探研投幣試驗(yàn)中的幾種概率情形

徐瑞標(biāo)

(武夷學(xué)院 教育科學(xué)系,福建 武夷山354300)

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)x>0和y都是整數(shù)，從原點(diǎn)到點(diǎn)(x,y)的路徑{X1,…,Xn}就是一條折線，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,2,…,x，其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)X1,X2,…,Xx滿足Xi-Xi-1=ξi=±1(i=1,2,…,x)，而且Xx=y.如果ξi中有m個(gè)正的n個(gè)負(fù)的，則x=m+n,y=m-n.反之，如果能用一條路徑把(x,y)與原點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來，那么x,y必是形如x=m+n,y=m-n的數(shù).這時(shí)，從x=

若終點(diǎn)(x,y)事先不固定，那么從原點(diǎn)到(n,y)(縱坐標(biāo)y任意)的路徑數(shù)便是前面所提到的2n條，這2n條路徑可以解釋為連續(xù)投一個(gè)均勻的硬幣n次所得到的2n個(gè)可能結(jié)果，因此，序列{X1,X2,…,Xn}代表正面超過反面的累積次數(shù).

2 主要定理及其證明

現(xiàn)在我們利用上述隨機(jī)徘徊的有關(guān)知識(shí)投幣試驗(yàn)中幾種情形的概率來做討論.

定理2 在一個(gè)n次投幣試驗(yàn)中，出現(xiàn)正面次數(shù)多于出現(xiàn)反面次數(shù)的概率pn.

證明 當(dāng)n=2k時(shí)，出現(xiàn)正面次數(shù)比反面次數(shù)多的次數(shù)只能為2,4,6,…,2k.由定理1可知，出現(xiàn)正面次數(shù)多于出現(xiàn)反面次數(shù)的概率

當(dāng)n=2k+1時(shí)，出現(xiàn)正面次數(shù)比出現(xiàn)反面次數(shù)多的次數(shù)只能為1,3,5,…,2k+1.

由定理1可知：

證明 此投幣試驗(yàn)可視為滿足條件X1≥0,

圖1 路徑示意圖

參考文獻(xiàn)：

[1]錢敏平,龔光魯.隨機(jī)過程論[M].北京:北京大學(xué)出版社,1997.

[2]W.費(fèi)勒.概率論及其應(yīng)用(上)[M].胡迪鶴,等譯.北京:科學(xué)出版社,1979.