結(jié)合PCA與ICA的Munsell色卡光譜反射比重建

楊曉莉

(湖北民族學院 理學院，湖北 恩施 445000)

目標物體的顏色由反射光譜決定，如果測量到了物體表面的光譜反射比，那么就知道了它在任何已知光源下的顏色，這樣也就實現(xiàn)了不受任何條件制約的顏色復制——基于光譜反射比的顏色復制技術(shù)[1].目前，多光譜成像系統(tǒng)已成為了獲取光譜反射比信息的主要硬件技術(shù)；與之相匹配的光譜估計算法則為實現(xiàn)光譜反射比重建的軟件技術(shù)，兩者配合來最終實現(xiàn)真實彩色圖像的復制[2].本文的重點工作就是實現(xiàn)光譜反射比重建算法的理論研究.關于光譜重建算法的研究，可以追溯到更早的時間[2～6].歸納起來，主要方法有：針對由窄帶濾色片組成裝置的虛擬逆(Pseudo-inverse)矩陣變換法或樣條插值(Spline interpolation)等方法；為了有效減少噪聲干擾的Weiner估計法、改進的離散正弦變換插值法等；最常用的是針對由寬帶濾色片組成裝置的主成份分析法PCA(Principle Component Analysis)；近幾年，一種新興的用于分離盲源信號的有效方法，獨立成份分析法ICA(Independent Component Analysis)被引入到顏色圖像領域，用于光譜估計算法中.PCA的側(cè)重點主要是對數(shù)據(jù)信息進行壓縮，起到降維作用，去除各分量之間的相關性，不足的是不能很好的使各成份之間相互獨立；ICA則是基于信號高階統(tǒng)計特性的分析方法，能夠很好的提煉出獨立成份，提高成份之間的相互獨立性.因此，本文將用PCA結(jié)合ICA的方法，對32塊有光澤Munsell色卡進行仿真實驗，來有效的處理光譜反射比數(shù)據(jù)，更好的實現(xiàn)色卡顏色的重建工作[1,7].

1 光譜估計算法

1.1 PCA結(jié)合ICA的數(shù)據(jù)特征提取

給出一組多元觀測數(shù)據(jù)，目的是尋找變量的冗余度更小的一個子集，作為盡可能好的一個表示.對于數(shù)據(jù)壓縮和去除噪聲方面，PCA是做的很好的；但是按PCA原理做出來的分解只能保證分解出來的各分量不相關，卻不能保證這些分量互相獨立，這就使得這樣的分解缺少實際意義，因而降低了所提取特征的典型性.那么，這個時候再進一步利用ICA進行處理，將可以很好的找出所要的最后的統(tǒng)計獨立成份；而在與ICA的聯(lián)系上，PCA是一個有用的預處理步驟[8,9].

1.1.1 數(shù)據(jù)PCA處理 設由M個通道觀測值(每通道N點采樣數(shù)據(jù))組成的數(shù)據(jù)陣R=[r1,…，ri，…，rN].

為了簡化計算過程以及具有更好的條件約束性，需對數(shù)據(jù)去均值，這樣做僅為簡化ICA算法，即去除平均值大小的影響，最后得出的也是零均值變量[8].

(1)

對矩陣X作PCA，取主值：PCA是以奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)為基礎發(fā)展起來的，在分解原理上本質(zhì)統(tǒng)一，都建立在線性代數(shù)的基礎上[2,6,10,11].可對X作如下奇異值分解：

(2)

式中U=[u1,u2,…,uN]和V=[v1,v2,…,vM]都是正交歸一陣，Σ是準對角陣，在M

(3)

不失一般性，通常設σ1≥σ2≥…≥σM≥0，稱各σi為奇異值.再對X求協(xié)方差陣，則有：

Cx=XXT=UΣVTVΣTUT=UΛUT

(4)

(5)

(6)

(7)

1.1.2ICA分析 獨立成份分析ICA是一種統(tǒng)計和計算技術(shù)，用于揭示隨機變量、測量數(shù)據(jù)或信號中的非高斯且相互獨立的隱藏成份.

用隨機向量x來表示觀測值，其元素分別為x1,x2,…,xn，假設它們由獨立成份線性混合產(chǎn)生，同樣地，用s來表示獨立成份元素s1,s2,…,sn，用矩陣A表示那些混合系數(shù)aij，利用向量和矩陣符號表示，ICA的混合模型可以寫為：

x=As

(8)

現(xiàn)在要在s和A均為未知的條件下，求取一個矩陣B使得下面的線性變換成立：

Y=Bx

(9)

(10)

那么現(xiàn)在要做的就是對前面主成份矩陣Z作ICA，得出獨立成份矩陣Y：

(11)

(12)

式(12)是聯(lián)系輸入X和輸出Y的基本公式.文中ICA是由芬蘭學者Aapo Hyvarinen等人提出的FastICA程序系統(tǒng)來完成的[2,12,13].

1.2 重建光譜反射比

若假定多光譜圖像獲取系統(tǒng)的光電轉(zhuǎn)換函數(shù)是線性的，則多光譜相機對某一圖像像素對應物體表面的響應gk滿足：

(13)

式中r(λ)是物體表面的光譜反射比，qk為多光譜相機光譜靈敏度函數(shù)，影響此函數(shù)的因素有：攝像頭光學鏡頭的光譜特性函數(shù)o(λ)，圖像傳感器的光譜靈敏度S(λ)，以及光源射向被拍攝物體表面的光譜分布lR(λ)，濾光片的光譜透射率φk(λ)，k為光譜信息采集通道數(shù).εk為附加噪聲，文中假設噪聲可忽略不計[1,2,14].光譜估計的目的是要用該多光譜成像系統(tǒng)來測量gk，通過gk來估計出r(λ)[14,15].

用向量Gk=[g1g2…gk]T表示k個通道的數(shù)碼相機的響應值，目標物體所有像素點的光譜反射比可以表示為一個矩陣R，那么式(13)可用矩陣表示為：

Gk=QTR

(14)

Q=[q1q2…qk]將通過訓練樣本被估計，成為一個已知矩陣[1,7].

通過實驗系統(tǒng)，可以測量到每個色卡的數(shù)碼相機的響應值，這樣可以取色卡中的一部分作為訓練樣本來估計出矩陣Q，通過線性回歸求出[1,2]：

Q=YGT(GGT)-1=YG-

(15)

利用這個矩陣就可以對待測樣本進行光譜重建工作了.由式(12)和式(15)，可以得到光譜重建公式為：

(16)

(17)

2 重建光譜反射比結(jié)果分析

2.1 仿真實驗

仿真實驗采用的32塊有光澤度的Munsell色卡數(shù)據(jù)是孟塞爾實驗室公開提供的數(shù)據(jù)資源， Munsell色卡樣本的光譜反射率由Minolta CM 2002分光光度計測出，所測波長范圍為400nm～700nm，間隔為10nm，其R,G,B相應值均在D65光源下得出.實驗中，將任意挑選20塊色卡作為訓練樣本，則剩下的色卡作為待測樣本，好統(tǒng)一與文獻[16]中的結(jié)果做比較.

2.2 重建結(jié)果評價

定義CIE1976色差ΔE*ab：

(18)

定義相對誤差%R:

定義適合度系數(shù)GFC:

GFC的取值范圍在0%～100%之間，當GFC≥99.5%時，那么重建結(jié)果就是可以接受的了；當GFC≥99.99%時，那么重建結(jié)果就可以達到比較完美的程度了[17,18].

本論文中，是采用PCA與ICA相結(jié)合的光譜估計算法對32塊有光澤的Munsell色卡進行光譜反射比的重建工作，并與只用傳統(tǒng)的PCA方法來重建這32塊色卡的結(jié)果做對比[17]，其重建結(jié)果評價如圖1，2，分別是待測樣本重建結(jié)果GFC評價和色差評價.

圖1 待測樣本重建結(jié)果色差評價

圖2 待測樣本重建結(jié)果GFC評價

從柱狀圖的比較評價結(jié)果可以看出，PCA結(jié)合ICA的光譜估計算法來重建有光澤的Munsell色卡的光譜反射比效果要優(yōu)于傳統(tǒng)的基于PCA方法重建光譜反射比的效果.對于待測樣本，基于PCA與ICA相結(jié)合的方法重建結(jié)果，其色差ΔE*ab評價結(jié)果的平均值為1.19個色差，GFC評價結(jié)果的平均值為99.85%；基于傳統(tǒng)PCA方法重建結(jié)果，其色差ΔE*ab評價結(jié)果的平均值為1.37個色差，GFC評價結(jié)果的平均值為99.79%；表1為待測樣本重建結(jié)果%R方法評價分析.

表1 待測樣本重建結(jié)果%R方法評價(結(jié)果為%值)

3 結(jié)果討論

從仿真實驗結(jié)果可見基于PCA結(jié)合ICA的光譜估計算法重建32塊有光澤Munsell色卡的光譜反射比的效果較理想，優(yōu)于傳統(tǒng)的基于PCA光譜估計算法的重建效果.GFC評價結(jié)果，前者平均值提高了0.06%的系數(shù)，使結(jié)果更接近于99.99%的理想程度了；色差ΔE*ab評價結(jié)果，前者比后者降低了0.18個色差；相對誤差%R評價結(jié)果，前者比后者降低了3.76%的相對誤差.通過本文中的仿真實驗，驗證了PCA結(jié)合ICA的光譜估計算法是具有可行性和有效性的.

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