環(huán)及其本質(zhì)理想

夏章生

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000)

1985年，小子模(small submodules)作為本質(zhì)子模(essential submodules)的對偶概念，被Tiwary和Chaubey引入到投射(projective)類模體系的研究之中.定義了小投射模(small projective module)[1]的概念，即下面的圖1交換.本文將應(yīng)用本質(zhì)子模來證明內(nèi)射模(injective modules)是與小投射模相對偶的概念，并用本質(zhì)理想來刻畫幾類的環(huán)：Noether環(huán)、hereditary環(huán)、V-環(huán)和半單環(huán)等.本文中將用R記帶有單位元1的結(jié)合環(huán)，所有模都是左酉R-模.先回顧本質(zhì)子模的概念.

圖1 小投射模

定義1 一個模M的子模N稱為本質(zhì)子模，如果對M的任意非零子模L，都有N∩L≠0.

定理1 對一個左R-模M來說，下列命題等價：

(i)M是內(nèi)射模；

(ii)對一個模B的任意本質(zhì)子模A，每個同態(tài)映射f∶A→M都可擴充成同態(tài)映射g∶B→M；

(iii)對R的每個本質(zhì)理想I，每個同態(tài)映射f∶I→M都可擴充成同態(tài)映射g∶R→M.

證明(i)?(iii)由內(nèi)射模的定義可知.

(iii)?(ii) 假定A是模B的一個任意本質(zhì)子模，f∈HomR(A,M).考慮集合：

Ω={(C,g)|A?C?B,g∈Hom(C,M),g|A=f}，并在Ω中定義一個偏序關(guān)系≤如下：(C,g)≤(D,h)?C?D,h|C=g.

因為(A,f)∈Ω，故Ω非空.由Zorn引理，Ω存在一個極大元(C0,g0).若C0=B，則命題(iii)得證.假定C0≠B，取x0∈BC0，先證明集合I={r∈R|rx0∈C0}是R的一個本質(zhì)理想.實際上，若L是R的一個非零左理想，0≠x0∈L，則有：I∩L≠0.因為，若r0x0=0，則r0∈I，0≠r0∈I∩L；否則，Rr0x0是B的一個非零左R-模，由A是B的本質(zhì)子模和A?C0?B，得C0也是B的本質(zhì)子模，從而C0∩Rr0x0≠0，取0≠rr0x0∈C0∩Rr0x0，r∈R，有0≠rr0∈I∩L.定義h:I→M;rg0(rx0),r∈R.由假設(shè)，存在同態(tài)映射h′∶R→M，使得定義C1=C0+Rx0，且:g1∶C1→M;c0+rx0g0(c0)+h′(r),c0∈C0,r∈R.

圖2 內(nèi)射模

圖3 帶正合行的交換圖

易證g1是定義良好的，且g0=g1|C0.從而(C1,g1)∈Ω，與(C0,g0)是Ω中極大元相矛盾.因此，C0=B.

(ii)?(i) 設(shè)E是M的內(nèi)射包(injective envelope)，則M是E的本質(zhì)子模，恒等映射1M∶M→M可擴充成同態(tài)映射g∶E→M.因而，M是E的直和項，得M也是內(nèi)射模.證畢.

實質(zhì)上，定理1的命題(ii)等價于：對一個模B的任意本質(zhì)子模A，下面的圖2交換.可以看出，小投射模是與內(nèi)射模相對偶的一類模.我們知道，一個環(huán)R是左Noether環(huán)，如果每個左理想是有限生成的；R是左hereditary環(huán)，如果每個左理想是投射模；R是左V-環(huán)[3]，如果每個單左R-模是內(nèi)射的.下面將用本質(zhì)左理想來刻畫這些環(huán).

推論2 對一個環(huán)R，下列命題等價：

(i)環(huán)R是左Noether環(huán)；(ii)每個本質(zhì)左理想是有限生成的；

(iii)若干個內(nèi)射模的直和也是內(nèi)射模.

證明(i)?(ii) 由定義顯然.

(ii)?(iii) 設(shè){Ei}i∈I是一族內(nèi)射模，L是R的左本質(zhì)理想，且f∈Hom(L,Ei).因為L是有限生成的，得f(L)也是有限生成的，從而存在I的有限子集{i1,i2,…,in}，使得f(L)?Ei1⊕Ei2⊕…⊕Ein.又Ei1,Ei2,…,Ein是內(nèi)射模，得Ei1⊕…⊕Ein也是內(nèi)射模，故存在同態(tài)映射g∈Hom(R,Ei1⊕Ei1⊕…⊕Ein)，亦即g∈Hom(R,Ei)，使得g|L=f.由定理1，得Ei是內(nèi)射模.

(iii)?(i) 由文獻[2]中定理4.10可得.證畢.

推論3 一個環(huán)R，下列命題等價：

(i)環(huán)R是左Hereditary環(huán)；(ii)每個本質(zhì)左理想都是投射模；(iii)內(nèi)射模的每個商模都是內(nèi)射模.

證明(i)?(ii) 由定義顯然.

(ii)?(iii) 考慮下面帶有正合行的交換圖3：

其中I是R的本質(zhì)左理想，Q是一個內(nèi)射模E的商模，f∈Hom(I,Q)，i和θ分別是自然的同態(tài)單射和同態(tài)滿射.因為I是投射模，則f可以提升為同態(tài)映射g∶I→E，即f=θg.又E是內(nèi)射模，g可以擴充為同態(tài)映射h∶R→E，即f=gi.從而，f=(θh)i，由定理1，得Q是內(nèi)射模.

(iii)?(i) 由文獻[2]中定理4.23可得.證畢.

推論4 對一個環(huán)R，下列命題等價：

(i)環(huán)R是左V-環(huán)；(ii)R的每個左理想I都是所有包含I的極大左理想的交；(iii)R的每個本質(zhì)左理想的任意極大左子理想I都是所有包含I的極大左理想的交.

證明(i)?(ii) 由文獻[3]中定理1可得.(ii)?(iii) 顯然.(iii)?(i) 設(shè)S是一個單左R-模，L是R的一個本質(zhì)左理想，且0≠f∈Hom(L,S).由S是單的，得K=Kerf是L的一個極大左子理想，從而K是所有包含K的極大左理想的交.故存在R的一個極大左理想M，使得K?M，但L?M.因而，有：R=L+M，且L∩M=K.定義：g∶R→M;l+mf(l),l∈L,m∈M,則g是定義良好的，且g擴充了f.因此，S是內(nèi)射模，且R是左V-環(huán).證畢

定理5 環(huán)R是半單的當(dāng)且僅當(dāng)每個本質(zhì)左理想是內(nèi)射模.

證明若R的本質(zhì)左理想是內(nèi)射模，則它也是R的一個直和項.同時，由于它是本質(zhì)子模，它必定是R自身.因此：Soc(RR)=∩{I|I是R的本質(zhì)左理想}=R，即RR是半單的，所以環(huán)R是半單環(huán).證畢.

[1] Tiway A K,Chaubey K N.Small projective modules[J].J Pure Apll Math,1985,16(2):133-138.

[2] Rotman J J.An introduction to homological algebra[M].New York:Academic Press Inc,1979.

[3] Michler G O,Villamayor O E.On rings whose simple modules are injective[J].J Algebra,1973,25:185-201.