關于不定方程x2+(p-1)y2=pz2

管訓貴

(泰州師范高等?？茖W校數(shù)理系,江蘇泰州225300)

1 引言及主要結論

對于不定方程

文[1]給出了 p=3時的一切正整數(shù)解.本文將給出任一奇素數(shù) p≡3(mod4)時的通解公式,從而推廣了文 [1]中的結論.

首先注意到,如果 (x,y) =p,由 (1),p2|pz2,即 p|z2.因為 p為奇素數(shù),所以 p|z,這樣就可在 (1)式兩邊約去 p.如果 (x,y) =d,(d,p) =1,由 (1),d2|z2,故 d/Z,同樣可在 (1)式兩邊約去 d,所以在討論 (1)的正整數(shù)解時,可設 (x,y) =1[2-4].此外,本文最關鍵是解決當 p-1無平方因子時 (1)的求解問題.對于 (1)的正整數(shù)解,經(jīng)過以上簡化之后,有如下

定理 設 p為奇素數(shù),且 p-1無平方因子,當 p≡3(mod4)時,不定方程 (1)滿足 (x,y)=1的一切正整數(shù)解可表示為

這里 a,b,m1,m2均為正整數(shù),且 (a,b) = (b,m1) = (a,2m2) =1,p=2m1m2+1.

2 關鍵性引理

引理 設 p為奇素數(shù),且 p-1無平方因子,當 p=4k-1(k為正整數(shù))時,不定方程

這里 a,b,m1,m2均為正整數(shù),且 (a,b) = (b,m1) = (a,2m2) =1,p=2m1m2+1.

證明 對于 (4)中所給出的正整數(shù) u,v,w,顯然有

假定 (u,v) ≠1,即存在素數(shù)q,使得q|x,q|y,則由 u2+ (p-1)v2=w2知,q|w,因此可得q|(w+u)且q|(w-u),即q|2m1a2且q|4m2b2,于是q|2(m1a2,2m2b2).

又由 (a,b) = (b,m1) = (a,2m2) =1知, (m1a2,2m2b2) = (m1,2m2),故 q|2 (m1,2m2).而 p-1=2m1m2無平方因子,即 (m1,2m2) =1,所以q|2,從而q=2.由此推出2|u.

此外,2m1m2=2(2k-1),(a,2m2) =1,說明m1,m2與 a皆為奇數(shù),故 u=|m1a2-2m2b2|為奇數(shù),即2?u.這與前面的結果矛盾.因此 (u,v)=1.就是說由表達式 (4)所給出的 u,v,w都是(3)的正整數(shù)解.

反之,設u,v,w是 (3)的滿足 (u,v) =1的任一正整數(shù)解,則

考慮到2k-1無平方因子,所以必存在正整數(shù) a,b,m1,m2,滿足

考慮到2k-1無平方因子,所以必存在正整數(shù) a,b,m1,m2,滿足

就是說,(3)的任一正整數(shù)解都能由表達式 (4)給出.

3 定理證明

容易驗證 (2)是方程 (1)的滿足條件的正整數(shù)解.

反之,設 x,y,z是方程 (1)的正整數(shù)解,若 p|y,則 p|x,這與 (x,y) =1矛盾,故必有 p ?y.方程 (1)可化為

代入方程 (1)得

且由 (x,y) =1知,(u,v) =1.

再根據(jù)引理及 (7)式可得方程 (1)滿足條件的正整數(shù)解為 (2).

若p|(x-y),因x+(p-1)y= (x-y) +py,必有p|[x+ (p-1)y].

代入方程 (1)得

且由 (x,y) =1知,(u,v) =1.

再根據(jù)引理及 (8)式可得方程 (1)滿足條件的正整數(shù)解為 (2).

定理得證.

[1] 湯健兒.不定方程 x3+y3=z2與 x3+y3=z4[J].數(shù)學的實踐與認識,1993,(01)：90-94

[2] 柯召,孫琦.談談不定方程 [M].上海：上海教育出版社,1980：38-40

[3] 潘承洞,潘承彪.初等數(shù)論 [M].北京：北京大學出版社,1992：95

[4] 閔嗣鶴,嚴士健.初等數(shù)論 [M].北京：高等教育出版社,2004：35

[5] 管訓貴.關于不定方程z2+2(2xy)2=(x2-y2+2xy)2[J].河北北方學院學報：自然科學版,2009,25(01)：14-15

[6] 管訓貴.不定方程 x2-py2=z2的正整數(shù)解 [J].河北北方學院學報：自然科學版,2009,25(05)：5-7