帶擴(kuò)散系數(shù)的擬線性時(shí)滯脈沖現(xiàn)象的振動(dòng)性

摘 要:研究了一類帶擴(kuò)散系數(shù)的擬線性脈沖時(shí)滯拋物型方程組的振動(dòng)性， 利用振動(dòng)的定義、Green公式和Newmann邊值條件將這類脈沖時(shí)滯拋物方程組的振動(dòng)問題轉(zhuǎn)化為脈沖時(shí)滯微分不等式正解的不存在性問題， 并利用最終正解的定義和脈沖時(shí)滯微分不等式， 獲得了該類方程組所有解(強(qiáng))振動(dòng)的充分條件.

關(guān)鍵詞: 振動(dòng)性; 脈沖; 時(shí)滯; 擬線性擴(kuò)散系數(shù); 拋物型方程組

中圖分類號(hào):O175.26文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

Oscillations in Systems of Impulsive Delay Parabolic Equations

with Quasilinear Diffusion Coefficient

LIAO Ji-ding1，2，LIU Zai-ming1

(1.School of Mathematical Science and Computing Technology， Central South Univ，

Changsha， Hunan 410075， China;

2. School of Mathematics and Science， Univ of South China， Hengyang， Hunan 421001， China)

Abstract:The oscillation and strong oscillation of the systems of a class of impulsive delay parabolic equations with quasilinear diffusion coefficient were studied. By using the oscillatory definition， Green’s formula and Newmann boundary condition， the oscillatory problem of solution to the systems of impulsive delay parabolic equations was reduced to the nonexistence of position solution of impulsive delay differential inequality， and some sufficient conditions were obtained for the oscillation and strong oscillation of all solutions of such systems through the definition of eventual position solution and delay impulsive neutral differential inequality.

Key words: oscillations; impulse; delay; quasilinear diffusion coefficient; systems of parabolic equations

脈沖現(xiàn)象作為一種瞬時(shí)突變現(xiàn)象， 在現(xiàn)代科技諸領(lǐng)域的許多實(shí)際問題中普遍存在， 且往往對(duì)實(shí)際問題的規(guī)律產(chǎn)生本質(zhì)的影響. 因此， 在建立數(shù)學(xué)模型對(duì)這些實(shí)際問題進(jìn)行研究時(shí)， 必須充分考慮脈沖現(xiàn)象的作用， 這類現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型往往可表示為脈沖偏微分方程. 最新研究成果表明，脈沖偏微分方程在混沌控制、機(jī)密通訊、航天技術(shù)、風(fēng)險(xiǎn)管理、信息科學(xué)、生命科學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中均有重要應(yīng)用\\[1\\]. 脈沖偏微分方程作為偏微分方程的一個(gè)新分支， 它是20世紀(jì)90年代初形成和發(fā)展起來的， 1991年Erbe等\\[2\\]在研究單一物種生長模型時(shí)給出了脈沖拋物方程穩(wěn)定性的比較準(zhǔn)則， 這是為國際數(shù)學(xué)界真正了解有關(guān)脈沖偏微分方程研究的最早成果. 之后， 對(duì)其研究日益受到重視. 人們之所以對(duì)脈沖偏微分方程的研究有濃厚的興趣，是因?yàn)槊}沖偏微分方程能夠成功地應(yīng)用于力學(xué)、理論物理、化學(xué)及人口動(dòng)力學(xué)、生物工程、最優(yōu)控制和經(jīng)濟(jì)學(xué)等方面的數(shù)學(xué)模擬. 脈沖偏微分方程的振動(dòng)理論作為其中的一個(gè)重要研究領(lǐng)域， 對(duì)其研究僅是近十年的事情， 見文獻(xiàn)[3-12]. 但有關(guān)脈沖偏微分方程組解的強(qiáng)振動(dòng)性研究還很少見， 目前僅見文獻(xiàn)\\[13\\]. 本文的目的是研究一類具擴(kuò)散系數(shù)的擬線性脈沖時(shí)滯拋物偏微分方程組在Neumann邊值條件下解的振動(dòng)性及強(qiáng)振動(dòng)性.

1現(xiàn)象的描述

很多脈沖現(xiàn)象可以用如下帶擴(kuò)散系數(shù)的擬線性脈沖時(shí)滯拋物偏微分方程組來描述解的振動(dòng)性



ui(t，x)t=∑mj=1aij(t，uj(t，x))Δuj(t，x)+

∑mj=1bij(t，uj(t-λ，x))Δuj(t-λ，x)-

qi(t，x)ui(t-σ，x)-ci(t，x，(uj(t，x))mj=1，

(uj(t-ρ，x))mj=1)，t≠tk，

ui(t+k，x)-ui(t-k，x)=bi(tk，x，ui(tk，x))，

i∈Im， k∈I∞， (t，x)∈R+×Ω≡G(1)

其中Im={1，2，…，m}，I∞={1，2，…}，R+=[0，∞)，ΩRn是具有逐片光滑邊界Ω的有界區(qū)域，Δ是Rn中的n維Laplace算子， λ，σ，ρ是正常數(shù)， 0

ui(t，x)N=0，(t，x)∈R+×Ω， t≠tk，i∈Im， k∈I∞(2)

和初始條件:

ui(t，x)=φi(t，x)， (t，x)∈[-δ，0]×Ω，

i∈Im.(3)

其中N表示Ω的單位外法向量， δ=max {λ，σ，ρ}， φi∈C2([-δ，0]×Ω;R)， i∈Im.

湖南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2010年

第2期廖基定等:帶擴(kuò)散系數(shù)的擬線性時(shí)滯脈沖現(xiàn)象的振動(dòng)性

在本文中， 我們總假定下列條件成立:

(H1) qi∈PC(G-;R+)，qi(t)=min x∈Ω{qi(t，x)}，i∈Im. 這里PC表示具有如下性質(zhì)的分片連續(xù)函數(shù)

類: 僅在t=tk， k∈I∞為第一類間斷點(diǎn)， 但在t=tk， k∈I∞左連續(xù).

(H2)aij， bij∈PC(R+×R;(0，∞))且uiaii(t，ui)ui≥0，uibii(t，ui)ui≥0，i，j∈Im;aij(t，uj)uj=0，bij(t，uj)uj=0， i≠j; i，j∈Im.

(H3)ci∈PC(×R2m;R)， 并且

ci(x，t，ξ1，…，ξi，…，ξm，η1，…，ηi，…，ηm)

≥0，當(dāng)ξi，ηi∈(0，∞)時(shí)，<0，當(dāng)ξi，ηi∈(-∞，0)時(shí).

ci(x，t，ξ1，…，-ξi，…，ξm，η1，…，-ηi，…，ηm)=

-ci(x，t，ξ1，…，ξi，…，ξm，η1，…，ηi，…，ηm)，i∈Im.

(H4) bi:G-×R→R， 對(duì)任意函數(shù)ui(t，x)∈PC(G-;R+)有:

bi(tk，x，-ui(tk，x))=-bi(tk，x，ui(tk，x)).

且

∫ Ωbi(tk，x，ui(tk，x))dx≤αik∫ Ωui(tk，x)dx.

其中αik>0為常數(shù)，i∈Im，k∈I∞.

定義1 稱向量函數(shù)u(t，x)=(u1(t，x)，u2(t，x)，…，um(t，x))T為邊值問題(1)，(2)的解， 若對(duì)i∈Im， ui(t，x)滿足:

1) 對(duì)固定的x， ui(t，x)是以tk為第一類間斷點(diǎn)的分片連續(xù)函數(shù); ui(tk，x)=ui(t-k，x)， k∈I

SymboleB@ ，且滿足式(1)的第二式;

2) 對(duì)t≠tk，x∈Ω，ui(t，x)t存在，且滿足式(1)的第一式; 對(duì)固定的t， t≠tk， 2ui(t，x)x2r存在，r∈Im;

3) 對(duì)t≠tk， x∈Ω， ui(t，x)N存在且滿足(2).

定義2 稱數(shù)值函數(shù)ν(t，x):G→R為非振動(dòng)的， 若它最終為正或最終為負(fù); 反之， 稱ν(t，x)為振動(dòng)的. 稱向量函數(shù)u(t，x):G→Rm為非振動(dòng)的， 若它的每一分量都是非振動(dòng)的; 稱向量函數(shù)u(t，x):G→Rm為振動(dòng)的， 若它至少有一分量作為數(shù)值函數(shù)是振動(dòng)的. 稱向量函數(shù)u(t，x):G→Rm為強(qiáng)振動(dòng)的， 若它的每一個(gè)分量作為數(shù)值函數(shù)都是振動(dòng)的.

引理1\\[14\\] 設(shè)μ是正常數(shù)， p(t)∈C(R+，(0，

SymboleB@ ))， 且y(tk)=y(t-k)， k∈I

SymboleB@ . 若滿足條件:

(a)lim sup t→

SymboleB@ ∏t-μ

SymboleB@ ， 其中b-k=max {0，bk};

(b)lim inf t→

SymboleB@ ∫ t t-μp(s)ds>1elim sup t→

SymboleB@ ∏t-μt(1+bk).

則脈沖時(shí)滯微分不等式為:

y′(t)+p(t)y(t-μ)≤0，t≥0， t≠tk，y(t+k)-y(-k)≤bky(tk)，k∈I∞.

無最終正解.

2主要結(jié)果及其證明

為敘述方便， 引入如下記號(hào):

Ui(t)=∫ Ωui(t，x)dx， t≥0， i∈Im.

定理1 若存在某一i0∈Im， 使得:

lim sup t→∞∏t-σ

lim inft→∞∫ t t-σqi0(s)ds>1elim sup t→∞∏t-σ

則邊值問題(1)， (2)的所有非零解在G內(nèi)振動(dòng).

證(用反證法)假設(shè)邊值問題(1)， (2)有一個(gè)非振動(dòng)解u(t，x)=(u1(t，x)，u2(t，x)，…，um(t，x))T，則

ui0(t，x)在G內(nèi)非振動(dòng).不失一般性，設(shè)ui0(t，x)最終為正，于是存在T>0，使得(t，x)∈[T，∞)×Ω，有ui0(t，x)>0，ui0(t-λ，x)>0，ui0(t-σ，x)>0，ui0(t-ρ，x)>0.

考慮下面的方程:

ui0(t，x)t=∑mj=1ai0j(t，uj(t，x))Δuj(t，x)+

∑mj=1bi0j(t，uj(t-λ，x))Δuj(t-λ，x) -

qi0(t，x)ui0(t-σ，x)-ci0(t，x，(uj，(t，x))mj=1，

(uj(t-ρ，x))mj=1)，t≠tk，

ui0(t+k，x)-ui0(t-k，x)=bi0(tk，x，ui0(tk，x))，

k∈I

SymboleB@ ， (t，x)∈R+×Ω≡G.(6)

(Ⅰ)當(dāng)t≠tk，k∈I

SymboleB@ 時(shí)， 對(duì)式(6)的第一式兩邊關(guān)于x在Ω上積分， 有

ddt(∫ Ωui0(t，x)dx)=

∑mj=1∫ Ωai0j(t，uj(t，x))Δuj(x，t)dx+

∑mj=1∫ Ωbi0j(t，uj(t-λ，x))Δuk(t-λ，x)dx-

∫ Ωqi0(t，x)ui0(t-σ，x)dx-

∫ Ωci0(t，x，(uj(t，x))mj=1，(uj(t-ρ，x))mj=1)dx，t≥T.(7)

由Green公式， 邊值條件(2)及條件(H2)有:

∫Ωai0i0(t，ui0(t，x))Δui0(t，x)dx=

∫Ωai0i0(t，ui0(t，x))ui0(t，x)NdS-

∫ Ωai0i0(t，ui0(t，x))ui0

SymbolQC@ ui0(t，x)2dx=

-∫ Ωai0i0(t，ui0(x，t))ui0

SymbolQC@ ui0(x，t)2dx≤0， t≥T，

∫Ωai0j(t，uj(t，x))Δuj(t，x)dx=

∫Ωai0j(t，uj(t，x))uj(t，x)NdS-

∫ Ωai0j(t，uj(t，x))uj

SymbolQC@ uj(t，x)2dx=0，

t≥T， j≠i0， j∈Im.

其中dS是Ω上的面積元素.即

∫Ωai0j(t，uj(t，x))Δuj(t，x)dx

<0， 當(dāng)j=i0時(shí)，=0， 當(dāng)j≠i0時(shí)， t≥T.(8)

同理

∫Ωbi0j(t，uj(t-λ，x))Δuj(t-λ，x)dx

<0， 當(dāng)j=i0時(shí)，=0， 當(dāng)j≠i0時(shí)， t≥T.(9)

由條件(H3)易知:

ci0(t，x，(uj(t，x))mj=1，(uj(t-ρ，x)))mj=1)≥0，t≥T.(10)

因此由式(7)~(10)及條件(H1)可得:

U′i0(t)+qi0(t)Ui0(t-σ)≤0，t≥T.(11)

(Ⅱ)當(dāng)t=tk，k∈I

SymboleB@ 時(shí)， 由式(6)的第二式， 結(jié)合條件(H4)及定義1中的條件1)可得:

Ui0(t+k)-Ui0(t-k)=

∫ Ωui0(t+k，x)dx-∫ Ωui0(t-k，x)dx=

∫ Ωbi0(tk，x，ui0(tk，x))dx≤

αi0k∫ Ωui0(tk，x)dx=αi0kUi0(tk).(12)

從而可知(11)，(12)有最終正解Ui0(t)=∫ Ωui0(t，x)dx. 另一方面，由定理的條件(4)，(5)及引理1知(11)，(12)

無最終正解， 矛盾， 所以邊值問題(1)，(2)的所有非零解在區(qū)域G內(nèi)振動(dòng). 定理1證畢.

利用上面的結(jié)論， 很容易得到下面的關(guān)于邊值問題(1)， (2)強(qiáng)振動(dòng)的結(jié)論.

定理2 若對(duì)每一個(gè)i∈Im， 都有:

lim sup t→∞∏t-σ

其中k=max {0，αik}.

lim inf t→∞∫ t t-σqi(s)ds>1elim sup t→∞∏t-σ

則邊值問題(1)， (2)的所有非零解在G內(nèi)強(qiáng)振動(dòng).

3結(jié) 論

本文討論了帶擴(kuò)散系數(shù)的擬線性脈沖時(shí)滯拋物型偏微分方程組解的振動(dòng)性和強(qiáng)振動(dòng)性，得到了判別其振動(dòng)和強(qiáng)振動(dòng)的充分條件， 結(jié)果充分反映了脈沖和時(shí)滯在振動(dòng)中的影響作用， 這是一個(gè)重要的結(jié)論. 所得結(jié)果為解決生物學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)、氣象學(xué)、醫(yī)學(xué)、化學(xué)和控制理論等學(xué)科領(lǐng)域中的一些實(shí)際問題提供了數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ).

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