從復(fù)合函數(shù)到不動點(diǎn)迭代的探討

董 毅,李聲鋒

（蚌埠學(xué)院數(shù)學(xué)與物理系,安徽蚌埠 233030）

從復(fù)合函數(shù)到不動點(diǎn)迭代的探討

董 毅,李聲鋒

（蚌埠學(xué)院數(shù)學(xué)與物理系,安徽蚌埠 233030）

復(fù)合函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,而不動點(diǎn)迭代是理工科學(xué)生要求掌握的一個基本概念。在高等數(shù)學(xué)中,通過對復(fù)合函數(shù)有關(guān)知識的教學(xué),適時地引出不動點(diǎn)迭代的概念,并自然地對相關(guān)理論進(jìn)行了一些探討。

復(fù)合函數(shù);不動點(diǎn);迭代

1 引言

在高等數(shù)學(xué)中,復(fù)合函數(shù)是教學(xué)的重要內(nèi)容之一[1]（P14-16）[2]（P22-25）。對其知識的掌握,不僅能加強(qiáng)對初等函數(shù)概念的理解,而且能更好地幫助對導(dǎo)數(shù)和積分的學(xué)習(xí)。在理論或工程技術(shù)實(shí)踐中,不動點(diǎn)迭代常常是一個重要概念,要求理工科學(xué)生能夠掌握并能靈活應(yīng)用。筆者在高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中講解復(fù)合函數(shù)的有關(guān)知識時,適時地引出不動點(diǎn)迭代的有關(guān)知識。這樣做不僅開拓了學(xué)生視野,同時夯實(shí)了對復(fù)合函數(shù)有關(guān)知識的理解,而且獲得了較好的教學(xué)效果。

2 復(fù)合函數(shù)概念

復(fù)合函數(shù)是說明函數(shù)對應(yīng)法則的某種表達(dá)方式的一個概念。利用對應(yīng)關(guān)系傳遞的原則,將兩個或多個函數(shù)通過中間變量的“橋梁”作用,產(chǎn)生新的函數(shù),這一過程就是函數(shù)的復(fù)合。利用這一概念,一方面可以由幾個函數(shù)產(chǎn)生新的函數(shù),另一方面也可以把函數(shù)“分解”成幾個簡單函數(shù)。比如:

例1函數(shù)z=u和u=x（x-2）復(fù)合產(chǎn)生新的函數(shù)z=x（x-2）。在此復(fù)合過程中,要注意確定復(fù)合函數(shù)定義域。這里的復(fù)合函數(shù)要求x（x-2）≥0,即得到復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)閤∈（-∞,0]∪[2,+∞）。

例2函數(shù)z=arccosu和u=x2+3就不能復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)。因?yàn)閷τ趗=x2+3的定義域R中任意x對應(yīng)的u值,都不能使得函數(shù)z=arccosu有意義。

例3函數(shù)z=sin3（x+1）可以“分解”為z=u3、u=sinv和v=x+1三個簡單函數(shù)。

3 從復(fù)合函數(shù)到不動點(diǎn)迭代

有了復(fù)合函數(shù)的概念之后,我們可以考慮同一個函數(shù)的復(fù)合過程。比如,給出簡單函數(shù)u=f（x）,對任意k∈N,令

上面過程產(chǎn)生序列{uk},k=0,1,2,…。容易看出,序列{uk}滿足

復(fù)合關(guān)系,這一關(guān)系又稱為遞推關(guān)系或者迭代關(guān)系。這樣我們就自然地得到了迭代的概念,即

定義1由一個初始值u0=x出發(fā),按照公式（1）進(jìn)行計算得到序列{uk},這一過程稱之為迭代。

例4設(shè)函數(shù)f（x）=2x,則k次迭代得到uk=2k x。

公式（1）的迭代思想,在工程技術(shù)上或者理論上都有很重要的應(yīng)用。比如在計算機(jī)的程序設(shè)計中,遞歸調(diào)用（也即迭代）是常見程序設(shè)計之一。在利用數(shù)學(xué)工具研究社會現(xiàn)象和自然現(xiàn)象,或解決工程技術(shù)等問題時,很多問題可以歸結(jié)為非線性方程的求根,而迭代思想是求解方程的一種重要方法[3]（P18-23）[4]（P50-55）。設(shè)非線性方程F（x）=0,將其換成等價形式（簡單的一種方法是x=x-F（x））

定義2設(shè)x＊是方程F（x）=0的一個根,則x＊也滿足等式（2）,即x＊=f（x＊）,反之亦然。則稱x＊是函數(shù)f（x）的一個不動點(diǎn)。

于是,求方程F（x）=0的根就等價地化為求函數(shù)f（x）的不動點(diǎn)。

定義3設(shè)x＊是方程F（x）=0的一個根。選擇靠近x＊的初始近似值x0,按照迭代格式xk+1=f （xk）進(jìn)行計算得到序列{xk},k=0,1,2,…,這一過程稱之為不動點(diǎn)迭代。

現(xiàn)在的問題是不動點(diǎn)迭代產(chǎn)生的迭代序列{xk}是否收斂。如果序列不收斂,則不能得到方程F（x）=0的根,但是對這一問題的進(jìn)一步研究,可以導(dǎo)致混沌學(xué)的產(chǎn)生,這里不再贅述;如果序列收斂,設(shè)收斂到x＊,顯然x＊就是f（x）的不動點(diǎn),即方程F（x）=0的根。下面給出在[a,b]區(qū)間上函數(shù)f（x）的不動點(diǎn)存在且唯一的一個充分條件。

定理1設(shè)f（x）在[a,b]上連續(xù),且對任意x∈[a,b]有a≤f（x）≤b成立,則f（x）在[a,b]上一定存在不動點(diǎn)。進(jìn)一步,如果f′（x）在（a,b）上連續(xù),且存在常數(shù)0＜L＜1,使得對任意x∈（a,b）,有

則f（x）在[a,b]上具有唯一的不動點(diǎn)。

證明若f（a）=a或f（b）=b,顯然f（x）在[a, b]存在不動點(diǎn)。因?yàn)閍≤f（x）≤b,不妨設(shè)f（a）＞a與f（b）＜b。作輔助函數(shù)

顯然h（x）在[a,b]上連續(xù),且滿足

由連續(xù)函數(shù)性質(zhì),一定存在x＊∈（a,b）使得h （x＊）=0,即f（x＊）=x＊,x＊就是f（x）的不動點(diǎn)。

進(jìn)一步,設(shè)f′（x）在（a,b）上連續(xù),且存在常數(shù)0＜L＜1使得|f′（x）|≤L,下證不動點(diǎn)是唯一的。假設(shè)f（x）在[a,b]有兩個不同的不動點(diǎn)和則由微分中值定理,有

其中ξ∈（a,b）。從而引出矛盾。故f（x）在[a,b]上不動點(diǎn)是唯一的。

至此,可以給出壓縮映射的概念以及不加證明地給出著名的Banach不動點(diǎn)定理[5]（P275-288）。

定義4設(shè)f:D?X→Y是一個映射。若存在常數(shù)L∈（0,1）,對任意x,y∈D,使得

其中‖x-y‖表示點(diǎn)x∈D與點(diǎn)y∈D之間的距離,則稱f為壓縮映射。

4 舉例

例5利用不動點(diǎn)迭代求方程F1（x）=x2-2= 0的一個正根。

5 總結(jié)

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,引入復(fù)合函數(shù)有關(guān)知識之后,可以自然地獲得不動點(diǎn)迭代的概念,并對相關(guān)理論進(jìn)行一些探討。這樣做不僅可以增強(qiáng)學(xué)生對理論的理解、而且能夠開拓學(xué)生視野。但從復(fù)合函數(shù)到不動點(diǎn)迭代的教學(xué)和探討中,諸如哪些類型的函數(shù)進(jìn)行復(fù)合會產(chǎn)生周期現(xiàn)象?不動點(diǎn)迭代的初始點(diǎn)如何選擇?迭代收斂的速度是多少?這些問題會繼續(xù)引起我們的思考和研究。

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第五版）[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2]劉玉璉,傅沛仁,林玎,等.數(shù)學(xué)分析講義（上）（第四版） [M].北京:高等教育出版社,2007.

[3]林成森.數(shù)值計算方法[M.北京:科學(xué)出版社,2001.

[4]R.L.Burden,J.D.Faires.Numerical Analysis（7th Ed.） [M].Calif.:Brooks/Cole Publishing Company,2001.

[5]童裕孫.泛函分析教程[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2003.

Discussions about Function of Functions to Fixed-point Iteration

DONG Yi,LI Sheng-feng

（Department of Mathematics&Physics,Bengbu College,Bengbu233030,China）

Function of functions is one of important contents of advanced mathematics,while fixed-point iteration,a basic concept, must be mastered by science and engineering college students.The concept of fixed-point iteration is presented in good time and corresponding theories are discussed after teaching some know ledge about function of functions in the advanced mathematics courses.

function of functions;fixed-point;iteration

O13

A

1009-9735（2010）02-0004-03

2010-03-12

安徽省教育廳自然研究重點(diǎn)項(xiàng)目（KJ2010A 237）;安徽省高校優(yōu)秀青年人才基金項(xiàng)目（2010SQRL118）。

董毅（1957-）,男,安徽蕪湖人,蚌埠學(xué)院教授,研究方向:經(jīng)典調(diào)換分析;李聲鋒（1976-）,男,安徽懷寧人,講師,在讀博士生,研究方向:應(yīng)用逼近論。