn)。在《幾何基礎(chǔ)》的附錄1“直線作為兩點(diǎn)間的最小距離”一文中，希爾伯特提到“無處是凹的體”并給出這一概念的定義：“無處是凹的體系指具有下述性質(zhì)的一個(gè)體：假如在其內(nèi)部兩點(diǎn)用以直線相連，則此直線介于這兩點(diǎn)的部分將整個(gè)位于這個(gè)體的內(nèi)部”[2]。從這里可以看出，直線的性質(zhì)是作為兩點(diǎn)之間的最短距離，而這一性質(zhì)只有在“無處是凹的體”的概念下才是成立的，也就是說只有在歐氏空間(平直的、剛性的)的意義下這一性質(zhì)才是成立的。

高斯的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)思想淵源于幾何基礎(chǔ)的研究，而其直接的現(xiàn)實(shí)淵源則是關(guān)于大地測量工作的?！案咚箯氖碌恼麄€(gè)大地測量工作和這方面的研究都是和完成漢諾威弧度測量相關(guān)聯(lián)的。雖然這個(gè)本身弧長只有2.1°的弧度測量對決定地球形狀和大小不能起很大作用，然而，在19世紀(jì)，對科學(xué)地設(shè)計(jì)和實(shí)施高精度的大地測量工作卻起著巨大的指導(dǎo)作用”[3]。

從現(xiàn)代微分幾何學(xué)的觀點(diǎn)來看，高斯的大地測量本質(zhì)上是度量曲面上(地球表面)與外在空間無關(guān)的兩點(diǎn)之間的最短距離(弧度)的問題，這就很自然地得出測地線的概念，即“在一個(gè)給定的曲面上的關(guān)于最短路徑的理論”[4]。測地線就是曲面上具有零測地曲率的曲線，因而，測地線的切線向量沿測地線本身是平行地移動(dòng)著的，當(dāng)一條測地線的包絡(luò)可展曲面展開到平面時(shí)，測地線就成了直線。高斯的測地線概念就是歐氏幾何中的直線概念在彎曲曲面上的自然推廣。

二、平行公設(shè)的否定與彎曲空間概念的產(chǎn)生

M.克萊因指出：“有關(guān)非歐幾里得幾何的最大事實(shí)是它可以描述物質(zhì)空間，像歐幾里得幾何一樣地正確。后者不是物質(zhì)空間所必然有的幾何；它的物質(zhì)真理不能以先驗(yàn)理由來保證。這種認(rèn)識，不需要任何技術(shù)性的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，首先是由高斯獲得的”[5]。高斯正是由于早年對幾何基礎(chǔ)問題的深入研究，才導(dǎo)致了彎曲空間概念的產(chǎn)生，進(jìn)而揭示了空間的非歐本質(zhì)。

我們知道，對平行公設(shè)的否定是這一理論的突破口。勒讓德(A.M.Legendre)于1794年首先指出三角形的內(nèi)角和等于180°的定理等價(jià)于歐氏幾何的第五公設(shè)。就在這一年，高斯已經(jīng)有了關(guān)于這些問題的第一個(gè)深刻思想。高斯于1846年10月給Gerling的信中寫道：“在任何的幾何中，一個(gè)多邊形之外角和在數(shù)量上不等于360°，……而是成比例于曲面的面積，這幾乎是這一理論之開端的第一個(gè)重要定理，這個(gè)定理的必要性我已于1794年認(rèn)識到了”[6]。高斯的這一深刻思想，至少包含三層意思。

第一，平行公設(shè)的否定。在歐氏幾何中，三角形內(nèi)角和等于180°與其外角和等于360°是等價(jià)的，一般地有任意一個(gè)多邊形之外角和在數(shù)量上也等于360°。高斯所討論的是雙曲幾何學(xué)情形，這里所說的“在任何的幾何中，一個(gè)多邊形之外角和在數(shù)量上不等于360°……”實(shí)際上就是對平行公設(shè)的否定。

第二，彎曲空間概念的產(chǎn)生。三角形內(nèi)角和等于180°的定理，本質(zhì)上是說平面是平坦的而不具有曲率。高斯在此所得到的認(rèn)識：“一個(gè)多邊形之外角和在數(shù)量上不等于360°，而是成比例于曲面的面積”，這一比例就是高斯曲率。用現(xiàn)代的語言表達(dá)就是，在球面幾何學(xué)情形，三角形的三內(nèi)角之和必然大于180°，并且有一個(gè)非常重要的公式A+B+C-π=S/R2，這里S為面積，R是球面的半徑，而1/R2則是度量球面的高斯曲率；在雙曲幾何學(xué)情形，三角形的三內(nèi)角之和必然小于180°，并且有如下的重要公式A+B+C-π=-S/R2，S為面積，此時(shí)R2代表非歐幾何的一個(gè)絕對的度量，換句話說，在非歐幾何的平面上，它的高斯曲率是負(fù)的且等于-1/R2；很顯然，如果上述的比例為零(也就是高斯曲率為零)，那么自然地得出“多邊形之外角和在數(shù)量上就等于360°”，也就是三角形內(nèi)角和等于180°的定理，這就是歐幾里得幾何情形。

由此可知，是否滿足歐幾里得的平行公設(shè)所體現(xiàn)出的本質(zhì)乃是所論幾何空間是否為彎曲的性質(zhì)。因而，高斯于1794年所得到的關(guān)于這些問題的深刻認(rèn)識，表明在高斯的頭腦中已經(jīng)有了“彎曲空間”的概念。

第三，“這幾乎是這一理論之開端的第一個(gè)重要定理”。高斯在這里所說的“這一理論”指的是他所發(fā)現(xiàn)的“雙曲幾何學(xué)”，而這個(gè)重要定理就是高斯-博內(nèi)定理，它是非歐幾何學(xué)的重要定理，也是內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)的一個(gè)極端重要的定理。這一定理被高斯譽(yù)為“整個(gè)曲面理論中最優(yōu)美的定理”，它對微分幾何學(xué)的發(fā)展和影響是非常深遠(yuǎn)的[注]陳省身于1944年給出了高維高斯-博內(nèi)公式的內(nèi)蘊(yùn)證明，成為現(xiàn)代微分幾何學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，其思想與方法對整體微分幾何的發(fā)展有著深刻的影響。。

如果聯(lián)系高斯《關(guān)于曲面的一般研究》對高斯-博內(nèi)定理的高度重視，特別是高斯運(yùn)用這一定理于測地三角形的角度比較定理與面積比較定理的研究以及實(shí)際測量測地三角形等等，我們可以看出高斯的真正用意是驗(yàn)證他所發(fā)現(xiàn)的非歐幾何[注]高斯用了其《關(guān)于曲面的一般研究》中的最后九節(jié)(第21-29節(jié)，大約占了整篇文章的三分之一)的篇幅幾乎全部用于比較定理的證明。這些比較定理一方面把單個(gè)的角(不僅僅是角度之和)與歐幾里得平面上具有同樣長度的直邊形三角形的角進(jìn)行比較；另一方面，還把曲面上測地三角形的面積與歐幾里得平面上具有同樣長度的直邊形三角形的面積進(jìn)行比較。。

三、第一基本形式與彎曲空間的度量

幾何學(xué)研究的一個(gè)基本問題或出發(fā)點(diǎn)是度量問題。高斯關(guān)于幾何基礎(chǔ)問題的研究所發(fā)現(xiàn)的彎曲空間概念在數(shù)學(xué)上是如何刻畫？特別是高斯后來的大地測量工作必須解決的測地線的度量問題等，都涉及到幾何學(xué)的一個(gè)基本問題——彎曲空間的度量。

歐氏幾何中最重要的定理之一的畢達(dá)哥拉斯定理之本質(zhì)乃是幾何空間的度量性質(zhì)，而度量性質(zhì)可以說是展開所有可能的幾何學(xué)的基本假設(shè)前提。迄今為止，在大部分有意義的幾何空間中，都要求這條定理在無窮小的情形下成立。由畢達(dá)哥拉斯定理所確定的空間度量是平直(或剛性)空間的度量。因此，如何把度量性質(zhì)推廣到彎曲的空間就成為問題的關(guān)鍵。在高斯以前，曲面或空間曲線的方程式被看作是三個(gè)坐標(biāo)的隱函數(shù)，或者是一個(gè)坐標(biāo)表示為其他兩個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。這種做法實(shí)際上仍然是把所研究的曲面或空間曲線嵌入于高一維的空間(即外圍空間)之中加以研究的，因而其方法是外蘊(yùn)的。

高斯幾何學(xué)思想及其研究的出發(fā)點(diǎn)是“從曲面本身的度量出發(fā)決定曲面在空間的形狀”，因而與外在空間無關(guān)，即是“內(nèi)蘊(yùn)”的幾何學(xué)。高斯首先著手把三個(gè)坐標(biāo)看成是另外兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)，這兩個(gè)參數(shù)可以在已知曲面上適當(dāng)?shù)剡x擇，高斯的這一思想在微分幾何學(xué)的發(fā)展中獲得了普遍的公認(rèn)。早在1822年，高斯解決哥本哈根科學(xué)院提出的征獎(jiǎng)問題中，就已經(jīng)系統(tǒng)地運(yùn)用了這種參數(shù)表示的思想[7]。

曲面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z)可以用兩個(gè)參數(shù)u、ν表示，從而曲面的方程可表示為：r=r(x(u,ν),y(u,ν),z(u,ν))，高斯的出發(fā)點(diǎn)是運(yùn)用這個(gè)參數(shù)表示來對曲面做系統(tǒng)研究，并首先引進(jìn)曲面的弧長元素ds，建立了曲面的第一基本形式dr2=ds2=Edu2+2Fdudν+Gdν2(其中E=ru·ru,F=ru·rν,G=rν·rν，稱為曲面的第一類基本量)其意義就是，在正確到高階無窮小范圍內(nèi)，曲面是等長地對應(yīng)于切平面上的無窮小區(qū)域，并且曲面的第一基本形式在切平面上是以ru和rν為基本向量，以du為dν坐標(biāo)的長度表達(dá)式。若曲面上參數(shù)曲線網(wǎng)取正交曲線網(wǎng)時(shí)，即向量ru和rν垂直時(shí)，有F=0，于是曲面的第一基本形式化為：dr2=Edu2+Gdν2。這就是勾股定理。所以說曲面的第一基本形式本質(zhì)上是勾股定理的推廣，或者說勾股定理是第一基本形式在無窮小范圍內(nèi)的近似。

專門研究曲面上由第一基本形式?jīng)Q定的幾何學(xué)稱為內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)，它在高維的推廣就是黎曼幾何學(xué)。因此，我們說高斯通過推廣度量概念引進(jìn)了第一基本形式，從而解決了展開其內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)的基礎(chǔ)——彎曲空間的度量，這是幾何學(xué)歷史上的一次重大的突破。

四、曲面的度量與曲面在空間的形狀

1822年，高斯在解決哥本哈根征獎(jiǎng)問題時(shí)，就已經(jīng)意識到曲面研究的中心問題是曲率問題。這是高斯內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)理論的突破口，他在尋求曲率的過程中，有兩個(gè)關(guān)鍵的概念：一是高斯映射的概念；另一個(gè)就是角度概念的推廣。

在《關(guān)于曲面的一般研究》中，高斯首先引進(jìn)了一個(gè)輔助球面，并假定用球面上不同的點(diǎn)表示不同的直線的方向，該方向與以球面上的點(diǎn)為端點(diǎn)的半徑平行，這就為后面定義高斯映射奠定了基礎(chǔ)。接著高斯給出了一些重要的命題，包括兩條相交直線的夾角、兩個(gè)平面的夾角、一條直線與一個(gè)平面的傾斜角、平面的定向以及球面上的點(diǎn)之間的坐標(biāo)表示的三角公式、球面上的三點(diǎn)以及坐標(biāo)系的原點(diǎn)組成的錐體的體積公式等等。

關(guān)于角度的定義，高斯是將它轉(zhuǎn)化到相應(yīng)的輔助球面上、相應(yīng)于直線的方向的球面上兩點(diǎn)的弧長來度量的，也就是說，高斯將角度看成是單位圓周的子集而不是一個(gè)數(shù)。高斯這一觀點(diǎn)是符合于幾何學(xué)的本源的，希臘人最初的想法與此是一致的(而把角度看成數(shù)不過是近代的觀點(diǎn)[8])，它有利于推廣到高維的情形，這種推廣就是高斯曲率和總曲率的概念。這里值得指出的是，高斯的這一想法在一些文獻(xiàn)中沒有得到應(yīng)有的重視。如Michael Spivak對此就完全忽視了，他說：“This section may be skipped entirely”[9]。

設(shè)S1是以O(shè)為圓心的單位圓，所謂相交于O點(diǎn)的兩條直線的夾角α是指S1上由這兩條直線截出的弧長，如圖1所示。

圖1 相交于O點(diǎn)的兩條直線的夾角

而曲線在一點(diǎn)處的曲率就是指角度的增量相對于弧長的變化率，即曲線上無窮小弧段長度與其切映射下像的長度的反比的極限，如圖2所示。

圖2 曲線在一點(diǎn)處的曲率

從幾何學(xué)的觀點(diǎn)看，正如我們可以把角度看成二維空間里單位圓周上曲線段的長(弧長)或者一維體積一樣，我們也可以將三維空間中單位球面S2上區(qū)域的面積或者二維體積看作三維空間角度的表示。一般地，n維空間中的角度被看成單位球面Sn-1上區(qū)域的(n-1)維體積。這種想法在高斯的總曲率和曲率測度(即高斯曲率)的定義中起著關(guān)鍵的作用。高斯在他的論文摘要中指出：“如果我們用上述方法來表示球面上各點(diǎn)的法方向，……曲面的一部分對應(yīng)附屬球面上一部分，并且曲面這一部分和平面差別越小時(shí)，附屬球面上相應(yīng)的面積就越小。由此，一個(gè)十分自然的想法是以附屬球面上相應(yīng)部分的面積作為曲面給定部分的全曲率的度量。因此作者稱它為曲面在該部分的總曲率”。接著，高斯定義“曲面在某一點(diǎn)處的曲率測度為一比值，分母為該點(diǎn)處無窮小鄰域的面積，分子為附屬球面上相應(yīng)與曲面上的那一部分的面積，即相應(yīng)的總曲率。”

關(guān)于曲率測度的正負(fù)號與曲面在該點(diǎn)鄰近的形狀的關(guān)系，高斯指出：“曲率測度對于凹-凹或者凸-凸曲面(這個(gè)區(qū)別是非本質(zhì)的)為正，但對于凹-凸曲面為負(fù)。如果曲面由每一種的部分所組成，那么在分隔這兩種曲面的曲線上，其曲率測度應(yīng)該為零”[4]。

高斯并得出了曲面在各種表示形式下的高斯曲率的計(jì)算公式，特別地，得出了曲面的參數(shù)表示形式下的高斯曲率公式，并得出了著名的公式：即高斯曲率僅與第一類基本量及其一階或二階偏微分有關(guān)，這就是說高斯曲率是由“曲面本身的度量”所確定的。而曲面本身的度量在保長變換下是不變的，因而就有“曲面的高斯曲率是曲面在保長變換下的不變量”，這表明曲面的度量性質(zhì)本身蘊(yùn)含著一定的彎曲性質(zhì)。

這就是說，高斯在他的一般研究中解決了內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)的中心問題——從曲面本身的度量出發(fā)決定曲面在空間的形狀，這個(gè)定理被高斯稱為“絕妙的定理”，它是微分幾何學(xué)發(fā)展的里程碑。

五、結(jié)語

綜上分析，我們可以歷史地勾勒出高斯創(chuàng)立內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)的思想軌跡：高斯的大地測量工作，本質(zhì)是度量地球表面(彎曲的曲面)上任意兩點(diǎn)之間的最短距離，這種度量只與曲面本身相關(guān)而與其外在的空間無關(guān)，這就促使高斯思考這樣的問題——“我們是否可以從曲面本身的度量出發(fā)決定曲面在空間的形狀”？這種思考具有本質(zhì)的意義，這是高斯內(nèi)蘊(yùn)微分幾何思想的出發(fā)點(diǎn)。高斯正是從這個(gè)想法出發(fā)，引出曲面的參數(shù)表示、曲面上的弧長元素(即第一基本形式)，以及由第一基本形式出發(fā)，研究彎曲的曲面上的內(nèi)蘊(yùn)幾何問題，得到了高斯曲率的計(jì)算公式，并進(jìn)而證明高斯曲率是在等距變換下的不變性質(zhì)(即高斯的絕妙定理)以及總曲率與測地三角形內(nèi)角和的關(guān)系公式(即高斯-博內(nèi)定理)等等內(nèi)蘊(yùn)微分幾何的重要定理。他創(chuàng)立了內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)，開拓出“一塊極為多產(chǎn)的土地”。沿著高斯的思路，必然得到這樣一個(gè)全新的觀念——一個(gè)曲面本身就是一個(gè)空間！在這樣的空間(彎曲的)上展開的幾何學(xué)必定是非歐的，這是高斯最偉大的創(chuàng)造。

在高斯發(fā)表《關(guān)于曲面的一般研究》一文之后大約100年，愛因斯坦對高斯的這項(xiàng)工作做出了如下的評價(jià)：“高斯對于近代物理理論的發(fā)展，尤其是對于相對論理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)所做的貢獻(xiàn)，其重要性是超越一切，無與倫比的，……假使他沒有創(chuàng)造曲面幾何，那么黎曼的研究就失去了基礎(chǔ)，我實(shí)在很難想像其他任何人會(huì)發(fā)現(xiàn)這一理論”[10]。我們將高斯于1817年寫給奧爾伯斯(Heinrich Olbers)的信中的一段話與愛因斯坦的評價(jià)做一對比，其意寓是深長的。高斯說道：“我愈來愈深信我們不能證明我們的幾何(歐氏幾何)具有(物理的)必然性，至少對于人類理智來說，是人類理智所不能證明的。或許在另一個(gè)世界中，我們能洞察空間的性質(zhì)，而現(xiàn)在這是不能達(dá)到的。同時(shí)我們不能把幾何與算術(shù)相提并論，因?yàn)樗阈g(shù)是純粹先驗(yàn)的，而幾何卻可以和力學(xué)相提并論”[6]。高斯心中的幾何學(xué)是和力學(xué)相提并論的，這種認(rèn)識讓我們想到黎曼在他著名的《關(guān)于幾何基礎(chǔ)中的假設(shè)》中這樣一句意味深長的話：“這條道路將把我們引到另一門科學(xué)領(lǐng)域，進(jìn)入到物理學(xué)的王國，進(jìn)入到現(xiàn)在的科學(xué)事實(shí)還不允許我們進(jìn)入的地方”[11]。

由此我們可以看到，高斯的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)和黎曼關(guān)于黎曼幾何學(xué)的構(gòu)想都是意在揭示歐氏幾何不具有惟一的(物理的)必然性，他們關(guān)于幾何學(xué)的思想是一脈相承的，黎曼的幾何學(xué)思想深受高斯的影響。20世紀(jì)微分幾何學(xué)與理論物理學(xué)的發(fā)展，以無可辯駁的事實(shí)證實(shí)了高斯的偉大思想。

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