兩個三角函數(shù)積的和的封閉形和式

及萬會,李忠寧

(銀川大學(xué)數(shù)學(xué)教研室,銀川永寧750105)

文獻(xiàn) [1]討論了,正,余弦函數(shù)奇偶次方的積和式.文獻(xiàn) [2,3]給出一些特殊角三角函數(shù)數(shù)方冪和.文獻(xiàn) [4,5]研究由Lucas序列構(gòu)造組合恒等式,以及最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的和問題.本文利用發(fā)生函數(shù)方法得到首先得到一類三角函數(shù)序列封閉形和式計算公式和正負(fù)相間封閉形計算公式.其次利用復(fù)數(shù)隸莫弗乘法公式得到兩個三角函數(shù)序列的乘積封閉形和式表達(dá)式.若無特別說明,文中字母表示正整數(shù).

熟知有理分式化成部分分式有下列結(jié)論.

定理1 sin(kα+φ),cos(kα+φ)為三角函數(shù),復(fù)數(shù) d≠0,d≠a-1,b-1則含有等比數(shù)列的三角函數(shù)封閉形和式為:

若d≠-a-1,-b-1.則含有等比數(shù)列的三角函數(shù)封閉形和式為:

注意到,若 d≠-a-1,-b-1,則 (ad-1)(bd-1) ≠0

比較D(x)兩端xn系數(shù),得到式 (3).類似式 (3)式方法得 (4)式.定理1證畢.

定理2 兩個三角函數(shù)積的封閉形和式

兩個復(fù)數(shù)相乘: (1)實部與實部相乘+虛部與虛部相乘,利用三角函數(shù)公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,整理化簡與 (1)式左端實部相等得 (5)式 (2)前一復(fù)數(shù)實部乘以后一復(fù)數(shù)虛部+前一復(fù)數(shù)虛部乘以后一復(fù)數(shù)實部利用三角函數(shù)公式sin(α-β)=sincosβ-cosαsinβ整理化簡與 (1)式左端虛部相等得式 (6).同法利用式 (2)得式 (7)、(8).利用式 (3)、(4)分別得式 (9)、(10)與 (11)、(12).

[1] 楊存典,劉端森.正,余弦函數(shù)奇偶次方的積和 [J].商洛學(xué)院學(xué)報,2007,(02)：8-10

[4] 及萬會,黑寶驪.由Lucas序列推導(dǎo)組合恒等式 [J].河北北方學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版,2008,(04)：3-5

[5] 及萬會,張來萍,黑寶驪.最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的和 [J].河北北方學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版,2007,(03)：4-6