引力常數(shù)隨時(shí)間變化對(duì)雙星(密近食雙星)軌道演變的影響(圓形軌道情形)*

李林森

(東北師范大學(xué)物理學(xué)院，長(zhǎng)春 130024)

自從狄拉克(Dirac)(1937)[1-2]提出了引力常數(shù)隨時(shí)間變化后，這種理論在天文學(xué)和地球物理學(xué)領(lǐng)域顯示很大影響。首先，Kholchenikov和Fracassini(1968)[3]根據(jù)狄拉克的大數(shù)假說研究了具有引力常數(shù)變化的二體問題。他們將理論應(yīng)用于行星經(jīng)度變化的估計(jì)。Hut和Verhulst(1976)[4]研究了引力常數(shù)隨時(shí)間減少的二體問題，并推出了平均運(yùn)動(dòng)和平均經(jīng)度的長(zhǎng)期變化的方程式，給出了真經(jīng)度的性質(zhì)[4]。同年，Bishop和Landsberg(1976)[5]從能量守恒定律推出了具有引力常數(shù)隨時(shí)間變化的牛頓引力定律的運(yùn)動(dòng)方程公式。隨后Maite(1978)[6]利用此理論研究在圓形軌道中引力常數(shù)隨時(shí)間變化和地球表面的有效溫度之間的關(guān)系，但他沒有研究引力常數(shù)變化和圓形軌道演變之間的關(guān)系。本文在這方面做了研究。一般來說，食雙星軌道并非都為圓形軌道或軌道偏心率為零，但有些密近食雙星的軌道為圓形軌道，所以本文的理論結(jié)果適用于密近食雙星軌道的演變。

1 引力常數(shù)隨時(shí)間變化產(chǎn)生的軌道根數(shù)變化(圓形軌道情形)

Maiti(1978)根據(jù)Bishop和Landsberg(1976)給出的公式推出了具有引力常數(shù)隨時(shí)間變化的矢量運(yùn)動(dòng)方程[5]：

(1)

(2)

其中r為圓軌道半徑；n為平均運(yùn)動(dòng)(軌道平均角速度)。 將(1)式寫成標(biāo)量方程：

(3)

(4)

將G(t)展開為Taylor級(jí)數(shù)：

(5)

其中G(t0)=G0為牛頓引力常數(shù)(不隨時(shí)間變化)。

(6)

(7)

將方程(6)～(7)同牛頓運(yùn)動(dòng)方程相比較后可得后牛頓項(xiàng)：

(8)

(9)

因此后牛頓攝動(dòng)加速度的徑向和切向分量是：

(10)

(11)

(δFr)PN和(δFθ)PN可以認(rèn)為具有引力常數(shù)G0的牛頓運(yùn)動(dòng)方程的改正項(xiàng)或?yàn)樽円Τ?shù)G(t)的攝動(dòng)項(xiàng)。因此，S和T就是具有G0的高斯攝動(dòng)方程的攝動(dòng)加速度。 利用以時(shí)間為自變量的高斯方程[7]：

其中a為軌道半長(zhǎng)軸；e為軌道偏心率；E為偏近點(diǎn)角；p=a(1-e2)。

本文研究圓形軌道情形。對(duì)于圓形軌道：a=r(圓軌道半徑)；e=0；E=θ=nt；p=r。將這些代入軌道半長(zhǎng)徑和軌道偏心率隨時(shí)間變化的高斯攝動(dòng)方程[7]，得：

(12)

(13)

將(10)～(11)的S和T代入(12)～(13)式，得：

(14)

(15)

(16)

再推出軌道周期P的變化。將n=2π/P代入Kepler第三定律并對(duì)時(shí)間微分，得：

將(14)代入上方程，積分上述方程，可得：

(17)

下面推出軌道偏心率的變化。積分方程(15)后，可得到軌道偏心率e的變化：

(18)

結(jié)果表示：軌道半徑和周期以線性形式隨時(shí)間而縮減，圓形軌道的形狀以周期和混合長(zhǎng)期項(xiàng)隨時(shí)間而變化。

2 對(duì)5個(gè)密近食雙星軌道半徑和軌道周期的長(zhǎng)期演變的上下限估計(jì)

表1 5個(gè)密近食雙星軌道半徑和軌道周期長(zhǎng)期演變的上下限估計(jì)

3 討論和結(jié)論

(1) 由(16)式和(17)式可知，軌道半徑和軌道周期以線性形式隨時(shí)間縮小。

(4) 因二體問題在共面上運(yùn)動(dòng)，垂直軌道平面的攝動(dòng)加速度分量W=0，將其代入攝動(dòng)方程后軌道傾角的i和升變點(diǎn)經(jīng)度Ω不變。

(5) 同其他4種效應(yīng)相比較。如果將e=0(圓軌道情形)代入作者在文[10-13]中橢圓軌道情形中的雙星多方模型攝動(dòng)效應(yīng)、后牛頓效應(yīng)、二體自轉(zhuǎn)效應(yīng)和引力輻射阻尼效應(yīng)的式子，可得引力常數(shù)變化對(duì)圓形軌道半徑和軌道偏心率的效應(yīng)同另外4種效應(yīng)的對(duì)比如表2。

表2 在圓形軌道情形中引力常數(shù)變化對(duì)軌道半徑和軌道偏心率產(chǎn)生的效應(yīng)和其他4種效應(yīng)的對(duì)比

由表2可以看出，只有引力輻射阻尼對(duì)軌道半徑產(chǎn)生的長(zhǎng)期效應(yīng)同引力常數(shù)變化產(chǎn)生的長(zhǎng)期效應(yīng)相一致。而對(duì)軌道偏心率除前者有混合長(zhǎng)期項(xiàng)外兩者皆有周期項(xiàng)。兩者在長(zhǎng)期效應(yīng)可在量級(jí)上比較。

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