關(guān)于“函數(shù)比單調(diào)性判別法”的幾何解釋

甘 泉

(西安工業(yè)大學(xué) 數(shù)理系,陜西 西安 710032)

在《陜西廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)》2007年第4期中,筆者曾發(fā)表過一篇題為《函數(shù)比單調(diào)性判別法》的論文,下面是對該命題的一個回顧。

命題:設(shè)f(x)與g(x)均于[a,b)內(nèi)連續(xù),于(a, b)內(nèi)可導(dǎo),f(a)=g(a)=0,并且在(a,b)內(nèi)g’(x)＞0,如果在(a,b)內(nèi)單調(diào)增(或單調(diào)減),則也于(a,b)內(nèi)單調(diào)增(或單調(diào)減)。

首先顯然該命題等同于這樣的命題:若函數(shù)f(x)與g(x)均于t∈[a,b)內(nèi)連續(xù),于區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),f(a)=g(a)=0,并且在(a,b)內(nèi)g’(t)＞0,如果在(a,b)內(nèi)單調(diào)增,則也于(a,b)內(nèi)單調(diào)增。

該命題的幾何解釋如下:考慮“參數(shù)函數(shù)”

由于 f(a)=g(a)=0,故曲線以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn);另一方面有,它是曲線上的P(x,y)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率,而則為曲線的切線斜率。由于單調(diào)增,并且由于=g’(t)＞0,故當(dāng)t增加時,x也相應(yīng)地增加,同時也在增加,由此分析可得如上的參數(shù)函數(shù)曲線是以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向上彎曲的凹函數(shù),從而曲線上的點(diǎn) P(x,y)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率當(dāng)t增加時也必然相應(yīng)地增加,即:當(dāng)“導(dǎo)數(shù)比”在(a, b)內(nèi)單調(diào)增時,其“函數(shù)比”也于(a,b)內(nèi)單調(diào)增。以上就是“函數(shù)比單調(diào)性判別法”的幾何解釋。