利用破產(chǎn)概率分析彩票中的風(fēng)險問題

梅 瑞,張 超,張偉華

(1.河北北方學(xué)院理學(xué)院,河北張家口075000;2.北京北大方正軟件技術(shù)學(xué)院,河北廊坊065001)

1 彩票問題的介紹

目前彩票颶風(fēng)席卷全國大地,很多人為了獲得巨額的回報紛紛加入到彩民的行列.彩票的發(fā)行方式和發(fā)行種類越來越多,其中最為流行的當(dāng)數(shù)“傳統(tǒng)型”與“樂透型”.它們一般都是從一些特定的數(shù)字中選出一定數(shù)量的數(shù)字構(gòu)成一注,然后與搖出的中獎號碼對照確定相應(yīng)的中獎等級.

隨著彩票的不斷發(fā)展,其中所蘊含的數(shù)學(xué)問題也逐漸引起了許多專家學(xué)者的興趣,2002年的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽就恰恰是以“彩票中的數(shù)學(xué)”作為參賽課題.彩票的中獎對彩民來說是極大的喜悅,然而這僅僅是一種偶然,其中包含著許多概率統(tǒng)計的知識,所以人們一開始的研究也只是集中在計算各等獎項的中獎及特殊情況的中獎概率.例如[1-3],鄒植民,尹鐵開研究了電腦福利彩票中獎號碼連號的概率.隨著對彩票關(guān)注程度的提高,大多數(shù)人把目光集中到了對彩票方案的評價上,主要是通過構(gòu)造一個效用函數(shù)或判別函數(shù)來比較獎金額與中獎概率對彩民的吸引力,以衡量彩票的方案并給出建設(shè)性意見.例如,劉世民[4]等人就把彩票方案的優(yōu)劣歸結(jié)為其對彩民吸引力的大小,通過構(gòu)造經(jīng)濟中常用的效用函數(shù),把總的吸引力歸結(jié)為獎金額與中獎概率加權(quán)作用的結(jié)果進而用層次分析法和熵值法確定相應(yīng)的權(quán)值對多種方案進行了評價.

彩票公司把每一期的銷售總額按比例分成兩部分,一部分留作獎金,另一部分則用于福利事業(yè).彩票在獎項的設(shè)置上分為高項獎與低項獎,低項獎的獎金一般是固定的,而高項獎的獎金則是除去所有低項獎后按一定的比例分配.如果某一期高項獎落空相應(yīng)金額會流入獎池中,加入到下一期的獎金分配.購買彩票中大獎實際是大多數(shù)人成就了少數(shù)人獲得巨額回報的喜悅.從長遠(yuǎn)來看彩民的資金是部分返還給彩民,表面上彩票公司是收入大于支出不存在什么風(fēng)險,可問題恰恰出現(xiàn)在一等獎的設(shè)置上.一般而言,一等獎都會設(shè)有金額的上下限,當(dāng)中一等獎的人數(shù)過多時,就會出現(xiàn)每個人分得一等獎金額小于下限.這時彩票公司就要進行補償,而當(dāng)這個補償大到一定程度時,彩票公司就會出現(xiàn)支出大于收入的情況.上述情況似乎是很少發(fā)生,但它總會是以正概率出現(xiàn),說明彩票公司的確是面臨著風(fēng)險,這點也是本文研究彩票公司破產(chǎn)概率的意義所在.

2 彩票破產(chǎn)分析及相關(guān)符號

為了敘述的方便,約定下列記號:

Pi表示第i等獎的中獎概率,Ni獎的中獎數(shù)目,bi為第i等高項獎的分配比例i=1,2,3,mi為第i等獎的單注金額,S為總獎金額,M為銷售總額,M′為獎池中的金額,N為一期的投注數(shù).

這里需要指出的是 N一般是隨機的,可為了研究方便用它的期望n(E[N]=n)來替代 N,并且n足夠大.Ni,i=1,2,…,k為一些隨機變量,它們服從參數(shù)為 (n,pi)的二項分布 (B (n,pi))[5].由假設(shè) (2)可知,B (n,pi)i=1,2,…,k是相互獨立的.

為了研究彩票中的風(fēng)險問題,做出一些假設(shè),建立數(shù)學(xué)模型:①總獎金占總銷售額的比例為 r,投注者單注金額為e元;②若已得到高級別的獎,則不再兼得低等獎;③總共有k項獎,其中一、二、三等獎為高項獎,后面的為低項獎,低項獎的獎金固定,高項獎按比例分配;④一等獎單注保底金額為l元,封頂金額為 u元,若一等獎獎金不足l元時,則需要補足;⑤若某一期的高項獎沒有領(lǐng)取,則自動流入下期一次累計,這樣獎池中存在一定數(shù)目的金額.

以上的假設(shè)都是從現(xiàn)實的彩票規(guī)則中抽象出來,具有很好的代表性和合理性.

3 彩票的破產(chǎn)概率[6]

如同在精算學(xué)中對保險公司破產(chǎn)的分析,本節(jié)也將研究彩票公司在某一期彩票發(fā)行時導(dǎo)致支出大于收入的概率.

彩票公司每發(fā)行一期彩票就會得到一筆銷售資金M,同時支出一筆資金S作為獎金,而在獎池中也存在一定數(shù)目的資金M′,當(dāng)S-M-M′＞0發(fā)生時,本期的彩票發(fā)行就宣告破產(chǎn).

就是彩票的破產(chǎn)概率.

對于高等獎的獎金有如下的計算方法:

當(dāng)l≤E[m1]≤u或E[M1]＞u時,M r就全部作為獎金返還給彩民,這是彩票公司不會面臨破產(chǎn),而當(dāng) E[m1]＜l時,彩票公司就要對一等獎的獎金進行補償,在這種情況下我們就需要關(guān)注概率(1).而由假設(shè)可知彩票公司并不是把所有的銷售資金用作獎金,其中的 Mr作為獎金,剩余的用于福利事業(yè).所以說對于 (1)式可以等價為

關(guān)于 (2)我們有

定理1 (2)式的概率函數(shù)為

其中b(xi;n-?,pi),i=1,4,…,k表示二項分布B (n-?,pi),i=1,4,…,k的概率函數(shù),?表示 (3)中任意的 xk,xk+xk-1……xk+xk-1+…+x5.

由上式可直接得出 (3)式.

推論1 由定理1可得

其中 [M′+ne(b1r+1-r)]是指 M′+ne(b1r+1-r)的整數(shù)部分.

對于 (2)_式,表達過于復(fù)雜,可以用下面的式子來近似它:

下面可由克爾科夫 (Markov)不等式[7],得到 (2)式的一個上界.

定理2 對于彩票破產(chǎn)概率 (2),可以得到一個上界,即

定理3 彩票破產(chǎn)概率 (2)的一個下界表達如下

下面再介紹 (2)式的一個下界.

定理4 彩票破產(chǎn)概率 (2)的一個下界表達如下

證明

對于 (4)、(5)式,可以用更簡單的形式表達,不過首先要介紹一些知識作為鋪墊.

其中0＜x＜1,a＞0,b＞0為參數(shù),由 (7)式定義的函數(shù)稱為不完全貝塔函數(shù).通過 (6)式和 (7)式,可以定義一個非常重要的工具,即不完全貝塔函數(shù)比,具體表達如下

于是對二項分布的分布函數(shù)B(x;n,p),就有

引理1 二項分布的分布函數(shù)B(x;n,p)與不完全貝塔函數(shù)比有如下關(guān)系:

關(guān)于引理1的具體證明可參照方開泰[8]等.

由定理3及引理1可得 (4)式的一個簡化表達式,即

推論2

由定理4及引理1可得 (5)式的一個簡化表達式,即

推論3

4 結(jié) 論

通過上述討論得到彩票破產(chǎn)概率的上、下界,如果破產(chǎn)概率滿足l≤E[m1]≤u或 E[m1]＞u,則彩票公司不會面臨破產(chǎn),如果 E[m1]＜l,破產(chǎn)概率函數(shù)可通過分析二項分布函數(shù)與不完全貝塔函數(shù)關(guān)系得到,彩票公司就會出現(xiàn)破產(chǎn)的風(fēng)險.

[1] 鄒植民,尹鐵開.電腦福利彩票中獎號碼連號的概率 [J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,2006,25(04)：4-5

[2] 袁博,左振釗,張艷紅.證券投資中的風(fēng)險分析 [J].河北北方學(xué)院學(xué)報,2008,24(01)：73-76

[3] 雷曉軍,梁治安.證券組合投資模型優(yōu)化 [J].商場現(xiàn)代化,2007,8(03)：170-172

[4] 劉世民,王進.彩票方案的評價 [J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報,2003,2(05)：74-80

[5] 李燦,郭尊光.淺談二項分布的近似計算 [J].科技情報開發(fā)與經(jīng)濟,2009,14(69)：16-19

[6] 馬學(xué)思,劉次華.變破產(chǎn)下限風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率 [J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,2007,3(09)：70-73

[7] Ross SM.Introduction to Probability Models[M].USA：Academic Press,2003：30-75

[8] 方開泰,許建倫.統(tǒng)計分布 [M].北京：科學(xué)出版社,1987：72-89