用于小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題自動(dòng)解答系統(tǒng)的解題策略的分解和表示

【摘要】解題策略能表明應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系，策略分解和表示是小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題自動(dòng)解題系統(tǒng)中十分關(guān)鍵的一步。共提煉197條解題策略，將其分為三個(gè)層次，且提出策略生長(zhǎng)圖表明其層次關(guān)系，選擇框架知識(shí)表示方法表示策略，以構(gòu)建解題策略知識(shí)庫，供自動(dòng)解題程序調(diào)用。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題;自動(dòng)解答系統(tǒng);解題策略;分解;知識(shí)表示

【中圖分類號(hào)】G420 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【論文編號(hào)】1009—8097(2010)04—0024—04

一 前言

小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題輔助學(xué)習(xí)系統(tǒng)[1-4]和以小學(xué)應(yīng)用題為核心內(nèi)容的相關(guān)科學(xué)研究系統(tǒng)[5]在教學(xué)和一些心理學(xué)測(cè)驗(yàn)[6]的應(yīng)用情境中被國內(nèi)外較多地使用，但這些系統(tǒng)都是內(nèi)置好題目和答案的，不能實(shí)現(xiàn)應(yīng)用題的自動(dòng)求解，這使得這些系統(tǒng)中的題目數(shù)量和題型十分有限，從而嚴(yán)重影響了輔助學(xué)習(xí)和科學(xué)研究的效率和效果。故此，計(jì)算機(jī)自動(dòng)解答應(yīng)用題成為提升小學(xué)應(yīng)用題輔助學(xué)習(xí)系統(tǒng)等相關(guān)系統(tǒng)智能化和能否廣泛使用的關(guān)鍵。

如欲實(shí)現(xiàn)應(yīng)用題的自動(dòng)解答，存儲(chǔ)應(yīng)用題解題策略的知識(shí)庫(或稱策略庫)必不可少。計(jì)算機(jī)將按照策略庫中的策略來決定題目中某幾個(gè)數(shù)量之間的運(yùn)算關(guān)系。本文即研究和提取小學(xué)應(yīng)用題解題策略、提出解題策略的分層和協(xié)調(diào)機(jī)制及策略的知識(shí)表示方法，以便使得解題策略可以合理地存儲(chǔ)在知識(shí)庫中，供解題算法調(diào)用，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)自動(dòng)解題。

因此本研究在該自動(dòng)解題系統(tǒng)中的重要性不言而喻，可以說是小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題自動(dòng)解題系統(tǒng)能夠解題的關(guān)鍵步驟之一。

二 國內(nèi)外應(yīng)用題解題策略的研究現(xiàn)狀

1 國內(nèi)應(yīng)用題解題策略研究

我國學(xué)者多從解答應(yīng)用題技巧方面來研究解題策略。例如，我國學(xué)者孫聯(lián)榮等人[7]把問題解決的策略分為兩大類:綜合策略和一般策略。綜合策略就是問題解決的整個(gè)過程中所使用的思考策略，而一般策略是指對(duì)發(fā)現(xiàn)和解決問題具有幫助作用的具體策略。他們把小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的一般策略分為以下幾項(xiàng):(1)嘗試和檢驗(yàn);(2)畫圖;(3)實(shí)際操作;(4)找規(guī)律;(5)制表;(6)從簡(jiǎn)單的情況入手;(7)整理數(shù)據(jù);(8)從相反的方向去思考;(9)列方程;(10)邏輯推理;(11)改變觀點(diǎn)。

又如，我國學(xué)者李明振[8]在對(duì)解決數(shù)學(xué)問題心理過程研究并借鑒他人的研究基礎(chǔ)上，將解決數(shù)學(xué)問題的基本策略歸納為如下七種:(1)整體策略;(2)模式識(shí)別策略;(3)轉(zhuǎn)化策略;(4)媒介過渡策略;(5)辯證思維策略;(6)反面思考策略;(7)記憶策略。

但上述研究是通用的數(shù)學(xué)問題解決策略，本文所講的解題策略是針對(duì)不同類型的應(yīng)用題所具體使用的不同策略，如:時(shí)間*速度=距離。下面，程志博士的工作與之更為接近。

程志博士[9]對(duì)整數(shù)一、二步和分?jǐn)?shù)基本應(yīng)用題的每一條解題策略作了兩部分工作。一部分是“策略是什么?”另一部分是“這條策略可能對(duì)應(yīng)的字串是什么?”本研究在程志博士論文的基礎(chǔ)上，總結(jié)了小學(xué)數(shù)學(xué)一至六年級(jí)的應(yīng)用題(除圖形題和表格題)可能用到的大多數(shù)策略，即解決了“小學(xué)數(shù)學(xué)一至六年級(jí)應(yīng)用題可能用到的大多數(shù)策略是什么?”的問題。

2 國外應(yīng)用題解題策略研究

美國心理學(xué)家Greeno和Cerpenter根據(jù)問題的語義結(jié)構(gòu)將加減一步算術(shù)應(yīng)用題分為變化題、合并題、比較題三種類型。他們所提出的加減一步算術(shù)應(yīng)用題的分類被許多的研究者廣泛采用，并作為研究?jī)和鉀Q算術(shù)應(yīng)用題過程所選擇的算術(shù)應(yīng)用題研究材料的依據(jù)[10]。這三種類型應(yīng)用題的具體分類為改變類包含結(jié)果量未知、改變量未知和起始量未知三個(gè)子類，合并類包含總數(shù)未知和子集未知兩個(gè)子類，及比較類包含差異量未知、被比較量未知和參照量未知三個(gè)子類。

Siegbert Schmidt 和 Werner Weiser[11]將一步乘除法分為四類:n倍測(cè)度，組合策略，合成操作和公式乘法。

本研究中加減法策略主要采用了美國心理學(xué)家Greeno和Cerpenter對(duì)加減法的分類方法，在此基礎(chǔ)上豐富了各類的內(nèi)容。本研究乘除法策略也采用了Siegbert Schmidt 和 Werner Weiser提出的部分理論，將前三類列為乘除法的三類低層策略，而第四類公式乘法是由前三種延伸而來，因此將公式乘法作為前三類的子策略而存在，在此基礎(chǔ)上，本研究豐富了每類策略的內(nèi)容。

三 研究過程和主要研究方法

研究過程中，首先應(yīng)用文獻(xiàn)分析法確定策略分類的層次和類別，用有向圖(稱為策略生長(zhǎng)圖)邏輯地表示各層策略的結(jié)構(gòu)。然后，人工解答題庫中的5672道應(yīng)用題(題庫中包含1至6年級(jí)各年級(jí)各單元各種題型的題目，題目?jī)?nèi)容豐富、題目難度跨度大)，用比較法、歸納法和聚類分析方法從中總結(jié)策略，將總結(jié)得出的策略一一植入到策略生長(zhǎng)圖中。之后，進(jìn)行人工評(píng)價(jià)，應(yīng)用調(diào)查法和訪談法收集評(píng)價(jià)人的意見并修改和完善策略。再選擇應(yīng)用題樣本，應(yīng)用策略進(jìn)行人工解題檢驗(yàn)，應(yīng)用訪談法收集意見并再次修訂后，最終確定小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題解題策略。之后選擇合適的知識(shí)表示方法將分類知識(shí)和策略模板知識(shí)表示出來。

四 小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題解題策略分解和邏輯表示

1 小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題解題策略的分解

小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題解題策略分為三大類:基本策略、低層策略和高層策略。

基本策略包含加、減、乘、除和比例5種基本運(yùn)算，小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題的所有策略都是由此5種運(yùn)算而來，基本策略總數(shù)共15條。

低層策略是由基本策略組成且無法再分解的策略。它們包含的較大的類別有整數(shù)、小數(shù)四則應(yīng)用題、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題、比和比例應(yīng)用題、幾何形體應(yīng)用題、其它特殊應(yīng)用題。其中共包含總結(jié)出來的低層策略105條。限于篇幅，僅以“整數(shù)、小數(shù)四則應(yīng)用題”類中的部分低層策略(全部為35條)為例布列如下:

從計(jì)算機(jī)解題角度來說，基本策略和低層策略各個(gè)策略之間是平等的、互斥的，沒有重疊和包含。即，兩類策略中的每一條策略都是不可缺少的，不可被替代的，但其中的變量名稱可以被其近義詞替換，替換前后的兩條策略視為同一條策略。

高層策略有兩層含義。一種含義是高層策略是兩個(gè)或多個(gè)低層策略組合而成的策略，是可再分的策略。目前所列出的高層策略主要是某些典型題型的解題策略，如相遇問題的解題策略、雞兔同籠問題的解題策略等等。這些策略的父策略包括兩個(gè)或多個(gè)低層策略。另一種含義是高層策略的語義比低層策略更豐富，越往高層，策略的語義越豐富。高層策略中的各個(gè)策略之間不一定是平等、互斥的關(guān)系，相互之間可以有父子關(guān)系。高層策略是可擴(kuò)展的。目前總結(jié)的高層策略共77條，涉及到以下一些問題:余數(shù)、和倍、和差、差倍、分割、植樹、平均、相遇、雙程、追及、流水、濃度、盈虧、升降、相離運(yùn)動(dòng)、雞兔同籠、火車過橋、環(huán)形相遇、納稅與利息、折扣與利潤(rùn)等。

2 小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題的邏輯表示及其意義

由于基本策略、低層策略和高層策略之間的繼承和層次關(guān)系，可以將所有的策略放在一個(gè)策略生長(zhǎng)圖中。基本策略是低層策略的父策略，低層策略是高層策略的父策略，高層策略之間也有父子關(guān)系，這樣的一張策略生長(zhǎng)圖如圖1所示。圖的最高層是具體的應(yīng)用題題目。

策略生長(zhǎng)圖可以邏輯地、立體地表示各種簡(jiǎn)單和復(fù)雜策略間的關(guān)系，一個(gè)比較復(fù)雜的應(yīng)用題題目可對(duì)應(yīng)高層策略來解答，簡(jiǎn)單的應(yīng)用題則對(duì)應(yīng)低層策略或基本策略解答，包含多個(gè)運(yùn)算的復(fù)合運(yùn)算的題目由幾個(gè)策略聯(lián)合起來解答。

本文的解題策略是自動(dòng)解題中需要的解題知識(shí)，存入解題策略知識(shí)庫中，程序根據(jù)對(duì)題目的理解調(diào)用知識(shí)庫中的知識(shí)，調(diào)用知識(shí)的過程中必然會(huì)遇到知識(shí)沖突的問題，即同一個(gè)題目可以對(duì)應(yīng)超過1條知識(shí)來解答，這是由自然語言理解的深度來決定的，本文提出的分層的策略的邏輯表示將十分有利于知識(shí)的沖突消解。

五 小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題解題策略的檢驗(yàn)

1 小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題樣本抽取

為了檢驗(yàn)小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題解題策略的完備性、合理性、有效性、簡(jiǎn)潔度和是否存在冗余，從5672道小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題的題庫中，利用分層取樣和隨機(jī)取樣結(jié)合的方法，從1-6年級(jí)，每個(gè)年級(jí)隨機(jī)抽取18道應(yīng)用題，共108道應(yīng)用題，組成待驗(yàn)樣本。

2 樣本檢驗(yàn)結(jié)果

(1) 完備性。樣本題目共108道，能夠用以總結(jié)的策略庫中的策略解答的題目有102道，不能夠解答的題目有6道。因此樣本的解題率為94.4%。

(2) 合理性。目前總結(jié)的策略庫中的策略大部分較易被理解，分類比較合理，能夠被檢驗(yàn)者接受。

(3) 有效性。經(jīng)過檢驗(yàn)，大部分策略能夠有效地解答應(yīng)用題題目，但還需要總結(jié)大量的常識(shí)知識(shí)，來輔助計(jì)算機(jī)理解題目，并找到準(zhǔn)確的策略。

(4) 簡(jiǎn)潔度。檢驗(yàn)者認(rèn)為絕大部分策略表達(dá)簡(jiǎn)潔明了，個(gè)別策略中的變量易產(chǎn)生歧義。因此，本研究給出了變量歧義說明，此不贅述。

(5) 冗余度:經(jīng)過檢驗(yàn)，某些題目，既可以用低層策略解答，也可以用高層策略解答。但這并非是策略冗余的表現(xiàn)。從計(jì)算機(jī)解題角度來說，這兩條策略不可互相替代，因?yàn)樗麄兎謩e與題庫中兩種不同問題相對(duì)應(yīng)。對(duì)于高層策略來說，對(duì)應(yīng)的題目范圍相對(duì)較小，而低層策略對(duì)應(yīng)題目的范圍比較大。既然低層策略可以解題，那么高層策略存在的理由是高層策略語義更豐富，更容易與題目進(jìn)行匹配關(guān)聯(lián)，且高層策略與題型相關(guān)度比較大，便于以后對(duì)學(xué)生進(jìn)行解題輔導(dǎo)。

總體來說，本研究的解題策略分解和表示能夠比較準(zhǔn)確全面地解答小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題。

六 小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題解題策略的表示方法

本文比較了常用的知識(shí)表示方法，最終根據(jù)策略知識(shí)的特點(diǎn)選擇了框架知識(shí)表示法來表示解題策略及這些策略之間的邏輯關(guān)系。限于篇幅，僅舉一例如下:

例1:基本策略中的SB1(加數(shù)+加數(shù)=和)的框架表示

框架名:<加數(shù)+加數(shù)=和>

本策略:

編號(hào):SB1

名稱:加數(shù)+加數(shù)=和

描述:加法運(yùn)算，求兩數(shù)之和。

父策略:

編號(hào):0

運(yùn)算與變量:

運(yùn)算符:+

變量數(shù):3

變量1:

名稱:加數(shù)

代碼:P25

近義詞:

實(shí)例:數(shù)詞+“加”+數(shù)詞(245加上235);

“比”+數(shù)詞+“多”+數(shù)詞(比67多129)

變量2:

名稱:加數(shù)

代碼:P25

近義詞:

實(shí)例:數(shù)詞+“加”+數(shù)詞(245加上235);

“比”+數(shù)詞+“多”+數(shù)詞(比67多129)

變量3:

名稱:和

代碼:P26

近義詞:

實(shí)例:“和”“是”+數(shù)詞(和是多少?);

匹配字串:

字串1:……加上……是……?

字串2:……加上……，和是……?

字串3:比……多……的數(shù)是……?

字串4:……加上……，得……?

字串5:……，……的和是……?

例題:

例題1:675加上286是多少?

例題2:245加上121，和是多少?

例題3:比78060多3042的數(shù)是多少?

例題4:905加上235，得多少?

例題5:475，936的和是多少?

七 總結(jié)

本文對(duì)小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題自動(dòng)解題中需要應(yīng)用的解題策略進(jìn)行了研究，對(duì)策略分類、分層時(shí)主要考慮并合理解決了以下問題:一、怎樣提高總結(jié)的解題策略的可讀性，以使后續(xù)工作可以以之為基礎(chǔ)順利進(jìn)行;二、怎樣利于后續(xù)的計(jì)算機(jī)自動(dòng)解題和自動(dòng)輔導(dǎo)時(shí)進(jìn)行策略調(diào)用。三、小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題的所有解題策略應(yīng)該運(yùn)用一種什么方法將其緊緊聯(lián)系起來，如何清楚地將各策略之間的關(guān)系表示出來，便于計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)和調(diào)用。

本研究主要的創(chuàng)新之處為:(1)國外研究?jī)?nèi)容主要是一步加減法和一步乘除法的策略整體上的分類。(2)程志博士主要對(duì)整數(shù)一、二步和分?jǐn)?shù)一步應(yīng)用題的每一條解題策略做了兩部分工作。一部分是“策略是什么”，另一部分是“這條策略可能對(duì)應(yīng)的字串是什么”。而本研究總結(jié)了小學(xué)數(shù)學(xué)一至六年級(jí)的應(yīng)用題(包括一步、二步和多步應(yīng)用題，除圖形題和表格題)可能用到的大多數(shù)策略，即解決了“小學(xué)數(shù)學(xué)一至六年級(jí)應(yīng)用題可能用到的大多數(shù)策略是什么”的問題。但本文并非僅僅是策略數(shù)量上的增加，而是定義了一套合理的策略分類、分層體系、并使各層策略協(xié)調(diào)、聯(lián)動(dòng)起來，制定了合理的策略屬性，為計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)策略、調(diào)用策略從而正確解題提供了方便。(3)本研究將常識(shí)知識(shí)和解題策略分開總結(jié)。制定了區(qū)分常識(shí)知識(shí)和解題策略的原則。解題策略是指具有運(yùn)算符號(hào)的等式，而不具有這個(gè)特點(diǎn)但又是解題不可缺少的知識(shí)是常識(shí)知識(shí)，經(jīng)過總結(jié)、整理，存儲(chǔ)為常識(shí)庫。當(dāng)策略庫中的策略無法解決問題時(shí)，計(jì)算機(jī)程序就需要到常識(shí)庫中查找相關(guān)常識(shí)，根據(jù)常識(shí)知識(shí)轉(zhuǎn)化已知條件，形成新的已知條件，再從策略庫中尋找解題策略。

后續(xù)工作是為每條策略總結(jié)匹配的字串，才能最終作為解題策略被計(jì)算機(jī)調(diào)用。目前本課題組正在基于數(shù)據(jù)挖掘理論和算法探索關(guān)鍵字串自動(dòng)生成的方法。

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