系統(tǒng)方程與框圖的快速轉(zhuǎn)換

周傳璘

(孝感學(xué)院物理與電子信息工程學(xué)院,湖北孝感432000)

系統(tǒng)方程與框圖的快速轉(zhuǎn)換

周傳璘

(孝感學(xué)院物理與電子信息工程學(xué)院,湖北孝感432000)

在信號(hào)與系統(tǒng)中,模擬方框圖對(duì)于系統(tǒng)的建模及實(shí)現(xiàn)具有重要的作用,而在系統(tǒng)的分析中,也常常需要將實(shí)際系統(tǒng)的框圖和方程進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換。針對(duì)目前系統(tǒng)框圖與方程之間的轉(zhuǎn)換所采用的方法費(fèi)時(shí)且計(jì)算量大的特點(diǎn),提出了一種基于系統(tǒng)的線性時(shí)不變性的方程與框圖的快速轉(zhuǎn)換方法。實(shí)例說(shuō)明:此快速轉(zhuǎn)換方法簡(jiǎn)單、可行,只需要通過(guò)簡(jiǎn)單移位變換即可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)框圖與方程的快速轉(zhuǎn)換,從而省去了大量的中間數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程。

方程;框圖;快速轉(zhuǎn)換

在信號(hào)與系統(tǒng)中,常需要將實(shí)際系統(tǒng)的框圖和方程進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換。對(duì)于簡(jiǎn)單的一階系統(tǒng)或激勵(lì)項(xiàng)為一項(xiàng)時(shí),此過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單;而對(duì)于多階系統(tǒng)或激勵(lì)項(xiàng)為多項(xiàng)時(shí),轉(zhuǎn)換變得比較復(fù)雜[1]。黑龍江科技學(xué)院的范艷根等[2]對(duì)常用的系統(tǒng)函數(shù)法和時(shí)域中間變量法進(jìn)行了對(duì)比研究,發(fā)現(xiàn)時(shí)域中間變量法的計(jì)算量小,操作簡(jiǎn)便。北京工商大學(xué)的朱啟昧[3]提出了框圖到方程轉(zhuǎn)換的另一種簡(jiǎn)單方法,進(jìn)行對(duì)比代換完成轉(zhuǎn)換過(guò)程,并無(wú)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)依據(jù)。除此之外,再無(wú)文獻(xiàn)報(bào)道簡(jiǎn)單快捷的轉(zhuǎn)換方法。

基于此,筆者在多年講授“信號(hào)與系統(tǒng)”課程的基礎(chǔ)上,依據(jù)系統(tǒng)的線性時(shí)不變性,提出了一種快速轉(zhuǎn)換方法。此方法只需要通過(guò)簡(jiǎn)單的移項(xiàng)變換,即可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)框圖與方程之間的快速轉(zhuǎn)換,特別是在學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)變換域及信號(hào)流圖時(shí),僅僅在時(shí)域利用線性時(shí)不變性實(shí)現(xiàn)方程與框圖的快速轉(zhuǎn)換,比現(xiàn)有方法簡(jiǎn)單,更有利于學(xué)生理解線性時(shí)不變性及其應(yīng)用。

1 系統(tǒng)框圖到方程的轉(zhuǎn)換

當(dāng)框圖只有一個(gè)加法器時(shí),圍繞加法器輸出很快可以寫(xiě)出其相應(yīng)的方程;而當(dāng)有兩個(gè)加法器時(shí),必須建立中間變量,并設(shè)法消去中間變量,間接得到方程。

例1某連續(xù)系統(tǒng)框圖如圖1所示,試寫(xiě)出其微分方程。

圖1 連續(xù)系統(tǒng)例題框圖

1.1 傳統(tǒng)方法

1)對(duì)于連續(xù)系統(tǒng),選最右端積分器輸出為中間變量 x(t);對(duì)于離散系統(tǒng),則選最左端延遲單元輸入為中間變量x(k)。以圖1為例,中間變量設(shè)為x(t)。

2)寫(xiě)出各加法器輸出信號(hào)的方程。

輸入端:

輸出端:

3)通過(guò)復(fù)雜代換[1-2]消除中間變量 x′′(t),x′(t),x(t),即可得到系統(tǒng)的方程為:

消除中間變量的過(guò)程計(jì)算量較大,數(shù)學(xué)推導(dǎo)多,費(fèi)時(shí)費(fèi)力。

1.2 快速轉(zhuǎn)換法

第1)、2)步與傳統(tǒng)方法相同。

3)巧用線性時(shí)不變性質(zhì),無(wú)須通過(guò)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)消除中間變量即可完成框圖到方程的轉(zhuǎn)換:

將(1)式移向整理得:

可以將(4)式看作當(dāng)激勵(lì)為 f(t)時(shí)的系統(tǒng)的響應(yīng)為 x(t)。利用線性時(shí)不變性,由 b2f′′(t)+b2f′(t)+b0f(t) 引 起 的 響 應(yīng) 則 為 b2x′′(t) +b1x′(t)+b0x(t),即(2) 式中的 y(t)。

(2) 式表明 y(t) 是 x′′(t),x′(t),x(t) 的線性組合,因而以 y(t)為未知變量的微分方程左端的形式應(yīng)與 (4) 式相同[1],即 y′′(t)+a1y′(t)+a0y(t)=ζ(t)。即輸入為ζ(t)時(shí),系統(tǒng)的響應(yīng)為y(t)。

結(jié)合前面的討論,ζ(t) 應(yīng)等于 b2f′′(t)+b1f′(t)+b0f(t),則可得系統(tǒng)的微分方程為:

2 方程到系統(tǒng)框圖的轉(zhuǎn)換

如果方程右邊只有一項(xiàng),也就是說(shuō)框圖只有一個(gè)加法器時(shí),則轉(zhuǎn)換都非常簡(jiǎn)單;但當(dāng)方程右邊有兩項(xiàng)及以上時(shí),必須建立中間變量,通過(guò)有關(guān)的運(yùn)算及代換,建立輸出與中間變量的關(guān)系方可畫(huà)出框圖。

例2知某系統(tǒng)差分方程為

y(k)+a1y(k-1)+a0y(k-2)=b1f(k-1)+b0f(k),請(qǐng)畫(huà)出該系統(tǒng)框圖。

2.1 傳統(tǒng)方法

文獻(xiàn)[2]給出了兩種常用的由方程轉(zhuǎn)換到系統(tǒng)框圖的方法,即系統(tǒng)函數(shù)法和時(shí)域中間變量法。前者需要對(duì)系統(tǒng)方程求拉氏變換或 Z變換以得到系統(tǒng)函數(shù),再將系統(tǒng)分為全極點(diǎn)系統(tǒng)和全零點(diǎn)系統(tǒng),然后分別實(shí)現(xiàn)其框圖并級(jí)聯(lián)可得到整個(gè)系統(tǒng)框圖。后者首先引入中間變量,然后將系統(tǒng)依照輸入、輸出加法器分為兩個(gè)部分,分別進(jìn)行框圖的實(shí)現(xiàn),然后找到兩個(gè)框圖之間的聯(lián)系,并進(jìn)行合并。整體上來(lái)講,該文獻(xiàn)在進(jìn)行系統(tǒng)方程到框圖的轉(zhuǎn)換既費(fèi)時(shí)又費(fèi)力,需要很多中間代換環(huán)節(jié),很容易出錯(cuò),在課堂上講授因數(shù)學(xué)推導(dǎo)較多也不易被學(xué)生接受。

2.2 快速轉(zhuǎn)換法

由方程可見(jiàn),該系統(tǒng)是一個(gè)二階系統(tǒng),則需要兩個(gè)延遲單元和兩個(gè)加法器。

1)建立中間變量 x(k),使其滿足

2)導(dǎo)出各個(gè)加法器的輸入、輸出關(guān)系。

(5)式可以理解為當(dāng)激勵(lì)為 f(k)時(shí),其響應(yīng)為 x(k),則利用線性時(shí)不變性,當(dāng)激勵(lì)為 b1f(k-1)+b0f(k)時(shí),其響應(yīng)也必然為 b1x(k-1)+b0x(k)。而例題中方程可理解為 b1f(k-1)+b0f(k)產(chǎn)生的響應(yīng)為 y(k),則

(6)式即為輸出端加法器的方程。

同時(shí)將(5)式進(jìn)行移項(xiàng)可得輸入端加法器方程:

3)利用(6)式和(7)式,可迅速畫(huà)出該離散系統(tǒng)框圖,如圖2所示。

圖2 離散系統(tǒng)例題框圖

3 結(jié)論

線性時(shí)不變性質(zhì)是信號(hào)與系統(tǒng)中十分重要的性質(zhì),在信號(hào)與系統(tǒng)的分析中正確理解并巧妙地利用該性質(zhì)往往可以收到事半功倍的效果。文中筆者根據(jù)線性時(shí)不變性完成了框圖與方程之間的快速轉(zhuǎn)換,對(duì)于多階系統(tǒng),特別是系統(tǒng)框圖有多個(gè)加法器或方程右邊有多項(xiàng)時(shí),該方法具有明顯的優(yōu)越性。

[1] 吳大正,楊林耀,張永瑞.信號(hào)與線性系統(tǒng)分析[M].4版.北京:高等教育出版社,1998.

[2] 范艷根,王玉萍,湯旭日.系統(tǒng)微分方程與系統(tǒng)框圖互換的兩種方法[J].黑龍江科技學(xué)院學(xué)報(bào),2005,15(1):47-49.

[3] 朱啟昧.信號(hào)與系統(tǒng)中框圖與方程間關(guān)系的另一種推導(dǎo)嘗試[J].北京工商大學(xué)學(xué)報(bào),2004,22(6):32-34.

Fast Conversion between Block D iagramsand Equations

Zhou Chuanlin
(School of Physics and Electronic Information Engineering,Xiaogan University,Xiaogan,Hubei 432000,China)

Block diagram s takes an important role in system’smodeling and realizing in signal and system s,w hile it is usually necessary to exchange between system equation and block diagram s in system analysis.At present,the common method for the conversion between system equation and block diagram s is complicated and taking much time.It is for this reason that we have proposed a method for fast conversion between equations and block diagram s based on the linear time invariant of system s.The example show s that this method is simple and available,and can savemuch more time formathematical deduction through simple changing.

equation;block diagram s;fast conversion

TN911.6

A

1671-2544(2010)03-0051-03

2010-04-02

湖北省高等學(xué)校教學(xué)研究項(xiàng)目(20060363)

周傳璘(1965— ),男,湖北漢川人,孝感學(xué)院物理與電子信息工程學(xué)院副教授,碩士。

(責(zé)任編輯:鄒禮平)