中間λ康托集上可積函數(shù)空間的可分性

胡曉梅

(咸寧學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北咸寧 437100)

中間λ康托集上可積函數(shù)空間的可分性

胡曉梅

(咸寧學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北咸寧 437100)

通過(guò)一類特殊的分形集——中間λ康托集的構(gòu)造,得到它的一些重要拓?fù)湫再|(zhì)和分形特征,進(jìn)而利用Stone-Weierstrass定理,證明了中間λ康托集上 P方可積函數(shù)空間是可分的。

中間λ康托集;可積函數(shù)空間;可分性

1 預(yù)備知識(shí)

定義1(IFS) 設(shè)(Rn,d)為n維歐氏空間,如果對(duì)任意i∈{1,2,…,N},fi:Rn→Rn是壓縮映射,即對(duì)任意 x,y∈Rn,存在 r1∈(0,1),使得d(fi(x),fi(y))≤rid(x,y),則稱壓縮映射族{fi}為(Rn,d)上一個(gè)迭代函數(shù)系統(tǒng)。如果上式取等號(hào),則稱 fi為相似壓縮映射。

Hutchinson已證明對(duì)于給定的 IFS{fi},必存在唯一非空緊集 K?Rn滿足稱 K為關(guān)于迭代函數(shù)系統(tǒng){fi}的不變集或吸引子[2]。例如由相似壓縮迭代函數(shù)系統(tǒng)生成的不變集 C就是通常意義下的三分Cantor集。它是一個(gè)自相似集[3]。

定義2設(shè)一非負(fù)集函數(shù)μ:{A:A?X}→[0,∞]滿足

1)μ(φ)=0;

對(duì)于給定的IFS{f1,f2…,fN}和滿足pi＞0,1≤i≤N的概率向量 P=(p1,p2,…,pN),Hutchinson在文獻(xiàn)[2]中已證明存在唯一的μ∈U,使得對(duì)任意的Borel集 A,有μ(A)=稱滿足上式的測(cè)度為關(guān)于IFS和P的不變測(cè)度。

特別地,當(dāng)上述IFS是一族相似壓縮映射時(shí),此測(cè)度就稱為關(guān)于它們的自相似測(cè)度。

定義 3設(shè) f(x)是 F上的可測(cè)函數(shù),記其中 F為中間λ康托集,μ為關(guān)于IFS和P=(1/2,1/2)的自相似測(cè)度。用 Lp(F,μ)表示‖f‖p＜ ∞的函數(shù) f的全體組成的函數(shù)空間。

顯然Lp(F,μ)是線性賦范空間,‖.‖p為其范數(shù)。

定義4設(shè)г是Lp(F,μ)中的子集,若對(duì)任意的 f∈Lp(F,μ)以及ε＞0,存在 g∈г使得 ‖f-g ‖ ＜ε,則稱 г在Lp(F,μ)中稠密。若 Lp(F,μ)中存在可數(shù)稠密子集,則稱Lp(F,μ)是可分的。

2 中間λ康托集F的構(gòu)造及性質(zhì)

考慮閉區(qū)間 E0=[0,1]。

將 E0=[0,1]正中間去掉一個(gè)長(zhǎng)度為原區(qū)間長(zhǎng)度的λ(0＜λ＜1)倍的開區(qū)間剩下兩個(gè)閉區(qū)間記E1為它們的并;再把E1中的這兩個(gè)閉區(qū)間正中間分別去掉長(zhǎng)度為它們各自區(qū)間長(zhǎng)度的λ倍的開區(qū)間,得到集合 E2;然后將 E2中余下的四個(gè)閉區(qū)間同法處理得到集合 E3,如此繼續(xù)下去,每一步都去掉區(qū)間中間一段比例為λ的部分,在第k步我們得到2k個(gè)長(zhǎng)度為的閉區(qū)間,其并記為 Ek,當(dāng)k→∞時(shí),序列 Ek的極限集就是我們所構(gòu)造出的中間λ康托集 F。顯然,三分Cantor集為 F在λ時(shí)的特例。

由上面中間λ康托集F的構(gòu)造容易得到F具有如下幾條重要的性質(zhì):

1)是非空有界閉集;

2)是完全集;

3)無(wú)內(nèi)點(diǎn),即是無(wú)處稠密集;

4)完全不連通;

3 Lp(F,μ)的可分性及證明

引理1[4](控制收斂定理) 設(shè){fn}是可測(cè)集 X上的可測(cè)函數(shù)列,μ是X上的測(cè)度。如果存在非負(fù)函數(shù) g(x)∈(X,μ)滿足

2)對(duì)所有的x∈X和任意的n,有 ︱fn(x)︱≤g(x),則 f ∈L(X,μ),且

命題1設(shè)1≤p≤∞,則任給 f∈Lp(F,μ),均存在Lp(F,μ)中的簡(jiǎn)單函數(shù)列使得當(dāng)n→∞時(shí),Sn幾乎處處收斂到f,并且 ‖fsn‖p→0和

引理2[4](Lusin’s定理) 設(shè) f(x)是可測(cè)集X上的可測(cè)函數(shù),μ為 X上的測(cè)度。令 A={x∈X︱f(x)≠0},如果μ(A)＜ ∞,則任給ε＞0,均有G∈Cc(X)使得μ({x∈X︱f(x)≠g(x)})＜ε,并且經(jīng)過(guò)適當(dāng)選取有

引理3[5](Stone-Weierstrass定理) 設(shè) Ω是Rd中的一個(gè)緊子集,令表示全體實(shí)系數(shù)d個(gè)變量的多項(xiàng)式全體,則在 C(Ω,R)中稠密,即對(duì)任意 f∈C(Ω,R)均存在d個(gè)變量的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式無(wú)限的逼近。

由于 C(F,R)滿足該定理的條件,從而 F上實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在C(F,R)中稠密。另外因?yàn)槿谓o一個(gè)實(shí)數(shù)均可以由有理數(shù)來(lái)逼近,即每一個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式均存在一有理系數(shù)的多項(xiàng)式來(lái)逼近,這即說(shuō)明了 F上有理系數(shù)多項(xiàng)式全體在C(F,R)中稠密。

定理C(F,R)在 Lp(F,μ)中稠密,且Lp(F,μ)為可分空間(1≤p≤∞)。

證明令S表示 F上所有可測(cè)簡(jiǎn)單函數(shù)全體,因?yàn)棣?F)=1,從而μ({x︱s(x)≠0})＜ ∞。我們首先證明 S在Lp(F,μ)中稠密。顯然 S?Lp(F,μ),我們先設(shè) f＞ 0,由命題1知存在 F上的可測(cè)簡(jiǎn)單函數(shù)列{sn}幾乎處處收斂于 f,并且0≤sn≤f。從而sn∈Lp(F,μ),這也即說(shuō)明了sn∈S。又 ︱f-sn︱p,則由引理1的控制收斂定理,當(dāng)n→∞時(shí),‖f-sn‖p→0。對(duì)于一般的 f,因?yàn)閒(x)=f+(x)-f-(x),這里

因此我們分別再對(duì) f+(x)和 f-(x)作上面相同的論證 ,即存在和按照范數(shù) ‖. ‖p分別收斂到 f+(x)和 f-(x)。令

綜上,S在Lp(F,μ)中稠密。再來(lái)證 C(F,R)在Lp(F,μ)中稠密。設(shè)s∈S,對(duì)于任給的ε＞0,由引理2的Lusin’s定理知,存在 g∈C(F,R)使得μ({g(x)≠s(x)}),并且適當(dāng)選擇有。因此,

又由Minkowski’s不等式得

這即說(shuō)明了 C(F,R)在 中稠密。最后證Lp(F,μ)為可分空間。由引理3知 F上有理系數(shù)多項(xiàng)式全體在C(F,R)中稠密,而 C(F,R)在 Lp(F,μ)中稠密,故 F上有理系數(shù)多項(xiàng)式全體在Lp(F,μ)中稠密,而所有有理數(shù)全體是可數(shù)集,從而空間Lp(F,μ) 可分。

[1] 胡曉梅.三分Cantor集上 p方可積函數(shù)空間Lp(C,μ)的可分性.佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào),2008,26(6).

[2] Hutchinson J E.Fractal and Self-similarity[J].Indiana Univ M ath,1981,30(5):713-747.

[3] Falconer K J.Fractal Geometry:Mathematical Foundation and App lications[M].New York:John Wiley and Sons,1990.

[4] Rudin W.實(shí)分析與復(fù)分析[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2004.

[5] M cdonald J N,Weiss N A.A Course in Real Analysis[M].北京:世界圖書出版公司,2005.

Separability of the Space of Integrable Function on the MiddleλCan tor Set

Hu Xiaomei
(School of Mathematics and Statistics,Xianning University,Xianning,Hubei 437100,China)

By analyzing the construction of the middleλCantor set,a typical fractal set,this paper discussed some topological properties and fractal characters of the middleλCantor set firstly,and then p roved that the space of integrable function Lp(F,μ)(1≤p≤∞)is separable by using the Stone-Weierstrass theorem.

the middleλCantor set;space of integrable function;separability

O177

A

1671-2544(2010)03-0026-03

2009-11-02

咸寧學(xué)院科研項(xiàng)目(ky09060)

胡曉梅(1979— ),女,湖北咸寧人,咸寧學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師,碩士。

(責(zé)任編輯:周 游)