消除零級(jí)衍射和循環(huán)移位改善計(jì)算機(jī)合成 全息圖的再現(xiàn)質(zhì)量

劉 敏， 楊光臨， 謝海燕

（1. 北京大學(xué)區(qū)域光纖通信網(wǎng)與新型光通信系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100871； 2. 中科專利商標(biāo)代理有限責(zé)任公司，北京 100083）

本文針對(duì)計(jì)算機(jī)合成全息圖再現(xiàn)象質(zhì)量問(wèn)題[1]，分析了影響再現(xiàn)象質(zhì)量的主要因素，并提出了一種能有效改善合成全息圖再現(xiàn)象質(zhì)量的方法。

采用數(shù)字圖像去計(jì)算合成全息圖，在信息安全方面有著廣泛應(yīng)用，如，數(shù)字全息水印技術(shù)[2-7]。但是，其再現(xiàn)理論，基本上都是從光學(xué)理論直接借鑒過(guò)來(lái)的，是基于模擬域。而采用數(shù)字圖像去合成全息圖的制作和再現(xiàn)都是用計(jì)算機(jī)處理的，完全建立在數(shù)字域。數(shù)字域和模擬域的理論雖然相似，但是，不能完全等同。例如，光信息處理中連續(xù)兩個(gè)透鏡的作用等同于成倒立虛像，但計(jì)算機(jī)處理中數(shù)字圖像經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次離散傅里葉變換得到的是原圖像的上下左右顛倒的虛像，并且有一行和一列的循環(huán)移位（圖1(b)）?？梢?jiàn)，在數(shù)字域從理論上分析合成全息圖的再現(xiàn)情況是必要的，而且很有用處。

本文在得到Burch 型合成全息圖再現(xiàn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式后，利用計(jì)算機(jī)處理的靈活性，調(diào)整虛像的像素位置消除循環(huán)移位，同時(shí)，消除再現(xiàn)的零級(jí)衍射，從而不需要通過(guò)取對(duì)數(shù)來(lái)顯示再現(xiàn)象，使得Burch 型合成全息圖能夠精確恢復(fù)原圖像。

1 Burch 型合成全息圖原理

根據(jù)Burch 型合成全息圖的原理[6]，其合成全息圖的透過(guò)率函數(shù)為

這里 ( , )B x y 是物函數(shù)振幅函數(shù)的歸一化結(jié)果，α表示參考光的載頻。

根據(jù)空間帶寬積的要求，Burch 型合成全息 圖的傅里葉抽樣數(shù) M=β1m， N = β2n必須滿足

m、n 是原數(shù)字圖像的像素大小。

2 Burch 型合成全息的再現(xiàn)原理

為了模擬光學(xué)全息中毛玻璃的漫散射特性，數(shù)字圖像 ( , )I p q 在傅里葉變換前乘以隨機(jī)位相rand ( p, q) ∈ (0,1)，得到 I ′( p, q) = I ( p, q) ej?2π?rand(p,q)， I ( p , q )的傅里葉合成全息圖記錄的是 I ′( p, q)的傅里葉變換譜，即

由式（1）可以得到

考慮到傅里葉變換與其反變換的關(guān)系，有

那么

那么

MN ?δ (1,1)不是嚴(yán)格意義上的沖擊函數(shù)，這里表示只在點(diǎn)(1,1)有值。

雖然上式中后兩項(xiàng)都是復(fù)數(shù)，但只要保證它們?cè)谠佻F(xiàn)平面上不會(huì)交疊，就可以分別對(duì)三項(xiàng)取模，

圖 1 連續(xù)兩次DFT的循環(huán)移位作用

于是上式可以化簡(jiǎn)得

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 離散傅里葉變換產(chǎn)生循環(huán)移位

根據(jù)二維離散傅里葉變換的性質(zhì)，若對(duì)數(shù)字圖像 ( , )I p q 的傅里葉變換的抽樣單元數(shù)為M N× ，則

在光學(xué)全息中，透鏡的作用相當(dāng)于傅里葉變換，連續(xù)兩次DFT 的作用相當(dāng)于經(jīng)過(guò)兩次光學(xué)透鏡作用后成倒立虛像。但是，需要指出的是，由于DFT 的循環(huán)移位作用，使得虛像的最后一行和最后一列被分別循環(huán)移位到第一行和第一列。從圖1（b）的被圈出來(lái)的區(qū)域：最左邊的黑線以及最上邊的黑色區(qū)域可以看到循環(huán)移位的存在，這正是圖1(a)虛像的最后一行和最后一列分別循環(huán)移位到第一行和第一列的結(jié)果。

3.2 消除零級(jí)衍射和循環(huán)移位再現(xiàn)象

MN ?δ (1,1)是冗余信息，對(duì)再 現(xiàn)象沒(méi)有貢獻(xiàn)，且嚴(yán)重降低了再現(xiàn)圖像的對(duì)比度，因此將它去掉得到下式

消除零級(jí)衍射后，再通過(guò)調(diào)整再現(xiàn)虛像的像素位置消除循環(huán)移位，使得Burch 型合成全息能精確恢復(fù)原圖像。

圖2 是抽樣倍數(shù) β1= 2， β2=2的全息圖2(a) 及常規(guī)再現(xiàn)圖2(b)的情況，圖2 (b)的頂端就是很明顯的循環(huán)移位；通過(guò)去掉零級(jí)衍射后得到圖3 (a)，其中間有很明顯的循環(huán)移位，于是通過(guò)調(diào)整像素位置消除循環(huán)移位后得到圖3(b)，Burch 型合成全息圖再現(xiàn)得到精確的實(shí)像和虛像。

圖 2 合成全息圖和傳統(tǒng)再現(xiàn)圖像

圖 3 消除零級(jí)衍射和循環(huán)移位改善再現(xiàn)質(zhì)量圖像

表1 對(duì)應(yīng)像素位置像素值的比值

4 結(jié) 論

本文在數(shù)字域推導(dǎo)了采用數(shù)字圖像去合成Burch 型全息圖的再現(xiàn)表達(dá)式，指出了影響再現(xiàn)質(zhì)量的兩個(gè)因素，一是零級(jí)衍射作為冗余量嚴(yán)重降低了再現(xiàn)象的對(duì)比度，另一個(gè)原因是連續(xù)兩次DFT 變換使得再現(xiàn)的虛像產(chǎn)生一行和一列的循環(huán)移位。于是，通過(guò)調(diào)整虛像像素的位置消除循環(huán)移位和消除零級(jí)衍射，有效地提高了再現(xiàn)象的對(duì)比度，理論和實(shí)驗(yàn)都證明了，這種方法能夠使得Burch 算法精確地恢復(fù)原圖像。本文提出的再現(xiàn)方法也同樣能夠有效地提高黃氏和李威漢型合成全息圖再現(xiàn)象的質(zhì)量。

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